L`objet de ce problème est de démontrer la propriété suivante : Le

L’objet de ce problème est de démontrer la propriété suivante :
Le composé de deux symétries d’axes perpendiculaires est commutative.
On considère deux axes de symétrie (
1
D
) et (
2
D
) sécants formant entre eux un angle quelconque.
Une symétrie d’axe (D) s’appelle aussi une réflexion d’axe (d).
Afin de visualiser cette situation, on peut considérer deux miroirs
1
M
et
2
M
.
Éventuellement, si cela vous est possible, prenez deux miroirs et placer entre eux une lettre F.
Physiquement, le point M doit être placé entre les deux miroirs.
Vous pouvez télécharger « Ateliers de géométrie » afin de réaliser les figures.
La première partie permettra de trouver une condition nécessaire,
la seconde partie, de trouver une condition suffisante.
Première partie
Si cela peut vous aider à comprendre les questions, prenez des valeurs numériques pour a et b :
a = 35° et b = 55°, par exemple.
Propriété 1 : Les symétriques d’un point par rapport à deux axes perpendiculaires sont confondus.
(Les images d’un point M par rapport à deux miroirs
1
M
et
2
M
perpendiculaires sont confondues,
les deux images ab et ba sont confondues).
On peut aussi l’écrire :
si les axes des deux symétries sont perpendiculaires, alors le composé des deux symétries est
commutatif.
D’un point M, on obtient trois points symétriques :
un point A par la symétrie d’axe (
1
D
), (une image a par réflexion par rapport à
1
M
),
un point B par la symétrie d’axe (
2
D
), (une image b par réflexion par rapport à
2
M
),
un point C par réflexions successives par rapport à (
1
D
) puis à (
2
D
)
(une image ab par réflexions successives par rapport à
1
M
puis à
2
M
),
un point D par réflexions successives par rapport à (
2
D
) puis à (
1
D
).
(une image ba par réflexions successives par rapport à
2
M
puis à
1
M
).
L’objet de la première partie est de montrer que les deux points C et D sont confondus.
Donc l’ordre dans lequel on compose les deux symétries n’a pas d’importance.
1) Justifier que les angles (
1
D
OJ), (
2
M
OK) et (KOJ) sont des angles droits.
2) Calculer une mesure de l’angle (MOA), de (AOC), puis de (MOC). Que peut-on dire de M et C ?

3) Calculer une mesure de l’angle (MOB), de (BOD), puis de (MOD). Que peut-on dire de M et D ?
4) Justifier que les points C et D sont confondus.
5) Par quelle opération unique peut-on remplacer le composé des deux symétries axiales
perpendiculaires ?
Conclusion de la première partie :
Une condition nécessaire pour que le composé de deux symétries axiales soit commutative est que
les axes soient perpendiculaires.
Deuxième partie
Si cela peut vous aider à comprendre les questions, prenez des valeurs numériques pour a et b :
a = 25° et b = 47°, par exemple.
Plutôt que de démontrer la réciproque de la propriété 1 :
Si le composé des deux symétries est commutatif, alors les deux axes perpendiculaires,
il est plus simple de démontrer la contraposée de cette réciproque (qui est en fait la négation de la
propriété 1) :
Propriété 2 :
Les symétriques d’un point par rapport à deux axes non perpendiculaires sont distincts.
On peut aussi l’écrire : si les axes de deux symétries ne sont pas perpendiculaires, alors le
composé des deux symétries n’est pas commutatif.
Autrement dit, l’ordre dans lequel on compose les deux symétries a de l’importance et les deux
points C et D sont distincts, ou encore que l’angle (COD) n’est pas nul.
On suppose On pose (MO
1
D
) = a et (
2
D
OM) = b avec a + b  90°.
1) Calculer, en fonction de a et de b, une mesure des angles (
1
D
O
2
D
), (
1
D
OJ), (KOJ) et (
2
D
OK).
2) Calculer, en fonction de a et de b, une mesure de l’angle (AOJ), de (JOC) puis de (MOC).
Utiliser le fait que [
2
D
J] est un diamètre.
3) Calculer, en fonction de a et de b, une mesure de l’angle (BOK), de (KOD) puis de (MOD).
Utiliser le fait que [
1
D
K] est un diamètre.
4) En déduire que les angles (MOC) et (MOD) ont même mesure.
Justifier que (OM) est la bissectrice de (COD).
5) Retrouver le résultat de la propriété précédente (a + b = 90°)
6) En utilisant le fait qu’une mesure de l’angle (KOJ) est égale à a + b, en déduire, en fonction de a
et de b, une mesure de l’angle (COD).
7) Que vaut a + b si l’angle (COD) est nul ?

Une condition suffisante pour que le composé de deux symétries axiales soit commutative est que
les axes soient perpendiculaires.
Autrement dit, la condition nécessaire et suffisante pour que le composé de deux symétries axiales
soit commutative est que les axes soient perpendiculaires.
8) Calculer, en fonction de a et b une mesure de l’angle (AOD), (BOC) et « constater » la propriété
suivante :
Le composé de deux symétries axiales dont les axes font un angle dont une mesure est  est une
rotation d’angle dont une mesure est 2.