Modules de type quasi fini sur un anneau non commutatif

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
ROBERT V IDAL
Modules de type quasi fini sur un anneau non commutatif
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 28, no 1 (1974-1975), exp. no 8,
p. 1-6
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Séminaire P o DUBREIL
(Algèbre)
1974/75,
année,
28e
8-01
8, 6 p.
n°
27 janvier 19? 5
MODULES DE TYPE QUASI FINI SUR UN ANNEAU NON COMMUTATIF
par Robert VIDAL
1. Définitions et notations.
Soit
son
A
unitaire ,
un anneau
non
nécessairement commutatif, de radical de Jacob-
R ~ vérifiant :
(i)
L’anneau
(ii)
quotient AIR
A/R-module
Le
est artinien à droite.
à droite
est de
DÉFINITION. - J~ A-module à droite
un
A/R-module à droite de type fini.
La
et
catégorie
droite de
’
fini est notée
sous-catégorie
des
A-modules à droite de
u. l.
(A/R ) .
C’est la
pro-catégorie
à M. ARTIN, B. MAZUR
[ij.
des
Tout
objet
des
nous
(A) ,
type fini.
longueur finie qui s’idenobjets artiniens de mod (A).
de la
catégorie
modq.f. (A) .
[7]
renvoyons à : A. GROTHENDIECK
modq.f. (A)
de
est
q .1.
objets artiniens
topologies linéaires particulières,
étant
catégorie
pro-catégorie,
M/MR
si
suivantes :
A-modules à droite de
Pour la définition d’une
de
type quasi
des
pro-modl.f. (A) :
’
type quasi fini
(A) : sous-catégorie
U mod
n~u
tifie.à
fini.
est dit de
catégories algébriques
utiliserons les
nous
M
type
peut être équipé d’une
et
famille
à savoir :
type quasi fini, on le munit d’une structure
d’espace topologique pré-strictement linéairement compact (en abrégé : P. S. L. C.)
de sous-modules, tels
chaque fois qu’on lui associe une famille filtrante (N )
M
DEFINITION. -
que
M/N
(cf.
P. GABRIEL
soit
un
module de
un
module de
[3],
longueur finie.
et H. LEPTIN
[8]
et
[9].)
.
Remarque.
1~ Dans
ne
nuit
2° Le
ce
en
qui suivra,
rien à la
on
supposera la
généralité
séparé-complété
de
M
compact
N
=
(0)
ce
pour la
(en abrégé
topologie, définie
lim
S. L.
par la famille
(N03B1)03B1 ,
que l’on appellera module stric-
C.)
associé.
Exemples.
1° La
topologie
de Krull :
qui
de notre étude.
est le pro-module de longueur finie :
tement linéairement
topologie séparée :
est
une
topologie
P. S. L. C.
sur
M.
2~ La
topologie discrète
longueur finie.
(Dans
séparé-complété
Signalons que cette
de
L’objet
cas, elle est
ce
M
sur
si, et seulement si,
identique à
la
topologie
M
est de
M
Krull, et
de
C.)
est S. L.
Le
est P. S. L. C,
ce
topologie de Krull sera noté : M ,
fine des topologies P. S. L. C, sur M.
rapport à
topologie est la plus
M
de
la
par
développer,
travail est de
selon les méthodes de P. GABRIEL et J. E.
ROCS, l’outil "catégorie abélienne localement artinienne", et d’appliquer les résultats obtenus à l’étude des
quasi
L. C.
des modules à droite de
sur
type
fini.
Quelques résultats
2.
topologies S.
sur
l’étude et la
représentation
des
catégories abéliennes
localement artiniennes.
DEFINITION. (i) C
(ii)
est
Soit C
pro jectives
vérifie
filtrantes sont
objets artiniens de C sont
Les
~
On dit alors _que
A. GROTHENDIECK
rie
catégorie qui
abélienne,
Les limites
(iii)
une
[6]
est
une
un
représentables
système
catégorie abélienne
et P. GABRIEL
([ 2] et [3])
de
ont montré que
enveloppes projectives et que tout projectif
morphisme près) de projectifs indécomposables.
objet
la
pro-catégorie
est strict s’il est
sont des
des
isomorphe à
un
cogénérateurs,
objets
est
Ar C ,
de
pro-objet
dans C ,
noté
Ar C .
localement artinienne.
avec
Notons pro-Ar C
et exactes
‘’
est
catégo-
une
produit unique (à
et
un
rappelons qu’un
iso-
pro-
dont les flèches de transition
épimorphismes.
THEOREME
1. - La
catégorie C
est
équivalente
à la
pro-catégorie pro-Ar C ,
et
tout pro-objet est strict.
Représentation linéaire
types
de
projectifs
l’anneau des
foncteur
sa
abélienne
nement
indécomposables)
C-endomorphismes
=
Home (s ~ ?)
mod(A)
fidèle ;
pro-objet strict
relle)
continue de la
des
catégorie C . -
le socle de la
Soient
S
catégorie ~ ,
peut
A-modules à
ainsi être
droite, dont
la restriction à
équipé
de la
topologie linéaire
laquelle une base de voisinages de (0) est constituée
épimorphismes canoniques. Il est clair que les objets de
ment topologisés ; plus précisément on a le résultat suivant.
une
2. - Le foncteur
catégorie abélienne
de
End~ (s)
S , et R le radical de Jacobson de A ; le
réalise un plongement exact de C dans la catégorie
pour
THÉORÈME
A =
des
de
il s’ensuit que tout module atteint par le foncteur
et
(produit
S
définit
une
équivalence
A-modules à droite
entre la
SH
est
plei-
est
un
(appelée
natu-
des noyaux des
sont discrète-
catégorie C
linéairement topologisés séparés
et
et
la topologie sur un A-module étant la topologie licomplets, notée
mite projective de topologies discrètes, les flèches étant les morphismes continus.
et
Localisation de la
-->
~5~ ~,
Spec
obtenue
catégorie ~ . -
C) (cf.
en
La
catégorie spectrale de C , (Spec @ ,
P. GABRIEL et PI. ZISMAN
[4],
rendant formellement inversibles les
et P. GABRIEL et V. OBERST
épimorphismes
essentiels de
catégorie abélienne localement artinienne, où toutes les extensions
sont scindées ; elle se représente (d’après les théorèmes 1 et 2) comme un produit
pro-modt f (K.) de catégories de modules linéairement topologisés séparés et
complets sur des corps gauches Ki qui sont les anneaux d’endomorphismes des types
d’objets simples, et qui sont liés à l’anneau A par l’isomorphisme
K..
Le foncteur de localisation L : C --> Spec C définit une correspondance bijectiet les types d’objets
ve entre les types de projectifs indécomposables de C
simples de Spec C .
C , est
Si
on
une
prend
des notations
catégorie spectrale,
on
analogues à celles
obtient
une
représentation
THEOREUE 3. - Le f oncteur
e st
l’unique f oncteur f aisant
du théorème 2 pour
la
du foncteur de localisation.
.
commuter le
représenter
diagramme :
(i)
La re strict ion de
(ii)
topologie nature lle
La
R2
(iii)
THEOREME
est
un
ArC
HL à
e st
e st la
sur
R-module
à droite de
COROLLAIRE 1. - Sur tout
la
catégorie
type fini,
de Krull,
topologie
type fini.
5. - Si l’une des trois conditions
fiée, C est équivalente à
f oncteur de
un
du théorème 4 est véri-
équivalentes
des modules
pro-module à droite
de
profinis
type fini,
sur
la
A, à savoir :
naturelle
topologie
est celle de Krull.
[Car sur un quotient (respectivement sur un sous-objet, respectivement sur un
produit), la topologie naturelle est la topologie quotient (respectivement la topologie induite, respectivement la topologie produit ) . ]
COROLLAIRE 2. - Tout sous-module ouvert d’un
module de
En
pro-module
de
type
f ini est
un
pro-
type f ini.
le radical de Jacobson
particulier,
de
R
est de
A
type
fini
A-
comme
module à droite.
A-modules à droite de
Structure des
anneau unitaire, avec A/R
est une catégorie abélienne
fini S. L. C. - Si
type quasi
artinien à droite et
de
A
est
un
type fini,
localement artinienne, de dimension de Krull nulle, de
groupe de Grothendieck associé de
type fini ;
la
catégorie spectrale
s’identifie
au
couple :
et si
1
désigne
le foncteur
injection
(A/R)
de
(A),
dans
on a
~ ° ~
"
u
,
THEOREME 6. - Tout module de
sur
i
(A/R) *
,
type quasi
fini S. L. C. est
un
module de
type fini
A .
Par
exemple :
THEOREME
M
est de
type
fini
sur
A (si
M
est de
type quasi
fini
7. - Tout module de type quasi fini S. L. C. est muni de la
sur
A
topologie
Krull.
(En
effet, c’est
un
pro-module
COROLLAIRE. - Pour tout entier
de
longueur
finie
qui
n , on a :
(i) n = n ,
(ii)
pour tout
M
de type quasi fini,
est de
type
fini
sur
1 ).
).
de
(iii)
ERn
=
d
E
pour
Krull-complétion
des modules à droite de
DEFINITION. - On
appelle foncteur
de
L Ç.
type quasi fini.
Krull-complétion
mod
0,
.p
(A)
-->
S. L. C. mod
..
quasi fini, le A-module à droite
topologie de Krull. Nous montrons
séparé
catégorie
des modules
de
que
type
ce
fini
est
qui
(A) (C
pro mod l ..
A-module à droite de
Ce foncteur est exact à droite, et associe à tout
duit tensoriel
de la
fini le foncteur :
quasi
à droite de type
S.
type quasi fini
foncteur est
son
séparé-complété
isomorphe à
un
(A)) .
type
pour la
foncteur pro-
convenable.
M
THEOREME 8. - Soit
A-module à droite de
un
type quasi fini,
le
A-module à
droite
est
isomorphe
A-module
au
à droite
.
Le foncteur ainsi construit
(A)
(? ~A )0 : modq.f (A) - > S. L C. modq.f
est
isomorphe
complétion.
foncteur de
au
COROLLAIRE. - S i
M
e st
un
A-module à dro ite de
présentation finie,
alors
remarquant qu’un module de type quasi fini S. L. C.
peut être considéré comme le complété d’un A-module de type fini pour une topologie P. S. L. C, moins fine que celle de Krull. Le problème de savoir si on peut le
considérer comme le complété d’un A-module de type fini pour la topologie de Krull
reste ouvert. Une méthode d’attaque de ce problème est l’étude de sous-A-modules de
type fini particuliers d’un A-module de type quasi fini, denses pour la topologie
Nous terminons cet
de Krull
exposé
en
~cf, ~ 14~~ .
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(Texte
Robert VIDAL
Résidence du Parc
Bâtiment A
63540 ROMAGNAT
reçu le 1er février
1975)