theorie microscopique des reactions nucleaires et potentiel optique

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS
NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
N . Vinh Mau
To cite this version:
N . Vinh Mau. THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET
POTENTIEL OPTIQUE. Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C2), pp.C2-52-C2-57.
<10.1051/jphyscol:1970206>. <jpa-00213763>
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Submitted on 1 Jan 1970
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THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
.
N Vinh Mau
Institut de Physique Nucleaire
- Division de Physique ThCorique - 91-Orsay
Une theorie microscopique des reactions
nucleaires devra permettre de deriver toutes les
quantites mesurees en fonction de l'interaction
nuclCon-nucleon exclusivement L'Qude microscopique du probleme h N-corps appliquee h l a
structure nucleaire a fait des progrss consider a b l e ~mais la thCorie microscopique des reactions nucleair es , beaucoup plus complexe,
est en fait beaucoup moins avancCe. En effet
dans un noyau, tous les nuclCons interagissent
et nous cherchons des &tatslies de cet ensemble
de nuclCons ; dans les reactions nuclkaires nous
devrons dkcrire les &tatsd'un systeme, luimCme compos6 de plusieurs sous-systemes,
chacun Ctant un &at lie d'un ensemble de nucleons le constituant. Dans cet expose nous nous
limiterons au cas l e plus simple de la diffusion
d'une particule par un noyau pour lequel l e
systeme total est compose d'une particule sim-
.
ple et d'un noyau.
Une approche ?I la theorie microscopique
pour la diffusion d'une particule simple par un
noyau a ete d6veloppke par Feshbach [I] ,puis
par differents auteurs [2], Nous supposons que
nous connaissions les fonctions d'onde
(K)
?J
du noyau, solutions d'un hamiltonien modele
noyau et l'extension de son premier travail h une
thkorie tenant compte de 11antisym4trie entr e
nucleon incident et nucleons-cibles devient t r e s
complexe. Nous exposerons donc ici la theorie
non antisymetrisee.
Si $AT, K ) est la fonction d'onde du
systeme total dans un &tatde moment angulair e I
et parit6 n nous Ccrirons s i nous n'antisymktrisons pas :
,
c representant l'ensemble des nombres
quantiques :
1
c
=
( a & s jD
et
Cs "ant l a fonction spin-orbite du
nucleon isolC.
On peut alors dCriver un systeme d'equations couplCes pour les fonctions uC(r) du
nucleon diffuse :
E &ant l'Cnergie incident e
HA :
-
v ~ ~ . ~ ~ = , ~ ~ ~ , ~ , ~ I v ~
(5)
Nous Ccrirons l e hamiltonien total du
systeme particule incidente-noyau cible :
H
06
=
-
-
H A + T + V ( r , A)
-T
(2)
est l'energie cinetique de l a particule
- V( r A) est l'int eraction du noyau avec
cette particule additive.
Cette separation particulier e du hamiltonien en trois termes distincts sera naturelle s i
l a particule indtlente est discernable des
nucleons du noyau mais ne l'est plus dans l e cas
de la diffusion nucl&bn-noyau, La theorie de
Feshbach dans sa forme primitive neglige donc
l'indis cernabilit C entr e particule incident e et
-
,
llintkgration porte ici sur les coordonnCes internes du noyau A et sur les coordonnkes polaires
et de spin du nuclkon.Ce syst5me (4) est de
dimension infinie de telle sorte que des approximations supplementaires sont nkcessaires pour
rendre possible sa resolution et au mieux on ne
gardera que les termes dont on sait qu'ils
correspondent h de larges sections efficaces
Toutefois l e systeme (4) devra & r e modifie de
telle sorte h inclure implicitement les voies
explicitement negligbes cornme nous l e verrons
par la suite.
Etudions l'approximation du premier ordr e
et ecrivons 1' equation corr espondant Ir
.
c
=
(t s j a. Jo) oh
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970206
Q,
Jo caracterise ltCtat
THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
initial fondamental du noyau, Les voies c'
intervenant dans le second membre correspondent h une excitation intermediaire du noydu
i
cible (fig. 1) donc correspondent h
des processus du 2kme ordre en V
° CP
S i nous nCgligeons ces eff ets du
fij.4
2kme ordre cette Cquation devient :
de S calculCs dans ce sous-espace soient
identiques h ceux obtenus en resolvant l e problkme exactement, JI (P) devra Stre solution de:
=a
Si maintenant nous considCrons ces
Cquations (4) pour c' f c (a, JO) les voies c"
,
correspondent aux deux types de c"
processus indiquCs sur la fig.2, cl
Donc en ler ordre en V
e(4.X)
nous negligerons toutes les
%
voies c" # c(ao Jo) et obtenaws
alors un systkme approchC dlCquations :
E
kq.
(7.a), il est alors facile de montrer que les
autres Cquations admettent une solution simple
qui conduit h l'expression suivante de l a matrice S correspondant h la diffusion inClastique :
oh uE,(r) et uE6-> sont solutions de
l'dquation (7. a) correspondant aux potentiels
I
et vkC(r) respectivement Nous avons
vC'C'
ainsi obtenu la matrice S dans l'approximation de Born avec ondes distordues
que
.
.
nous avons obtenu cette expression, Vcc et
Vccl sont les Clhents de matrice de l'interac.
tion nucleon-nuclCon mais il est bien connu que
pour reproduire la diffusion Clastique l'interaction nucleon-nucleon doit Stre remplacee par
une interaction effective complexe ou pot entiel
optique.
Ceci peut fitre montre rigour eusement
En effet, soit P l'operateur projection dCfini
dans le sous espace des &tats c' retenus dans
les Cquations (4) et Q l'opdrateur Q = 1 P.
Soit JI (P) la fonction d'onde $ dCveloppCe
sur ce sous-espace restreint on peut montrer
que, s i on impose que les e l h e n t s de matrice
.
,
$(P)=O
Donc dks que l'on est oblige de rendre
fini l e systeme initialement infini et de l e ramener B un systkme de dimension P , on devra dans
(4)remplacer l'interaction nucleon-nucleon par
une interaction effective qui peut stre calculee
suivant (9) et sera une interaction complexe.
Dans les Cquations (4) Vcct devra alors Stre
rernplacC par :
QaJlvl t ~ < t I I V I Q a l J l >
(10)
'Kcc' = vcc*+ IeQ
E El + i s
,
2
donc un s y s t h e dlCquations dCcouplees decrivant la diffusion Glastique et inClastique,
Connaissant la solution de la premikre equation
-
(E-HA-T-v)
-
1) s i P contient tous les Qats correspondants h de larges sections dficaces, l e
2kme terme de qfccl sera faible devant VCCl
et l a partie rCelle de
sera dominde par
l'interaction nuclbon-nucleon. Toutefois l'exclusion de certaines voies inelastiques fait
Vcc,
apparafir e une partie imaginaire et les Cquations (4) devront & r e rCsolues en rempla~ant
Vccl par Vcc* + i WCC'
2) dans l'approximation du ler ordr e ou
DWBA conduisant aux Cquations (7), l e 2&me
terme de (10) pour les Clements diagonaux de
est alors une s o m e de carrCs dont
certains seront certainement trks importants.
ou potentiel optique sera alors trks different de Vcc D'autre part, d'aprks (10)
l e potentiel optique correspondant aux voies
indlastiques c' pourra & r e different du potentie1 optique pour la voie Clastique s i l'Ctat
excite corr espondant du noyau a une structure
trks diffCrente de lr&tatfondamental (en particulier s i cet &tat est un Qat trks collectif).
Enfin les elkments non diagonaux de
seront
certainement proches de ceux de l'interaction
nucleon-nucleon, puisqu'alors l e 2 h e terme
de (10) ayant un signe non dCfini pourra, en
moyenne, & r e supposd nul, Dans les calculs
de DWBA, on pourra donc utiliser (8) oh les
seront solutions de (7.a),
fonctions u: et ,u:
VCtant r +place par des potentiels optiques
complexes qui en principe dependent de la voie
,
vcc
.
,
N . VINH MAU
considCr Ce et peuvent Btr e calculCs [3], Toutefois dans les nombreux calculs de sections
efficaces inClastiques au moyen de la DWBA,
Cette relation est en fait intuitive puisque
la fonction de Green GI traduit la rCponse
d'un systeme lorsqu'on lui ajoutr ou retranche
on utilise un potentiel optique ph4nomCnologicpe
ajustC sur la diffusion Clastique pour calculer
les fonctions uz et uz,, Ainsi ces calculs ne
sont microscopiques qu'h travers l'emploi de
fonctions d'onde nuclCaires microscopiques
une particule et
va r eproduir e l'eff et
qu'auront les interactions de la particule ajou-
pour l e calcul de Vccle
Les rCsultats prCcCdents sont exacts s i
l a particule incidente est discernable des
nuclCons du noyau par exemple s i nous nous
,
intCressons B la diffusion dquneparticule a
consid6ree comme une particule simple sur un
noyau. 11s seront encore valables pour la diffusion d'un nucleon de haute Cnergie (supgrieure
B 100 Mev environ) sur un noyau mais deviendront inexacts s i nous nous inthressons B la
diffusion de nucleons de basse Cnergie, lrantisymCtrie jouant alors un r81e important,
RCcemment Schaeffer [4]a repris les calculs
en DWBA antisymhrisant directement la for
mule (8) entre nucleon incident et nuclPon
-
cible et
utilisant un potentiel optique ph6nom6nologique.
Un probleme intCressant est alors de
dCterminer dans une thCorie microscopique
complet ement antisymhrisCe l'analogue de
l'expr ession (10) pour l e pot entiel optique.
Bell et Squires [5] ont montrC que s i
est lropCrateur de masse d&ini par :
G, (x, X ~ ) . G ~ ~
x*)
)(~
(0)
dxldx,G1 ~ x , x , ) ~ ~ x , x , ) ~ , ( x , x ' )(19
oh
x=(r, a,t)
x') = fonction de Green d'une
G,
particule
(x,
G: (x,x')
=
particule libre
l e potentiel optique
(
-
fonction de Green d'une
,
?J-
est donnP par :
z(&, El
1 =-
-
(13)
,
2 ( r rq,E) Ctant la transform& de
Fourier par rapport au temps de llopCrateur
d6fini pr CcCdemment
.
exprimC sous cette forme est alors
non local et dCpendant de llCnergie.
L
t6e avec l e noyau sur cette particule. Cette
mCthode de calcul du potentiel optique prCsente
l'avantage de t enir compte automatiquement de
l'antisymktrisation et nous nous sommes alors
L
.
attache au calcul de llopCrateur
Nous
avons pu montrer que moyennant l e s m h e s
approximations que celles de la R P A pour un
systeme trou-particule ou celles qui conduis ent
au calcul de l a matrice G pour un systgme de
deux particules, c'est B dire s i nous ne conservons que les diagrammes en Cchelles pour
tout propagateur de deux particules et l e s
diagrammes en bulles pour tout propagateur
trou-particule,
peut slCcrire comme la
L
somme des diagrammes reprCsentCs fig. 3,
Sur c e dCveloppement nous pouvons
faire un certain nombre de remarques immCdiates.
1) l e premier terme est l e potentiel de
Hartree-Fockson local mais inddpendant de
llCnergie
2) tous les termes d'ordre supCrieur sont
purement non locaux et dCpendant de lVCnergie
alors que les analyses phCnomCnologiques B
partir d'un potentiel optique non local supposent toujours ce potentiel indCpendant de
llCnergie.
3) les diagrammes 3a et 3c correspondent au potentiel optique d6rivC par Feshbach
lorsque Iron choisit comme Ctats du noyau les
,
Ctats propres de la R P A
4) en particulier il serait intCressant de
ealculer la contribution des diagrammes 3b
qui nront jamais kt6 inclus dans un tel calcul
5) tel que l e d6veloppement de L est
~rCsentCsur la fig.3 il est Cvident que seuls
les Ctats collectifs de la R P A vont contribuer
6 ) enfin s i nous introduisons dans notre
formalisme l e spin isotopique nous aurons
daas chacun des diagrammes 3b-3e contributions drCtats intermidiairesavec Cchange de
charge soit s i nous nous int6ressons h l a
diffusion de protons nous tiendrons compte
THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
automatiquement des voies (P,P') et(~,n)-.
C2-55
h a t s propres d'un systeme dlCquations anafogue au systeme dlCquations de la RPA [ 6 ]
[73.
Ceci connu, il suffira de calculer chacun
des diagrammes de la fig.3. Mais ce programme est encore trop ambitieux et pour tester c e
modele nous avons fait un certain nombre
d'approximations supplhentaires et calculC
l a partie imaginair e du potentiel optique pour
la diffusion de nuclCons de 14-60 Mev sur l e
Ca40
l) nous avons dCcrit les Ctats dlCnergie
positive du nuclCon par des ondes planes
2) nous avons approchC l e diagramme 3b
par son premier terme, terme du second ordrp.
en V. On peut montrer que seuls les &tatsh
deux particules dVCnergiesbasses contribueront h la partie imaginaire ce qui peut Stre
une justification de cette approximation
3) nous avons inclus tous les Ctats de la
RPA de parite calculCs par Gillet et
Sanderson [8] et l e s etats de paritC + calcu16s par Cortes [g] avec la m&ne interaction
-
4) dans l e calcul des Clhents de rnatrice nous avons utilisC une force h portde
nulle dont les parametres d'kchange sont ceux
dCterminCs par Gillet et Sander son ,
DCsirant compar er notr e potentiel
optique aux potentiels phCnomCnolo i ues non
locaux, potentiels s6parables en 1 RI=q,+~*
I
[
2
-
-
et 17\=I?7
1nous avons CtudiC Im
fonction de ces m h e s coordonnCes
Notre potentiel s'dcrit :
Fig 3
Ainsi nous avons obtenu une derivation
microscopique exactement antisymCtris6e du
potentiel optique qui implique que, connaissaa
lrinteraction nucleon-nuclbon, nous calculions
1) les Ctats de Hartree-Fock
2) les Ctats de l a RPA
3) l e s Ctats h deux particules ou deux
e o u s qui dans l'approximation Cchelle sont
.
en
Nous avons calculC l e premier terme & = 0
mais il serait intkressant de calculer l e
terme & = 1 n6gligC dans les analyses
phCnomCnologiques
Pour une energie incidente de 14 Mev,
les fig, 4 et 5 montrent l e comportement de
W, (R
p ) I. On peut dCfinir un paramgtr e
de non localit6 qui varie entr e 1.1 et 1.3
fermis (fig.4) donc est leg& ement supCrieur
au paraml?tre de Perey et Buck D'autre
part l a variation de W, en fonction de R
.
,
.
N. VINH MAU
t
Irn"u(~,~)en unit&
arbitraires
En. ~ n c i d e n k= 14 MeV
Fig. 4
t
IrnYf(f,R)
en unites arbirraires
~n.incidente= 14 MeV
semble t r s s diffCrente de celle imposCe par
Per ey et Buck (fig.5) en particulier pour de
)
petites valeurs de R. D'autre part, ce potentiel
calcule n'est pas separable en R et p ,
Toutefois cette comparaison entr e potentiels non locaux Ctant difficile, nous avons calculC l e potentiel local Cquivalent
Nous devons dgterminer un potentiel opti+
que local tel que la fonction d'onde cp ( r ) soit
solution de :
.
oh
VL(r)
=
UL(r)
+ i WL(z)
(16)
N'ayant calculC que la seule partie imaginaire W, (R, p ) nous supposerons UL@)
determinke par les analyses phCnomCnologiques
de la diffusion Clastique aux Cnergies considerCes [lo]. Suivant l a mCthode de Perey- Saxon
[ill nous obtenons :
w,(r) G( r
- 3 ~ ( r , x ~uL(O
)
(17)
'3x2
,
,
-
,k2)
THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
oh
G(~,x')=
--
J eix*P w , o , ~ ) d a
Les resultats obtenus sont reprksentes
fig. 6. En fait pour r & If nous avons donne
une courbe "moyenne" les points calculCs s e
rCpartissant en fait de part et d'autre de cette
courbe. Ceci provient de ce que pour ces
valeurs de R , les deux termes de ( 19 ) ont
des signes opposCs ce qui rend l e rksultat
trks sensible h toute variation de chacun.
Bien que l e potentiel non local soit assez
(18)
x2 est un paramktre qui devrait & r e choisi de
telle sorte qu'il rende minimum les termes
negliges dans l'approximation de Perey-Saxon.
3G
En fait nous avons vkrifiC que --a varie peu
ax
au voisinage de x2 = k2 et avons remplace
x2 par k2.
Nous ecrirons donc
WL(r)
=
G(r, k2)
["?ZjX2
-
.UL(r) (I9)
different des potentiels phknomCnologiques , l e
pot entiel local kquivalent r eproduit assez bien
les caract kristiques des potentiels phenomenalogiques locaux, l'absorption de surface disparaissant toutefois moins rapidement avec
1'ener gie
,,
- L'absorption de surface s i elle existe
=
s e r a dOe uniquement au ler terme G(r ,k2)
L'absorption de volume est en fait domin4e par l e 26me terme donc plus imprecise B
cause de notre approximation x2 k2
-
.
- .
En,inc. 30 MeV
-----.-.-
1
I
I
I
I
I
I
2
1
En.;nc. 40 MeV.
En.~nc.00 MeV.
.-
I
I
I
4
3
Fig.6
[1
r2]
[3]
[41
[5]
Feshbach(H) Ann. of Phys. 1958,5,357 ;
1962, l9, 287
Shakin(C) Ann. of Phys 1963, 22, 54
~emmer(R)et a1 Ann. of Phys .1%4,27,13
Slanina(D)et a1 Nucl Phys .1968, A 116,271
et r Cfkrences contenues dans cet article
Schaeff er<R)Nucl Phys .1%9, A132,186
~ e l l ( JS)et
.
a1 Phys .Rev. Letters 1959
.
.
.
,
3,
-
96
r6I Ripka(G)et a1 preprint Saclay 1969
.
[7 1 Vinh Mau(N)Int Course on Nuclear Theory
Trieste 1969
[8] Gillet(V)et a1 Nucl. Phys ,1967 ,A91, 292
[9] Cortks communication p r i d e
101 Engelbrecht(~.~ ) ea1
t Ann. of Phys .1967
r
42 , 262
-
.
.
Van Oers(W. T HIPreprint Winnipeg 1969
[ll] Perey(F.G)et al. Phys. Lett. 1%4,lO, 107.