Bézout et nombres premiers
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Université d’Orléans 2010-2011 semaine 16 M2 enseignement Isabelle Van den Boom. Leçons 13 et 14 - Égalité de Bezout. Nombres premiers p p0 Exercice 1 Montrer que toute fraction , p, q ∈ N∗ est égale à une fraction 0 irréductible q q c’est à dire telle que pgcd(p0 , q 0 ) = 1. Exercice 2 Montrer que deux entiers naturels non nuls consécutifs sont toujours premiers entre eux. Exercice 3 Montrer que √ 2 est irrationnel. Exercice 4 Montrer que 1008 est divisible par 36. Est-ce que 1 000 008 est divisible par 36 ? et plus généralement 10n + 8, l’est-il ? Exercice 5 Démontrer l’unicité de la décomposition en facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près,des entiers naturels. (admise en terminale) Exercice 6 Un entier naturel n < 100 possède exactement 5 diviseurs positifs. Quel peut être ce nombre ? Exercice 7 Résoudre en discutant selon a, b et c l’équation diophantienne : ax + by = c d’inconnues entières x et y. Exercice 8 idéaux. Démontrer le théorème de Bezout à l’aide de la définition de pgcd avec les Exercice 9 Petit théorème de Fermat Soit p un nombre premier. Montrer que si a est un entier non multiple de p alors p−1 a − 1 est divisible par p. Exercice 10 Montrer que p est un nombre premier si et seulement si Z/pZ est un corps. Exercice 11 Théorème de Wilson Montrer que p est un nombre premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 (mod p). 1
