theorie microscopique des reactions nucleaires et potentiel optique

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS
NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
N . Vinh Mau
To cite this version:
N . Vinh Mau. THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET
POTENTIEL OPTIQUE. Journal de Physique Colloques, 1970, 31 (C2), pp.C2-52-C2-57.
<10.1051/jphyscol:1970206>.<jpa-00213763>
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THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
N . Vinh Mau
Institut de Physique Nucleaire
- Division de Physique ThCorique - 91-Orsay
Une theorie microscopique des reactions
nucleaires devra permettre de deriver toutes les
quantites mesurees en fonction de l'interaction
nuclCon-nucleon exclusivement . L'Qude micros-
copique du probleme h N-corps appliquee h la
structure nucleaire a fait des progrss conside-
rable~
mais la thCorie microscopique des re-
actions nucleair es , beaucoup plus complexe,
est en fait beaucoup moins avancCe. En effet
dans un noyau, tous les nuclCons interagissent
et nous cherchons des &tats lies de cet ensemble
de nuclCons
; dans les reactions nuclkaires nous
devrons dkcrire les &tats d'un systeme, lui-
mCme compos6 de plusieurs sous-systemes,
chacun Ctant un &at lie d'un ensemble de nucle-
ons le constituant. Dans cet expose nous nous
limiterons au cas le plus simple de la diffusion
d'une particule par un noyau pour lequel le
systeme total est compose d'une particule sim-
ple et d'un noyau.
Une approche
?I la theorie microscopique
pour la diffusion d'une particule simple par un
noyau a ete d6veloppke par Feshbach
[I] ,puis
par differents auteurs [2], Nous supposons que
nous connaissions les fonctions d'onde
(K)
?J
du noyau, solutions d'un hamiltonien modele
HA :
Nous Ccrirons le hamiltonien total du
systeme particule incidente-noyau cible :
- -
H = HA+T+V(r, A) (2)
06 - T est l'energie cinetique de la parti-
cule
- -
- V( r , A) est l'int eraction du noyau avec
cette particule additive.
Cette separation particulier e du hamilto-
nien en trois termes distincts sera naturelle si
la particule indtlente est discernable des
nucleons du noyau mais ne l'est plus dans le
cas
de la diffusion nucl&bn-noyau, La theorie de
Feshbach dans sa forme primitive neglige donc
l'indis cernabilit
C entr e particule incident e et
noyau et l'extension de son premier travail h une
thkorie tenant compte de 11antisym4trie entr e
nucleon incident et nucleons-cibles devient tres
complexe. Nous exposerons donc ici la theorie
non antisymetrisee.
Si $AT, K ) est la fonction d'onde du
systeme total dans un &tat de moment angulair e I
et parit6 n , nous Ccrirons si nous n'antisymk-
trisons pas :
c representant l'ensemble des nombres
quantiques
:
c = (a&s jD
et 1 Cs "ant la fonction spin-orbite du
nucleon isolC.
On peut alors dCriver un systeme d'equa-
tions couplCes pour les fonctions uC(r) du
nucleon diffuse :
E &ant l'Cnergie incident e
- v~~.~~=,~~~,~,~Iv~~.~~,I~~~~~,~,~~
(5)
llintkgration porte ici sur les coordonnCes inter-
-
nes du noyau A et sur les coordonnkes polaires
et de spin du nuclkon.Ce syst5me (4) est de
dimension infinie de telle sorte que des approxi-
mations supplementaires sont nkcessaires pour
rendre possible sa resolution et au mieux on ne
gardera que les termes dont on sait qu'ils
correspondent h de larges sections efficaces .
Toutefois le systeme (4) devra &re modifie de
telle sorte h inclure implicitement les voies
explicitement negligbes cornme nous le verrons
par la suite.
Etudions l'approximation du premier ordr
e
et ecrivons 1' equation corr espondant Ir
c = (t s j a. Jo) oh Q, Jo caracterise ltCtat
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1970206

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE
initial fondamental du noyau, Les voies c'
intervenant dans le second membre correspon-
dent
h une excitation intermediaire du noydu
i
cible (fig. 1) donc correspondent h
des processus du 2kme ordre en V
° CP
Si nous nCgligeons ces eff ets du
=a
2kme ordre cette Cquation devient :
fij. 4
Si maintenant nous considCrons ces
Cquations (4) pour c'
f c (a, JO) , les voies c"
correspondent aux deux types de
c"
processus indiquCs sur la fig.2,
cl
Donc en ler ordre en V
nous negligerons toutes les
e(4.X)
voies c" # c(ao Jo) et obtenaws
E
kq. %
alors un systkme approchC dlCquations :
donc un systhe dlCquations dCcouplees decri-
vant la diffusion Glastique et inClastique,
Connaissant la solution de la premikre equation
(7.a), il est alors facile de montrer que les
autres Cquations admettent une solution simple
qui conduit
h l'expression suivante de la matri-
ce S correspondant h la diffusion inClastique :
oh uE,(r) et uE6-> sont solutions de
l'dquation (7. a) correspondant aux potentiels
I
et vkC (r) respectivement . Nous avons
vC'C'
ainsi obtenu la matrice S dans l'approxima-
tion de Born avec ondes distordues .
que
nous avons obtenu cette expression, Vcc et
Vccl sont les Clhents de matrice de l'interac.
tion nucleon-nuclCon mais il est bien connu que
pour reproduire la diffusion Clastique l'interac-
tion nucleon-nucleon doit Stre remplacee par
une interaction effective complexe ou pot entiel
optique.
Ceci peut fitre montre rigour eusement
.
En effet, soit P l'operateur projection dCfini
dans le sous espace des &tats c' retenus dans
les Cquations (4) et
Q l'opdrateur Q = 1 - P.
Soit JI (P) la fonction d'onde $ dCveloppCe
sur ce sous-espace restreint , on peut montrer
que, si on impose que les elhents de matrice
de S calculCs dans ce sous-espace soient
identiques
h ceux obtenus en resolvant le pro-
blkme exactement, JI (P) devra Stre solution de:
(E-HA-T-v) $(P)=O
Donc dks que l'on est oblige de rendre
fini le systeme initialement infini et de le rame-
ner B un systkme de dimension P, on devra dans
(4) remplacer l'interaction nucleon-nucleon par
une interaction effective qui peut stre calculee
suivant (9) et sera une interaction complexe.
Dans les Cquations (4)
, Vcct devra alors Stre
rernplacC par :
2
QaJlvl t~<tIIVIQalJl>
'Kcc' = vcc*+ IeQ
( 10)
E - El + is
1) si P contient tous les Qats corres-
pondants h de larges sections dficaces, le
2kme terme de qfccl sera faible devant VCCl
et la partie rCelle de Vcc, sera dominde par
l'interaction nuclbon-nucleon. Toutefois l'ex-
clusion de certaines voies inelastiques fait
apparafir e une partie imaginaire et les Cqua-
tions (4) devront &re rCsolues en rempla~ant
Vccl par Vcc* + iW CC'
2) dans l'approximation du ler ordr e ou
DWBA conduisant aux Cquations (7), le 2&me
terme de (10) pour les Clements diagonaux de
, est alors une some de carrCs dont
certains seront certainement trks importants.
vcc ou potentiel optique sera alors trks dif-
ferent de Vcc
. D'autre part, d'aprks (10) ,
le potentiel optique correspondant aux voies
indlastiques c' pourra &re different du poten-
tie1 optique pour la voie Clastique si l'Ctat
excite corr espondant du noyau a une structure
trks diffCrente de lr&tat fondamental (en parti-
culier si cet &tat est un Qat trks collectif).
Enfin les elkments non diagonaux de seront
certainement proches de ceux de l'interaction
nucleon-nucleon, puisqu'alors le 2he terme
de (10) ayant un signe non dCfini pourra, en
moyenne, &re supposd nul, Dans les calculs
de DWBA, on pourra donc utiliser
(8) oh les
fonctions u: et u:, seront solutions de (7.a),
VCtant r +place par des potentiels optiques
complexes qui
en principe dependent de la voie

N. VINH MAU
considCr Ce et peuvent Btr e calculCs [3], Toute-
fois dans les nombreux calculs de sections
efficaces inClastiques au moyen de la DWBA,
on utilise un potentiel optique ph4nomCnologicpe
ajustC sur la diffusion Clastique pour calculer
les fonctions uz et uz,, Ainsi ces calculs ne
sont microscopiques qu'h travers l'emploi de
fonctions d'onde nuclCaires microscopiques
pour le calcul de Vccle
Les rCsultats prCcCdents sont exacts si
la particule incidente est discernable des
nuclCons du noyau , par exemple si nous nous
intCressons B la diffusion dqune particule
a
consid6ree comme une particule simple sur un
noyau. 11s seront encore valables pour la diffu-
sion d'un nucleon de haute Cnergie (supgrieure
B 100 Mev environ) sur un noyau mais devien-
dront inexacts si nous nous inthressons B la
diffusion de nucleons de basse Cnergie, lranti-
symCtrie jouant alors un r81e important,
RCcemment Schaeffer [4] a repris les calculs
en DWBA antisymhrisant directement la for
-
mule (8) entre nucleon incident et nuclPon
cible et utilisant un potentiel optique ph6no-
m6nologique.
Un probleme intCressant est alors de
dCterminer dans une thCorie microscopique
complet ement antisymhrisCe l'analogue de
l'expr ession (10) pour le pot entiel optique.
Bell et Squires
[5] ont montrC que si
est lropCrateur de masse d&ini par
:
G, (x, X~).G~~)(~ x*)
(0)
dxldx,G1 ~x,x,)~~x,x,)~,(x,x') (19
oh x=(r, a,t)
G,
(x, x') = fonction de Green d'une
particule
G: (x,x') = fonction de Green d'une
particule libre
,
le potentiel optique ?J- est donnP par :
(1 =- z(&, El (13)
- -
2 ( r , rq, E) Ctant la transform& de
Fourier par rapport au temps de llopCrateur
d6fini pr CcCdemment .
exprimC sous cette forme est alors
non local et dCpendant de llCnergie.
Cette relation est en fait intuitive puisque
la fonction de Green
GI traduit la rCponse
d'un systeme lorsqu'on lui ajoutr ou retranche
une particule et L va r eproduir e l'eff et
qu'auront les interactions de la particule ajou-
t6e avec le noyau sur cette particule. Cette
mCthode de calcul du potentiel optique prCsente
l'avantage de t enir compte automatiquement de
l'antisymktrisation et nous nous sommes alors
attache au calcul de llopCrateur L . Nous
avons pu montrer que moyennant les mhes
approximations que celles de la RPA pour un
systeme trou-particule ou celles qui conduis ent
au calcul de la
matrice G pour un systgme de
deux particules, c'est
B dire si nous ne con-
servons que les diagrammes en Cchelles pour
tout propagateur de deux particules et les
diagrammes en bulles pour tout propagateur
trou-particule,
L peut slCcrire comme la
somme des diagrammes reprCsentCs fig.
3,
Sur ce dCveloppement nous pouvons
faire un certain nombre de remarques immCdia-
tes.
1) le premier terme est le potentiel de
Hartree-Fockson local mais inddpendant de
llCnergie
2) tous les termes d'ordre supCrieur sont
purement non locaux et dCpendant de lVCnergie
alors que les analyses phCnomCnologiques B
partir d'un potentiel optique non local suppo-
sent toujours ce potentiel indCpendant de
llCnergie.
3) les diagrammes 3a , et 3c correspon-
dent au potentiel optique d6rivC par Feshbach
lorsque Iron choisit comme Ctats du noyau les
Ctats propres de la
RPA
4) en particulier il serait intCressant de
ealculer la contribution des diagrammes 3b
qui nront jamais kt6 inclus dans un tel calcul
5) tel que le d6veloppement de L est
~rCsentC sur la fig.3 il est Cvident que seuls
les Ctats collectifs de la RPA vont contribuer
6) enfin si nous introduisons dans notre
formalisme le spin isotopique nous aurons
daas chacun des diagrammes 3b-3e contri-
butions drCtats intermidiairesavec Cchange de
charge soit si nous nous int6ressons h la
diffusion de protons nous tiendrons compte

THEORIE MICROSCOPIQUE DES REACTIONS NUCLEAIRES ET POTENTIEL OPTIQUE C2-55
automatiquement des voies (P,P') et(~,n)-.
Fig 3
Ainsi nous avons obtenu une derivation
microscopique exactement antisymCtris6e du
potentiel optique qui implique que, connaissaa
lrinteraction nucleon-nuclbon, nous calculions
1) les Ctats de Hartree-Fock
2) les Ctats de la RPA
3) les Ctats
h deux particules ou deux
eous qui dans l'approximation Cchelle sont
hats propres d'un systeme dlCquations anafo-
gue au systeme dlCquations de la RPA [6]
[73.
Ceci connu, il suffira de calculer chacun
des diagrammes de la fig.3. Mais ce program-
me est encore trop ambitieux et pour tester ce
modele nous avons fait un certain nombre
d'approximations supplhentaires et calculC
la partie imaginair e du potentiel optique pour
la diffusion de nuclCons de
14-60 Mev sur le
Ca
40
l) nous avons dCcrit les Ctats dlCnergie
positive du nuclCon par des ondes planes
2) nous avons approchC le diagramme 3b
par son premier terme, terme du second ordrp.
en V. On peut montrer que seuls les &tats h
deux particules dVCnergies basses contri-
bueront h la partie imaginaire ce qui peut Stre
une justification de cette approximation
3) nous avons inclus tous les Ctats de la
RPA de parite
- calculCs par Gillet et
Sanderson
[8] et les etats de paritC + calcu-
16s par Cortes [g] avec la m&ne interaction
4) dans le calcul des Clhents de rnatri-
ce nous avons utilisC une force h portde
nulle dont les parametres d'kchange sont ceux
dCterminCs par Gillet et Sander son ,
DCsirant compar er notr e potentiel
optique aux potentiels phCnomCnolo
i ues non
q,+~*
locaux, potentiels s6parables en 1 RI= I - [
2
et 17 \=I? - 71 nous avons CtudiC Im en
fonction de ces mhes coordonnCes
.
Notre potentiel s'dcrit :
Nous avons calculC le premier terme & = 0
mais il serait intkressant de calculer le
terme
& = 1 n6gligC dans les analyses
phCnomCnologiques .
Pour une energie incidente de 14 Mev,
les fig,
4 et 5 montrent le comportement de
W, (R , p ) I. On peut dCfinir un paramgtr e
de non localit6 qui varie entr e
1.1 et 1.3
fermis (fig.4) donc est leg& ement supCrieur
au paraml?tr e de Perey et Buck . D'autre
part la variation de W, en fonction de R