TD 1 - IPCMS

forces acting on all the objects, using F = ma. The forces generally point in various
directions, so it’s easy to lose track of them. It therefore proves useful to isolate the
objects and draw all the forces acting on each of them. This is the subject of the present
section.
Université
de Strasbourg
Mécanique et Relativité
• In
other problems,
you are given the force explicitly as a function of time, position,
c G. Weick
Master
MEEF
(prépa
CAPES), M1–S1
or
velocity,
and the
task immediately
becomes the mathematical one of solving the
F = ma ≡ mẍ equation (we’ll just deal with one dimension here). These differential
equations can be difficult (or impossible) to solve exactly.
TD 1They are the subject of
Section 3.3.
Mécanique du point
Les trois lois de Newton
Let’s consider here the first of these two types of scenarios, where we are presented with a physical situation and we must determine all the forces involved.
The1 term
free-body
diagram is used to
a diagram with all the forces
Lois
fondamentales
dedenote
la dynamique
drawn on a given object. After drawing such a diagram for each object in the
setup,
we simply
writelois
down
the F = ma equations they imply. The result
Énoncez
les trois
de all
Newton.
will be a system of linear equations in various unknown forces and accelerations, for which we can then solve. This procedure is best understood through an
2 Bilan des forces
example.
Une masse M1 est maintenue sur un plan incliné avec un angle θ
etExample
est reliée
unand
fil masses):
(dont on négligera
la masse)
à une
(A par
plane
Mass M1 is held
on a plane
with masse
inclination
Mangle
Fig.mass
1). Dans
la suite
de side.
l’exercice,
néglige
la frictionby a
2 (voir
θ , and
M2 hangs
over the
The twoon
masses
are connected
cinétique
µ dewhich
la masse
M1a. massless
Déterminez
l’accélération
deux of
massless string
runs over
pulley (see
Fig. 3.1). Thedes
coefficient
kinetic friction
plane is µ.sur
M1 le
is released
from rest. Assuming that
masses,
ainsi between
que la M
tension
fil.
1 and theexercée
M2 is sufficiently large so that M1 gets pulled up the plane, what is the acceleration
of the masses? What is the tension in the string?
M1
m
M2
u
Fig. 3.1
c D. Morin
Fig. 1: N
first thing to do is draw all the forces on the two masses. These are
3Solution:
ChuteThelibre
shown in Fig. 3.2. The forces on M2 are gravity and the tension. The forces on M1 are
T
T
f
gravity,
friction, the
the normal
force. Note
the friction
force points
Une
particule
de tension,
masse and
m dans
le champ
de that
pesanteur
terrestre
est soumise à la force d’atM1g
−
2
u
down
the
plane,
because
we
are
assuming
that
M
moves
up
the
plane.
1
traction F = mg, ou g = 9.81 m.s est l’accélération
de la pesanteur à la surface
de la Terre.
M2g
Having drawn
the forces,
we can now
downhauteur
all the F h,
= sans
ma equations.
La particule
estall
lâchée
à l’instant
t = write
0 d’une
vitesse initiale.
When dealing with M1 , we could break things up into horizontal and vertical compo-
(a)
Onbut
néglige
dans
un to
premier
temps les parallel
frottements
dus à la résistance
3.2 l’air. Déterminez
nents,
it is much
cleaner
use the components
and perpendicular
to the Fig.de
et résoudre les équations du mouvement de la particule.
(b) On prend maintenant en compte les frottements dus à la résistance de l’air, et on suppose
que la force de frottement a pour module αmv, avec v la vitesse de la particule, et α une
constante positive (quelle est sa dimension ?). Déterminez la vitesse et la position de la
particule à tout instant t. Esquissez ces deux quantités.
MORIN: “CHAP03” — 2007/10/9 — 17:45 — page 55 — #5
4
Projectile
Un projectile de masse m soumis à l’attraction terrestre, initialement à la position r0 , est lancé
dans une direction arbitraire avec la vitesse initiale v0 . On néglige le frottement de l’air.
(a) Déterminez et résoudre les équations du mouvement.
(b) À quel angle d’inclinaison doit être lancé le projectile afin que celui-ci parcourt une distance horizontale maximale avant de retomber sur le sol ? On supposera que le projectile
est lancé du sol et que ce dernier est horizontal.
5
arrow by letting
unfortunate conse
gravity acts on bo
distance relative t
the monkey woul
him. You can wor
fruit.
Coordonnées polaires
On considère les coordonnées polaires (r, θ ) représentées sur la Fig. 2.
If a monkey
The arrow w
Because both
By a half gt 2
From what th
(a) Exprimez ( x, y) en fonction de (r, θ ), et inversement, (r, θ ) en fonction de ( x, y).
(b) Montrez que la vitesse a pour expression en coordonnées polaires
ṙ = ṙ r̂ + r θ̇ θ̂,
3.5 Motion i
où r̂ et θ̂ sont respectivement les vecteurs unitaires selon r et θ.
Commentez la signification physique de chaque terme.
r
(c) En déduire que l’accélération a pour expression
(d) On considère une masse m suspendu à un fil inextensible de longueur `. La masse est soumise à une force de pensanteur mg et
les frottements sont négligés. Déterminez l’équation du mouvement. Résoudre cette équation dans la limite des petites oscillations. Dans cette limite, en déduire la fréquence et la période du
pendule. On supposera que la masse forme initialement un angle
θ0 avec la verticale, et que sa vitesse initiale est nulle.
6
y
u
r̈ = (r̈ − r θ̇ 2 ) r̂ + (r θ̈ + 2ṙ θ̇ ) θ̂.
Commentez la signification physique de chaque terme.
When dealing wit
nient to work with
coordinates by (se
x
Fig. 3.7
c D. Morin
Fig. 2: Particule chargée dans un champ électromagnétique
On suppose que règne dans tout l’espace un champ magnétique homogène B orienté selon x
et un champ électrique E orienté selon z. Une particule de charge q se situe à l’instant t = 0
à l’origine des coordonnées avec une vitesse initiale nulle. Montrez que la trajectoire de la
particule est une cycloïde.
Depending on the
use. It is usually c
involves circular
coordinates, we n
in terms of them.
F = ma ≡ mr̈ loo
At a given pos
r̂, which is a unit
vector pointing in
a general vector m
Since the goal of
a handle on the ti
of θ̂, too. In contr
basis vectors (r̂ a
MORIN: “CHAP03” —