Thèse de Doctorat - Dr Jean

Nod’ordre : 2267
THESE
présentée à
L’UNIVERSITÉ BORDEAUX I
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE
PAR Jean-Yves DEGOS
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES PURES
Classes caractéristiques de
représentations galoisiennes et
invariants d’algèbres étales
sur un corps de caractéristique 2
Soutenue le 9 octobre 2000.
Après avis de :
M. B. KAHN, Directeur de Recherches Université Paris VII Rapporteurs
M. M. OJANGUREN, Professeur Université de Lausanne
Devant la commission d’examen formée de :
M. J. BARGE, Professeur Ecole Polytechnique
M. P. CASSOU-NOGUÈS, Professeur Université Bordeaux I
M. B. EREZ, Professeur Université Bordeaux I Directeur de thèse
M. M. OJANGUREN, Professeur Université de Lausanne
– 2000 –

Remerciements
J’ai pu établir un premier contact favorable avec Boas Erez à l’occasion de travaux
dirigés de Géométrie Algébrique en Maîtrise, puis d’un travail sur les démonstra-
tions de la loi réciprocité quadratique effectué en D. E. A.. Ayant une prédilection
pour l’algèbre et préférant les enchaînements d’idées aux calculs, c’est tout na-
turellement que je l’ai sollicité en 1997 pour diriger mes recherches. Au cours de
ces années, j’ai pu apprécier son humanité, sa générosité et sa conception hori-
zontale des mathématiques. Je le remercie d’avoir accepté de m’encadrer lors de
ce travail.
J’ai pu voir exposer Bruno Kahn à plusieurs reprises sur des thèmes en rela-
tions directes avec les questions abordées dans cette thèse. Je lui suis reconnais-
sant d’avoir accepté d’être rapporteur.
Manuel Ojanguren a également bien voulu examiner ma thèse, et je le remercie
de l’avoir fait avec beaucoup de précisions.
Jean Barge, avec lequel j’ai pu avoir des échanges fructueux en 1998 lors d’un
colloque autour des formes quadratiques à Paris, et Philippe Cassou-Noguès, dont
j’apprécie toujours les qualités d’exposant, ont accepté de faire partie du jury ;
je les en remercie vivement.
Sur le plan mathématique, je voudrais remercier Ian J. Leary, Victor P. Snaith,
et Andrzej Kozlowski pour l’intérêt qu’ils ont manifesté pour mon travail, ainsi
que Karl Gruenberg, Martin J. Taylor, et Peter Kropholler pour les cours qu’ils
ont donnés à Edimbourg en 1998 concernant certains aspects de l’Algèbre Ho-
mologique que l’on retrouve mis en oeuvre dans le premier chapitre : cohomologie
des groupes, cohomologie galoisienne et cohomologie singulière.
En cette période où la place des Mathématiques dans l’enseignement s’est
trouvée récemment contestée, j’ai également plaisir à exprimer ma gratitude aux
professeurs de Mathématiques dont j’ai été l’élève puis l’étudiant depuis la si-
xième : sans leur participation, je n’aurais pas été conduit à vouloir entreprendre
ce travail.
Sur le plan matériel, je voudrais mentionner les structures grâce auxquelles
j’ai pu bénéficier d’excellentes conditions de travail : le Laboratoire de Mathé-
matiques Pures, l’Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique, ainsi que
l’Institut de Mathématiques de Bordeaux.
Je remercie tous les doctorants bordelais que j’ai cotoyés, pour leur convivialité
3

4
et leur sens de l’humour, en particulier Eric Edo et Stanislav Kupin, mes collègues
de bureau.
Les encouragements de Nicolas Brisebarre, le soutien d’Emmanuelle Alonso,
et les moments partagés avec Gilles Rémus et Claire Jacquemart m’ont beaucoup
apporté.
Enfin, le dernier mot sera pour mes parents, qui ont su créer autour de moi
une atmosphère favorable aux études.

Table des matières
Introduction 7
1 Classes caractéristiques de représentations galoisiennes 13
1.1 Le problème d’Atiyah et le théorème de Fulton-MacPherson . . . 13
1.1.1 Revêtements auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Le transfert d’Evens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Le théorème de Fulton-MacPherson . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 La conjecture de Segal et le théorème de Kozlowski . . . . . . . . 19
1.2.1 Introduction.......................... 19
1.2.2 Le transfert de Kozlowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Le transfert d’Evens normalisé . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Egalité des transferts sur les classes de Stiefel-Whitney . . 25
1.3 Relation avec le théorème de Kahn . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Lesidées............................ 28
1.3.2 Des extensions aux revêtements et des représentations aux
fibrés vectoriels via les espaces classifiants . . . . . . . . . 29
1.3.3 L’égalité des transferts en cohomologie galoisienne . . . . . 36
1.4 Conclusion et problèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Invariants d’algèbres étales sur un corps de caractéristique 2 43
2.1 Invariants dans le groupe H1(GF,Z/2Z).............. 43
2.1.1 L’invariant ǫ(eE/F )d’une algèbre étale E/F ........ 43
2.1.2 Sur l’invariant de Arf d’un espace quadratique . . . . . . . 44
2.1.3 Sur l’invariant de Dickson d’un automorphisme orthogonal 47
2.1.4 Forme e TE/F et invariant d+(E/F )d’une algèbre étale . . . 51
2.1.5 L’égalité j(d+(E/F )) = ǫ(eE/F )............... 54
2.2 Calculs de discriminants additifs d’extensions . . . . . . . . . . . 59
2.2.1 Méthode des relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2 Méthode des polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . 61
2.2.3 Méthode s2.......................... 64
2.3 Invariants dans le groupe H1(GF, F ∗
s/F ∗ s
2)............. 65
2.3.1 L’invariant de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.2 Un critère de trivialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66