cours : additions, soustractions et multiplications

C HAPITRE 4
C OURS : ADDITIONS , SOUSTRACTIONS ET
MULTIPLICATIONS
Extrait du programme de la classe de 6ème :
C ONTENU
Opérations :
addition,
soustraction
et multiplication
C OMPÉTENCES
Connaître
les
tables d’addition et
de multiplication et
les résultats qui en
dérivent.
Multiplier
un
nombre par 10, 100,
1000 et par 0,1 ; 0,01 ;
0,001.
Choisir
les
opérations
qui
conviennent
au
traitement de la
situation étudiée.
C OMMENTAIRES
La maîtrise des tables est consolidée par une pratique régulière du calcul
mental sur des entiers et des décimaux simples.
La multiplication par 10, 100, 1000 est déjà mise en place à l’école élémentaire. La multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 est à mettre en place en
sixième en liaison avec le sens de la multiplication par une fraction décimale : "prendre le dixième (le centième. . .) d’un nombre. La multiplication
par ces puissances de dix peut être reliée à des problèmes d’échelles ou de
changements d’unités.
Le terme "puissance" et la notation a b sont hors programme.
Le calcul est au service des situations qu’il permet de traiter : le travail sur
le "sens des opérations" est essentiel. Pour les problèmes à étapes, la solution peut être donnée à l’aide d’une suite de calculs ou à l’aide de calculs
avec parenthèses.
L’addition et la soustraction de nombres décimaux sont des acquis du cycle
3. Il en est de même de la multiplication d’un nombre décimal par un entier. La multiplication de deux décimaux est, en revanche, à mettre en place
en sixième, aussi bien du point de vue du sens que du point de vue de la
technique de calcul posé. Le sens de la multiplication de deux décimaux
est en rupture avec celui de la multiplication de deux entiers notamment
par le fait que, dans ce cas, "une multiplication" n’agrandit pas toujours.
- Savoir effectuer
ces opérations sous
les diverses formes
de calcul : mental,
posé, instrumenté.
La maîtrise des différents moyens de calcul doit devenir suffisante pour ne
pas faire obstacle à la résolution de problème, l’élève étant capable de faire
le choix du moyen de calcul le plus approprié dans une situation donnée.
Concernant le calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. La capacité à calculer mentalement est une priorité et fait l’objet d’activités régulières.
Connaître
la
signification
du
vocabulaire associé :
somme, différence,
produit,
terme,
facteur.
La maîtrise du calcul passe en particulier par la capacité à trouver dans
des situations numériques simples rencontrées à propos de problèmes
concrets :
- le nombre à ajouter à un nombre donné pour obtenir un résultat donné
- le nombre à retrancher à un nombre donné pour obtenir un résultat
donné
- le nombre par lequel multiplier un nombre donné pour obtenir un résultat donné.
La désignation de l’inconnue par une lettre n’est pas nécessaire dans ces
activités.
Ordre de grandeur
6ème
- Etablir un ordre
de grandeur d’une
somme, d’une différence, d’un produit.
L’usage d’ordres de grandeur pour contrôler ou anticiper un résultat permet de sensibiliser les élèves à leur intérêt, en s’attachant à faire utiliser,
parmi les réponses possibles, celles qui conviennent le mieux à la situation
étudiée.
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1 Additions
Définition : Le résultat d’une addition s’appelle une somme, et les nombres que l’on additionne entre
eux sont les termes de la somme.
Exemple :
24,
3 + 3,
57 = 27,
87
|{z}
|{z}
1 | {z }
somme
termes
Remarque :
Dans le calcul d’une somme, l’ordre des termes n’a aucune importance ; on peut regrouper certains
termes pour faciliter le calcul de cette somme.
Par exemple :
29, 95 + 3, 97 + 0, 05 = (29, 95 + 0, 05) + 3, 97 = 30 + 3, 97 = 33, 97
Poser une addition :
N’oubliez pas d’aligner verticalement les chiffres des unités de chaque terme de la somme !
1
+
4 5,0 5
7 8,4
1 2 3,4 5
Ordre de grandeur d’une somme :
Pour anticiper ou vérifier un résultat, il peut être utile de remplacer chaque terme de la somme par un
nombre très proche, mais plus "simple" : le résultat obtenu, que l’on obtient alors facilement par calcul
mental, est appelé ordre de grandeur de la somme.
Par exemple, 45 + 80 = 125 est un ordre de grandeur de la somme 45, 05 + 78, 4.
2 Soustractions
Définition : Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence, et les nombres que l’on soustrait
entre eux sont les termes de la différence. La différence entre deux nombres est le nombre qu’il faut
ajouter à l’un pour trouver l’autre
Exemple :
54,
| {z19}
| {z37} − 33,
| {z18} =1 21,
termes
différence
La différence de 54, 37 et de 33, 18 est donc égale à 21, 19 : autrement dit, il faut ajouter 21, 19 à 33, 18
pour trouver 54, 37.
Poser une soustraction :
N’oubliez pas d’aligner verticalement les chiffres des unités de chaque terme de la différence !
−
1 8 9 5,5
8
1
5 0 11,9
1 3 9 3,6 8
Ordre de grandeur d’une différence :
Par exemple, 1900 − 500 = 1400 est un ordre de grandeur de la différence 1895, 58 − 501, 9.
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3 Multiplications
Définition : Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit, et les nombres que l’on multiplie
entre eux sont les facteurs de ce produit.
Exemple :
141 × |{z}
8 = 1128
| {z }
|{z}
1
produit
facteurs
Remarque :
Dans le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs n’a aucune importance ; on peut regrouper certains facteurs pour faciliter le calcul de ce produit.
Par exemple :
4 × 397 × 25 = (4 × 25) × 397 = 100 × 397 = 3970
1
1
1
Multiplier un nombre entier par 0, 1 = 10
, 0, 01 = 100
, 0, 001 = 1000
...
1
1
a
Multiplier un nombre entier par 0, 1 (ou 10 ) revient à le diviser par 10 : a × 0, 1 = a × 10
= 10
.
1
28
Par exemple 28 × 0, 1 = 28 × 10
= 10
= 2, 8
1
32
De même, on a 32 × 0, 01 = 32 × 100
= 100
= 0, 32.
Règle : En fait, pour multiplier un nombre décimal par 0, 1, il suffit de décaler la virgule de 1 rang
vers la gauche ; pour multiplier un nombre décimal par 0, 01, il suffit de décaler la virgule de 2 rangs
vers la gauche, etc..
Exemples :
208, 5 × 0, 01 = 2, 085
0, 75 × 0, 1 = 0, 075
12480 × 0, 001 = 12, 48
0, 1 × 0, 1 = 0, 01
0, 01 × 0, 1 = 0, 001
0, 01 × 0, 01 = 0, 0001
21, 7 = 217 × 0, 1
1, 154 = 1154 × 0, 001
20, 45 = 2045 × 0, 01
Nous pouvons maintenant multiplier entre eux deux nombres décimaux ; voyons sur un exemple :
25, 7 × 4, 8 = (257 × 0, 1) × (48 × 0, 1) = 257 × 0, 1 × 48 × 0, 1 = (257 × 48) × (0, 1 × 0, 1) = 12336 × 0, 01 = 123, 36
Poser une multiplication :
On peut toujours aligner verticalement les chiffres des unités de chaque facteur du produit, même si
cela n’est plus absolument nécessaire. On multiplie les deux nombres sans faire attention aux virgules,
puis on place la virgule dans le résultat, comme ci-dessous :
2 5,7
4,8
2056
1028 ·
1 2 3,3 6
×
1 chiffre après la virgule
1 chiffre après la virgule
3,1 4
6,5
1570
1884 ·
2 0,4 1 0
×
1+1=2 chiffres après la virgule
2 chiffres après la virgule
1 chiffre après la virgule
2+1=3 chiffres après la virgule
Ordre de grandeur d’un produit :
Pour anticiper ou vérifier un résultat, il peut être utile de remplacer chaque facteur du produit par un
nombre très proche, mais plus "simple" : le résultat obtenu, que l’on obtient alors facilement par calcul
mental, est appelé ordre de grandeur du produit.
Par exemple, 25 × 5 = 125 est un ordre de grandeur du produit 24, 7 × 4, 8.
Remarque : Pour vérifier un produit, vous pouvez aussi utiliser la preuve par neuf (voir par ailleurs...)
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4 Un peu d’histoire...
Les symboles des opérations arithmétiques (+, − et × en particulier) sont apparus relativement récemment, et ont mis des décennies, voire des siècles pour s’imposer. Voici quelques repères historiques :
Les symboles + et −
Avant le XVème siècle, l’usage était d’écrire l’opération d’addition ou de soustraction en utilisant des
mots, de façon très littérale : "j’ajoute 5 à 12" ou encore "je soustrais 7 de 25"...
A la fin du XVème siècle, les mathématiciens italiens commencent à ressentir le besoin d’utiliser des
symboles pour ces opérations : ils ont alors l’usage des symboles p̃ (pour plus) et m̃ (pour minus, moins).
En 1489, un traité de calcul à usage commercial, écrit par un Allemand nommé Johann WIDMAN, voit
pour la première fois utilisés les symboles + et − (voir illustration ci-dessous). L’usage de ces deux symboles sera réellement popularisé par le mathématicien François VIETE au milieu du XVIème siècle.
Le symbole ×
Jusqu’au XVIIème siècle on exprime l’intention de multiplier deux nombres entre eux en utilisant des
mots, des phrases.
A la fin du XVIème siècle, néanmoins, VIETE écrit A in B pour désigner le produit des nombres A et B.
Au cours du XVIIème siècle, on voit apparaître d’autres notations, comme A M B chez le belge STEVIN,
ou A * B chez le suisse RAHN (notation toujours en vigueur sur nos claviers d’ordinateurs, et très utilisée
aux USA. . .), mais surtout A × B pour la première fois en 1631 dans l’oeuvre du mathématicien anglais
OUGHTRED (portrait ci-dessous).
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