Cosinus d`un angle aigu

Cosinus d’un angle aigu
Cosinus d’un angle aigu
Table des matières
1 Rappels et définitions
1
2 Utilisation de la calculatrice
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3 Cosinus d’un angle aigu
2
1
Rappels et définitions
Soit un triangle ABC rectangle en A. Le côté [BC] est appelé l’hypoténuse du triangle ABC.
A
ACB
côté adjacent à l’angle \
[
côté adjacent à l’angle ABC
\
ACB
C
[
ABC
hypoténuse
B
[AC] est appelé le côté adjacent à l’angle \
ACB ;
[
[AB] est appelé le côté adjacent à l’angle ABC.
2
Utilisation de la calculatrice
Mode d’emploi
l Lire les parties du mode d’emploi de la calculatrice permettant de :
– passer en mode « degrés » ;
– déterminer le cosinus d’un angle aigu ;
– déterminer l’angle aigu dont on connaît le cosinus.
Dans la plupart des cas, la calculatrice n’affiche qu’une valeur approchée ;
il est donc totalement inutile de recopier toutes les décimales.
Le plus souvent, un arrondi au dixième ou au centième est amplement suffisant.
Calculer le cosinus d’un angle aigu
Exemple : Pour calculer cos(36◦ ), il suffit de taper : cos
36
EXE ou = et on écrit cos(36◦ ) ≈ 0, 81
Déterminer l’angle aigu dont on connaît le cosinus
C’est l’opération inverse de la précédente ; on y parvient en appuyant sur une touche (jaune ou bleue) sur laquelle il est écrit, suivant les
modèles, INV ou SHIFT ou 2nd.
Certaines calculatrices possèdent des touches marquées avec les fonctions trigonométriques réciproques comme cos−1 , ce qui évite d’utiliser
la touche INV ou SHIFT ou 2nd.
Pour déterminer l’angle aigu dont on connaît le cosinus, il suffit de taper sur la calculatrice :
INV ou SHIFT ou 2nd (suivant les modèles) puis, cosinus, et EXE/=.
Exemple : Pour déterminer l’angle x dont le cosinus est égal à 0,48, il suffit de taper :
INV/SHIFT/2nd
cos
0,48
EXE ou =
La calculatrice affiche 61,314 5 . . . et on écrit : cos(61, 3◦) ≈ 0, 48
Ce qui revient à résoudre l’équation cos(x) = 0,48.
Pierre Delouya Collège Janson
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9 août 2015
Cosinus d’un angle aigu
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Cosinus d’un angle aigu
ABC est un triangle rectangle en B ; [AC] est l’hypoténuse, [AB] et [BC] sont les côtés de l’angle droit.
C
b
I
b
J
b
K
b
L
b
M
b
b
B
b
b
D
b
E
b
F
b
G
H
A
b
Si on trace des parallèles à un des côtés de l’angle droit, elles sont donc perpendiculaires à l’autre côté de l’angle droit. Sur la figure ci-dessus,
on a tracé des droites parallèles à [BC] qui sont perpendiculaires au côté [AB] et définissent donc des triangles rectangles dont on ad\
mettra que les longueurs des côtés sont proportionnelles entre elles. Le coefficient de proportionnalité s’appelle le cosinus de l’angle BAC.
\ =
On a donc : cos(BAC)
AB
AD
AE
AF
AG
AH
=
=
=
=
=
= ···
AC
AI
AJ
AK
AL
AM
Le cosinus d’un angle aigu est le coefficient de proportionnalité permettant de passer de
la longueur de l’hypoténuse à la longueur du côté adjacent à l’angle.
hypoténuse
× cosinus de l’angle
côté adjacent à l’angle
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport
côté adjacent
hypoténuse
On a donc :
AB
BC
AC
cos (\
ACB) =
BC
[ =
cos(ABC)
AB
[
cos(ABC)
AC
BC =
\
cos(ACB)
[
AB = BC cos(ABC)
BC =
ACB)
AC = BC cos(\
A
b
ACB)
AC = BC cos(\
[
AB = BC cos(ABC)
ACB) =
cos(\
C
b
BC =
AC
BC
[ =
cos(ABC)
AB
BC
b
B
AC
AB
=
\
[
cos(ACB)
cos(ABC)
Remarque : Au Collège, on ne définit le cosinus d’un angle que dans un triangle rectangle, donc uniquement pour un angle aigu.
Dans un triangle rectangle, il y a deux angles aigus ; on peut donc définir le cosinus de chacun de ces deux angles dont l’un des côtés est
l’hypoténuse du triangle et l’autre, le côté adjacent à cet angle.
Puisque le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle décrit une situation de proportionnalité, on peut calculer un des trois nombres
dès que l’on connaît les deux autres.
Pierre Delouya Collège Janson
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9 août 2015
Cosinus d’un angle aigu
Autrement dit, chacun des trois côtés d’un triangle peut s’écrire en fonction du cosinus.
Suivant les données de l’énoncé et la question posée, on utilisera l’une des six relations suivantes.
AB
AC
=
\
\
cos(ABC)
cos(ACB)
et, puisque les deux angles du triangle sont aigus, les cosinus sont strictement positifs.
\ = AC cos(ABC)
\ ;
On peut donc utiliser le produit en croix, ce qui donne : AB cos(ACB)
On a deux expressions différentes de BC, elles sont donc égales : BC =
ce qui permet d’avoir une relation entre les cosinus des deux angles aigus d’un triangle rectangle.
Calculs de longueurs
On considère le triangle ABC rectangle en A de la figure ci-dessus.
[ = 0,8 et BC = 4. Calculer AB.
1) On donne cos(ABC)
[ et on remplace BC et cos(ABC)
[ par leurs valeurs numériques,
On utilise la relation AB = BC.cos(ABC)
ce qui donne : AB = 4 × 0, 8 = 3, 2
ACB) = 0,42. Calculer BC.
2) AC = 4 et cos(\
4
AC
On utilise la relation BC =
, ce qui donne BC =
≈ 9,5
0, 42
ACB)
cos(\
[ = 53◦ . Calculer AB.
3) AC = 7 et ACB
\
[ sont deux angles complémentaires donc, ABC
[ = 90 − 53 = 37◦ et cos(ABC)
[ ≈ 0,8
ACB et ABC
On calcule ensuite BC en utilisant la relation BC =
7
AC
≈ 11,6.
, ce qui donne : BC =
cos(53◦)
ACB)
cos(\
[ ce qui donne : AB ≈ 11,6 × 0,8 ≈ 9,3
On utilise ensuite la relation AB = BC cos(ABC),
[ = 0, 6
4) On donne AB = 5 et cos(ABC)
Calculer BC.
25
AB
5
=
≈ 8, 33
on utilise la relation : BC =
soit, BC =
0, 6
3
[
cos(ABC)
5) AB = 5 BC = 8 ; calculer AC.
2
On utilise le théorème de Pythagore : BC√
= AB 2 + AC 2 , soit AC 2 = BC 2 − AB 2 ce qui donne :
2
2
2
AC = 8 − 5 = 64 − 25 = 39 et AC = 39 ≈ 6,2.
Autre possibilité :
\ = AB qui permet de calculer cos(ABC),
\ ce qui donne : cos(ABC)
\ = 5.
On utilise la relation cos(ABC)
BC
8
\ ≈ 51,3◦ donc, ACB
\ ≈ 90 − 51,3 = 38,7◦ et cos(38,7◦ ) ≈ 0,79.
On en déduit ABC
\ , ce qui donne : AC ≈ 8 × 0,79 = 6,32.
On utilise enfin la relation AC = BC cos(ACB)
La différence entre les deux résultats provient des approximations faites.
6) On donne AC = 12 et BC = 13.
Calculer AB.
On peut utiliser le théorème de Pythagore : on a la relation : BC 2 = AB 2 + AC 2 , soit AB 2 = BC 2 − AC 2 , d’où AB 2 = 132 − 122 =
169 − 144 = 25 on en déduit AB = 5.
Calcul d’une distance inaccessible à la mesure
Exemple : Calculer la hauteur d’un arbre
Un promeneur, dont les yeux (Y ) se situent à 1,60 m du sol, se trouve à 50 m d’un arbre que l’on assimilera à une droite (T F ) verticale :
T étant le point de l’arbre situé à la même hauteur que les yeux de promeneur et F étant le point le plus haut de l’arbre (le faîte).
\
A l’aide d’un théodolite, il mesure l’angle T
Y F : 22◦ . quelle est la hauteur de l’arbre ?
Pierre Delouya Collège Janson
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9 août 2015
Cosinus d’un angle aigu
F
b
arbre
T
22◦
b
b
Y
1,60 m
50 m
\
\
Le triangle T Y F est rectangle en T et la mesure de l’angle T
Y F est égale à 22◦ donc, l’angle T
F Y mesure 90◦ − 22◦ = 68◦ .
50
50
Y
T
\
\
donc, cos(22◦ ) =
et Y F =
On commence par calculer Y F en utilisant le cosinus de l’angle F
Y T ; cos(F
Y T) =
YF
YF
cos(22◦ )
\
Pour calculer F T , on utilise le cosinus de l’angle T
FY :
◦
50
F
T
\
\
c◦ ) =
c◦ ) = 50 × cos(68◦ )
donc, F T = Y F × cos(T
F Y ) = Y F × cos(68
× cos(68
cos(T
FY ) =
◦
YF
cos(22 )
cos(22 )
cos(68◦ )
0, 375
F T = 50 ×
≈ 50 ×
≈ 50 × 0,404 ≈ 20,20 m
cos(22◦ )
0, 927
Le point T est situé à 1,60 m du sol, la hauteur totale de l’arbre est environ égale à 20,2 + 1,60 = 21,80 m.
Valeurs remarquables
ABC est un triangle rectangle en A. On trace le cercle de centre O et de rayon 1 ; on l’appelle le cercle trigonométrique.
\
Dans le triangle BAO, rectangle en B, l’hypoténuse [OA] mesure 1 unité et, du fait de la définition du cosinus de l’angle AOB,
\
\
[OB] = 1.cos(AOB) soit, OB = cos(AOB) = cos(x).
A
b
1
b
O
x
b
cos(x)
B
Pour des angles de 0◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ et 90◦ , le cosinus a des valeurs « remarquables » c’est-à-dire que c’est un entier ou une fraction simple
à mémoriser.
\ « se rapproche » de 90◦ (89◦ sur la figure ci-dessous), la longueur du côté adjacent à cet angle [OB]
a) Lorsque la mesure de l’angle AOB
côté adjacent
« se rapproche » de 0 ; donc le quotient
est « proche » de 0.
hypoténuse
\ est droit, le côté adjacent [OB] est nul. cos(90◦ ) = 0.
Lorsque l’angle AOB
b
A
illustration lorsque x = 89◦
89◦
O B
b
b
\ « se rapproche » de 0◦ (1◦ sur la figure ci-dessous),
b) Lorsque la mesure de l’angle AOB
la longueur du côté adjacent à cet angle [OB] « se rapproche » de celle de l’hypoténuse [OA] ;
côté adjacent
est « proche » de 1.
donc le quotient
hypoténuse
\ est nul, la longueur du côté adjacent [OB] est égale à la longueur de l’hypoténuse.
Lorsque l’angle AOB
Pierre Delouya Collège Janson
4
cos(0◦ ) = 1.
9 août 2015
Cosinus d’un angle aigu
illustration lorsque x = 1◦
b
1◦
b
O
A
bb
B
Le cosinus d’un angle aigu x est un nombre compris entre
0 : le côté adjacent à l’angle est nul
cos(90◦ ) = 0 et
1 : le côté adjacent à l’angle est égal à l’hypoténuse cos(0◦ ) = 1
Tableau récapitulatif
angle a
0◦
cos(a)
1
val. app. au millième
1
30◦
45◦
√
√
0,866
3
2
60◦
90◦
2
2
1
2
0
0,707
0,5
0
On admettra que, pour un angle aigu, 0 ≤ cos x ≤ 1.
Pierre Delouya Collège Janson
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9 août 2015