Note sur la distribution des nombres premiers

18 décembre 2013 (rév. 24-12-2013)
Note sur la distribution des nombres premiers
Erika Lorena Álvarez Ramírez
Universidad Autónoma de la Ciudad de México,
Plantel Casa Libertad,
México, DF, Mexique
Jean Pestieau,
Université catholique de Louvain,
Institut de recherche en mathématique et physique (IRMP),
1348 Louvain-la-Neuve, Belgique
Les nombres premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et par l’unité.
Par convention, 1 n’est pas un nombre premier. En dehors de 2 et de 5, tous les nombres premiers se
terminent par 1, 3, 7 ou 9.
Prenons d’abord les premiers cent milles nombres premiers. Voici le nombre de nombres
premiers se terminant par :
• 1 → 24 967
• 3 → 25 007
• 7 → 25 015
• 9 → 25 009
Prenons ensuite le premier million des nombres premiers. Voici le nombre de nombres premiers
se terminant par :
• 1 → 249 934
• 3 → 250 110
• 7 → 250 014
• 9 → 249 940
Il n’y a rien qui privilégie à première vue les nombres premiers se terminant par soit 1, soit 3,
soit 7 ou soit 9.1 Cela se traduit par le fait que lorsque nous examinons les N premiers nombres
premiers, nous avons que quand N → ∞, le nombre de nombres premiers se terminant par 1, 3, 7
ou 9 tend, dans chaque cas, vers N/4.
Deux sortes de nombres premiers
Hormis 2, tous les nombres premiers sont impairs. Les nombres premiers impairs peuvent être
divisés en deux groupes :
• ceux qui, lorsqu’ils sont divisés par 4, donnent un reste 1. Ils sont de la forme 4k + 1 où k est
n’importe quel nombre entier naturel.2
• ceux qui, lorsqu’ils sont divisés par 4, donnent un reste 3. Ils sont de la forme 4k + 3.3
1
Pour plus de précisions, voir Andrew Granville et Greg Martin, « Prime Number Races », The American
Mathematical Monthly, vol. 113, no 1 (janvier 2006), p. 1-33, en ligne :
http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/PrimeRace.pdf.
2
Ces nombres, hormis 5, doivent nécessairement se terminer par 01, 09, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, 53, 57, 61,
69, 73, 77, 81, 89, 93 ou 97.
3
Ces nombres doivent nécessairement se terminer par 03, 07, 11, 19, 23, 27, 31, 39, 43, 47, 51, 59, 63, 67, 71, 79,
83, 87, 91 ou 99.
1
Prenons d’abord les premiers cent mille nombres premiers. Voici le nombre de nombres
premiers, hormis 2, qui sont de la forme :
• 4k + 1 → 49 949
• 4k + 3 → 50 050
Prenons ensuite le premier million de nombres premiers. Voici le nombre de nombres premiers,
hormis 2, qui sont de la forme :
• 4k + 1 → 499 798
• 4k + 3 → 500 201
Il n’y a rien qui semble privilégier les nombres premiers de la forme 4k + 1 par rapport aux nombres
premiers de la forme 4k + 3.4 Cela se traduit par le fait que lorsque nous examinons les N premiers
nombres premiers, nous avons que quand N → ∞, le nombre de nombres premiers de la forme
4k + 1 tend vers N/2, tout comme ceux qui ont la forme 4k + 3.
Pour plus de détails, voir l’appendice.
Nous sommes en position de présenter le théorème des deux carrés de Fermat. Selon le
théorème des deux carrés de Fermat5 (appliqué au cas des nombres premiers), un nombre premier
impair (c’est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés de nombres
entiers naturels si et seulement si le reste de sa division par 4 est 1. Et, de plus, cette décomposition
doit être unique.
Dit plus précisément, soit p un nombre premier impair, p est somme de deux carrés d’entiers
naturels si et seulement si p est congru à 1 modulo 4 :
p = (2r)² + (2s − 1)²
avec r et s deux entiers naturels. De plus, cette décomposition doit être unique. Dire que p est
congru à 1 modulo 4 signifie que le reste de la division euclidienne de p par 4 est 1, ou encore que
le nombre p est de la forme 4k + 1.
Un nombre premier impair, si le reste de sa division par 4 est 3, ne peut jamais être exprimé
comme la somme de deux carrés de nombres entiers naturels. Ainsi, nous avons
5 = 1² + 2²,
13 = 2² +3²,
17 = 1² + 4²,
29= 2² + 5²,
37 = 1² + 6²,
41 = 4² + 5².
Par contre, 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 ne se décomposent pas ainsi.
À noter que
• 2 = 1² + 1² ;
• 221 ne peut être un nombre premier puisque 221 = 5² + 14² = 10² + 11² ;
• idem pour 493 puisque 493 = 3² + 22² = 13² + 18², etc.
(nombre pair)² + (nombre impair)²
et distribution des nombres premiers
Nous considérons les nombres naturels impairs de la forme
t = (2r)² + (2s – 1)²
où r et s sont des nombres entiers naturels : 1, 2, 3, 4…
4
(1)
Voir note 1.
Dans le cas général, le théorème des deux carrés s’énonce comme suit : un entier naturel est somme de deux carrés
si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire.
5
2
A. Soit l’ensemble des paires (r,s) qui par l’Éq. (1) donnent des t plus petits ou égaux à x, un
nombre entier naturel quelconque. Nous appelons M(x) le nombre de telles paires (r,s). Nous avons
obtenu:
• pour x = 100,
M(x) = 176
• pour x = 1 000,
M(x) = 188
• pour x = 10 000,
M(x) = 1 939
• pour x = 100 000,
M(x) = 19 559
• pour x = 1 000 000,
M(x) = 196 093
• pour x = 10 000 000,
M(x) = 1 962 716
Pour plus de détails, voir Tableau I.
Quand x → ∞, nous avons7 que
M(x) = (π/16) × x.
(2)
Une meilleure approximation est donnée par8
M(x) = (π/16) × x − 1/4 × x1/2.
B. Soit le nombre de t distincts, satisfaisant l’Éq. (1), qui sont inférieurs ou égaux à x. Nous
appelons N (x) le nombre de tels t. Nous avons obtenu :
• pour x = 100,
N(x) = 159
• pour x = 1 000,
N(x) = 143
• pour x = 10 000,
N(x) = 1 280
• pour x = 100 000,
N(x) = 11 498
• pour x = 1 000 000,
N(x) = 104 701
Pour plus de détails, voir Tableau II
Quand x → ∞, nous avons que
N(x) = c × x/(ln x)1/2
selon un théorème dû à Landau10, avec c une constante.
(3)
Dans la même limite, nous pouvons remplacer l’Éq. (2) par
N(x) = c × x1/2π(x)1/2
(4)
où π(x) est le nombre de nombres premiers plus petits ou égaux à x. La constante c est de l’ordre
de 0.37
6
M(100) = 17 qui comprend : 1² + 2² = 5,
1² + 4² = 17,
1² + 6² = 37,
1² + 8² = 65,
3² + 2² = 13,
3² + 4² = 25,
3² + 6² = 45,
3² + 8² = 73,
5² + 2² = 29,
5² + 4² = 41,
5² + 6² = 61,
5² + 8² = 89,
7² + 2² = 53,
7² + 4² = 65,
7² + 6² = 85,
9² + 2² = 85,
9² + 4² = 97.
7
Nous remercions Andrew Granville de nous avoir signalé cette relation simple.
8
Il est bon de noter les excellentes approximations suivantes :
M(x) = (π/16) × x – 1/4 × x1/2, avec M(x) = (pairs)² + (impair)² ≤ x.
L(x) = (π/16) × x – 1/2 × x1/2, avec L(x) = (pairs)² + (pairs)² ≤ x.
K(x) = (π/16) × x, avec K(x) = (impairs)² + (impairs)² ≤ x, avec pairs et impairs désignant les nombres naturels
correspondants.
1/2 [L(x) + K(x)] = (π/16) × x – 1/4 × x1/2.
9
N(100) = 15 qui comprend : 5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 45, 53, 61, 65, 73, 85, 89, 97.
10
Voir note 7.
3
C. Soit le nombre de t distincts, satisfaisant l’Éq. (1), qui sont inférieurs ou égaux à x et tel qu’à
un t donné ne correspond qu’une seule paire (r,s). Nous appelons P(x) le nombre de tels t. Nous
avons obtenu :
• pour x = 100,
P(x) = 1311
• pour x = 1 000,
P(x) = 103
• pour x = 10 000,
P(x) = 777
• pour x = 100 000,
P(x) = 5 993
• pour x = 1 000 000,
P(x) = 48 360
Pour plus de détails, voir Tableau III.
Comparons les P(x) avec les π(x) ainsi qu’avec π(4k + 1 ; x), le nombre de nombres premiers de
la forme 4k + 1, plus petits ou égaux à x. Ainsi,
• pour x = 100,
π(x) = 25
π(4k + 1 ; x) = 11
• pour x = 1 000,
π(x) = 168
π(4k + 1 ; x) = 80
• pour x = 10 000,
π(x) = 1 229
π(4k + 1 ; x) = 609
• pour x = 100 000,
π(x) = 9 592
π(4k + 1 ; x) = 4 782
• pour x = 1 000 000,
π(x) = 78 498
• pour x = 10 000 000,
π(x) = 664 579
nous obtenons
• pour x = 100,
π(x)/2P(x) = 0.9615
π(4k + 1 ; x)/P(x) = 0.8462
• pour x = 1 000,
π(x)/2P(x) = 0.8155
π(4k + 1 ; x)/P(x) = 0.7767
• pour x = 10 000,
π(x)/2P(x) = 0.7909
π(4k + 1 ; x)/P(x) = 0.7838
• pour x = 100 000,
π(x)/2P(x) = 0.7996
π(4k + 1 ; x)/P(x) = 0.7981
• pour x = 1 000 000,
π(x)/2P(x) = 0.8116
Nous voyons la constance approximative du rapport entre π(x) et P(x) lorsque
1 000 < x < 1 000 000. Nous voudrions voir si cette constance se maintient pour x > 1 000 000.
Si c’était le cas, nous aurions alors que π(x)/2P(x) serait de l’ordre de 0.8 quand x → ∞.
Nous conjecturons donc que
P(x) = a × π(x)
quand x → ∞.
(5)
Des Éqs. (2), (4) et (5), nous obtenons alors dans la même limite,
N(x)/M(x) = (16c/π)π(x)1/2 / x1/2 ;
P(x)/N(x) = (a/c)π(x)1/2 / x1/2.
11
P(100) = 13 qui comprend : 5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 45, 53, 61, 73, 89, 97.
4
Tableaux I, II et III
Les tableaux ci-dessous indiquent les valeurs de M(x), N(x) et P(x) pour des valeurs de n égales à
100, 1 000, 100 000, 1 000 000. Elles sont ventilées entre les différents t [voir Éq.(1)] qui se
terminent par les deux chiffres donnés dans la colonne à l’extrême-gauche des trois tableaux [voir la
note 2].
I
t
100
01
05
09
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
1 000
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
2
0
1
0
0
2
1
0
1
17
7
11
6
4
4
5
18
6
7
5
6
13
6
6
7
5
14
5
6
8
6
14
5
7
7
188
M(x), x =
10 000
100 000
59
127
60
60
60
61
199
60
65
60
61
125
61
62
64
60
128
61
64
65
62
124
61
65
65
1 939
622
1 257
622
621
621
622
2 026
623
632
629
622
1 258
622
628
632
621
1 256
622
630
633
622
1 258
619
631
630
19 559
5
1 000 000
10 000 000
6 255
12 577
6 261
6 290
6 287
6 267
20 355
6 259
6 274
6 285
6 264
12 566
6 263
6 286
6 277
6 264
12 564
6 266
6 288
6 276
6 269
12 572
6 266
6 278
6 284
196 093
62 771
125 653
62 774
62 839
62 839
62 769
204 052
62 772
62 814
62 840
62 763
125 667
62 770
62 839
62 827
62 768
125 680
62 755
62 845
62816
62 774
125 666
62 765
62 820
62 838
1 962 716
II
t
100
01
05
09
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
1 000
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
15
6
7
6
4
4
4
8
5
6
5
6
7
5
6
7
5
7
5
6
7
5
7
4
5
6
143
N(x), x =
10 000
46
57
48
49
47
52
66
49
52
50
48
56
49
49
51
47
57
49
51
52
51
53
48
52
51
1 280
6
100 000
448
493
444
451
451
450
552
451
452
454
444
490
446
452
452
445
487
447
448
451
448
487
446
453
456
11 498
1 000 000
4 110
4 408
4 112
4 125
4 134
4 105
4 834
4 095
4 119
4 122
4 107
4 402
4 112
4 130
4 120
4 119
4 389
4 103
4 126
4 127
4 110
4 389
4 121
4 119
4 123
104 761
III
t
100
01
05
09
13
17
21
25
29
33
37
41
45
49
53
57
61
65
69
73
77
81
85
89
93
97
1 000
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
13
5
3
6
4
4
3
2
4
5
5
6
2
4
6
7
5
0
5
6
6
4
0
3
3
5
103
P(x), x =
10 000
34
6
38
38
34
43
6
39
39
40
35
6
37
37
40
36
0
37
39
41
41
0
35
39
37
777
100 000
297
18
290
302
302
304
17
305
298
303
284
17
292
296
296
290
0
291
289
293
295
0
300
304
310
5 993
1 000 000
2 419
50
2 411
2 412
2 434
2 381
46
2 380
2 427
2 426
2 402
45
2 413
2 427
2 405
2 417
0
2 398
2 420
2 415
2 388
0
2 416
2 409
2 419
48 360
Appendice
Prenons parmi les cent milles premiers nombres premiers :
• ceux de la forme 4k + 1 se terminant par 1, 3, 7, 9 ; ils sont respectivement au nombre
de 12 463, 12 475, 12 536, 12 474 ;
• ceux de la forme 4k + 3, se terminant par 1, 3, 7, 9 ; ils sont respectivement au nombre
de 12 504, 12 532, 12 479, 12 535.
Prenons parmi le premier million des nombres premiers :
• ceux de la forme 4k + 1 se terminant par 1, 3, 7, 9 ; ils sont respectivement au nombre
de 124 844, 125 036, 125 075, 124 872 ;
• ceux de la forme 4k + 3 se terminant par 1, 3, 7, 9 ; ils sont respectivement au nombre
de 125 090, 125 074, 124 939, 125 098.
7