SUR UNE QUESTION DE CAPITULATION 1. Introduction Soient k

PROCEEDINGS OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 130, Number 8, Pages 2197–2202
S 0002-9939(02)06424-9
Article electronically published on January 31, 2002
SUR UNE QUESTION DE CAPITULATION
ABDELMALEK AZIZI
(Communicated by David E. Rohrlich)
Abstract. Let pand qbe prime numbers such that p≡1mod8,q≡−1mod
4and(
p
q)=−1. Let d=pq,k=Q(√d, i), and let k(1)
2be the 2-Hilbert class
field of k,k(2)
2the 2-Hilbert class field of k(1) 2and G2the Galois group of
k(2)
2/k. The 2-part Ck,2of the class group of kis of type (2,2), so k(1) 2
contains three extensions Ki/k,i=1,2,3. Our goal is to study the problem
of capitulation of the 2-classes of kin Ki,i=1,2,3, and to determine the
structure of G2.
R´ esum´ e. Soient pet qdeux nombres premiers tels que p≡1mod8,q≡
−1mod4 et (
p
q)=−1, d=pq,i=√−1, k=Q(√d, i), k(1)
2le 2-corps de
classes de Hilbert de k,k(2)
2le 2-corps de classes de Hilbert de k(1) 2et G2le
groupe de Galois de k(2)
2/k.La2-partieCk,2du groupe de classes de kest
de type (2,2), par suite k(1)
2contient trois extensions Ki/k,i=1,2,3. On
s’int´eresse au probl`eme de capitulation des 2-classes de kdans Ki,i=1,2,3,
et `ad´eterminer la structure de G2.
1. Introduction
Soient kun corps de nombres de degr´e fini sur Q,Fune extension non ramifi´ee
de ket pun nombre premier. L’extension k(1) de k,ab´elienne maximale et non-
ramifi´ee pour tous les id´eaux premiers, finis et infinis, est dite corps de classes de
Hilbert de k.Demˆeme l’extension k(1)
pde kdont le degr´e est une puissance de p,
ab´elienne maximale et non-ramifi´ee pour tous les id´eaux premiers, finis et infinis,
est dite p-corpsdeclassesdeHilbertde k.
La recherche des id´eaux de kqui capitulent dans F(deviennent principaux
dans F), a ´et´e l’objet d’´etude d’un grand nombre de math´ematiciens. En effet,
Kronecker ´etait parmi les premiers `a avoir abord´edesprobl`emes de capitulation
dans le cas des corps quadratiques imaginaires. Dans le cas o`uFest ´egal au corps
de classes de Hilbert k(1) de k, D. Hilbert avait conjectur´e que toutes les classes
de kcapitulent dans k(1) (th´eor`eme de l’id´eal principal). La preuve de ce dernier
th´eor`eme a ´et´er´eduite par E. Artin `aunprobl`eme de la th´eorie des groupes,
et c’est Ph. Furtw¨angler qui l’avait achev´ee. Le th´eor`eme de l’id´eal principal a
´et´eg´en´eralis´edelafa¸con suivante: Soient k0un corps de nombres et k/k0une
Received by the editors February 23, 2001.
2000 Mathematics Subject Classification. Primary 11R37.
Key words and phrases. Groupe des unit´es, syst`eme fondamental d’unit´es, capitulation, corps
de classes de Hilbert.
c
2002 American Mathematical Society
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extension cyclique finie. Alors toutes les classes ambiges (les classes stables par le
groupe de Galois de k/k0)dek, relativement `ak/k0, capitulent dans le corps des
genres (k/k0)(∗)de k(c’est l’extension maximale non ramifi´ee pour tous les id´eaux
premiers, finis et infinis, et qui est ab´elienne sur k0). Ce th´eor`eme a ´et´e conjectur´e
par T. Tannaka et d´emontr´e par F. Terada (voir [14]).
Le cas o`uF/kest une extension cyclique et [F:k]=p,unnombrepremier,a
´et´etrait´e par Hilbert. Sa r´eponse est le sujet du th´eor`eme 94 qui affirme qu’il y a
au moins une classe non triviale dans kqui capitule dans F. De plus, Hilbert avait
trouv´eler´esultat suivant: Soient σun g´en´erateur du groupe de Galois de F/k,N
la norme de F/k,U0le groupe des unit´es de k,Ule groupe des unit´es de Fet U∗
le sous-groupe des unit´es de Udont la norme, relative `a l’extension F/k,est´egale
`a 1. Alors le groupe des classes de kqui capitulent dans Fest isomorphe au groupe
quotient U∗/U1−σ=H1(U), le groupe cohomologique de Ude dimension 1.
A l’aide de ce th´eor`eme et de plusieurs r´esultats sur les groupes cohomologiques
des unit´es, on montre le th´eor`eme suivant:
Th´eor`eme 1. Soit F/kune extension cyclique de degr´eunnombrepremier,alors
le nombre des classes qui capitulent dans F/kest ´egal `a
[F:k][U0:N(U)].
On trouve une preuve de ce th´eor`eme dans [9].
Dans le cas g´en´eral o`uF/kest une extension ab´elienne K. Miyake avait conjec-
tur´e que le nombre des classes qui capitulent dans F/kest un multiple de [F:k]
(voir [12]). Ceci a ´et´ed´emontr´e par H. Suzuki (voir [13]).
Plusieurs r´esultats ont ´et´e´etablis; en particulier on a: Soit ktel que Ck,2,la2-
partie du groupe des classes Ckde k, est isomorphe `aZ/2Z×Z/2Z,k(2)
2le 2-corps de
classes de Hilbert de k(1)
2et G2le groupe de Galois de k(2) 2/k. On sait par la th´eorie
des corps de classes que Gal(k(1)
2/k)'Ck,2,parsuiteGal(k(1) 2/k)'Z/2Z×Z/2Z.
Alors k(1)
2contient trois extensions quadratiques de kd´enot´ees par K1,K2et K3.
D’apr`es [10] on a:
Th´eor`eme 2. Soient ktel que Ck,2'Z/2Z×Z/2Zet G2le groupe de Galois de
k(2)
2/k; alors on a trois types de capitulation:
type 1: Les quatre classes de Ck,2capitulent dans chacune des extensions Ki/k,
i=1,2,3. Ceci est possible si et seulement si k(2)
2=k(1) 2.
type 2: Les quatre classes de Ck,2capitulent toutes seulement dans une extension
parmi les trois extensions Ki/k,i=1,2,3. Dans ce cas le groupe G2est di´edral.
type 3: Seulement deux classes capitulent dans chacune des extensions Ki/k,
i=1,2,3. Dans ce cas le groupe G2est semidi´edral ou quaternionique.
Dans toute la suite on d´esigne par pet qdeux nombres premiers tels que p≡
1mod8,q≡−1mod4 et (
p
q)=−1, d=pq,k=Q(√d, i), k(1)
2le 2-corps de
classes de Hilbert de k,k(2)
2le 2-corps de classes de Hilbert de k(1) 2et G2le groupe
de Galois de k(2)
2/k. On montre que l’indice Qdes unit´es de kest ´egal `a2;par
suite, d’apr`es [2], on a Ck,2'Z/2Z×Z/2Z.Donck(1)
2contient trois extensions
quadratiques de k,K1,K2et K3. Notre but est l’´etude de la capitulation dans les
trois extensions Ki/k,i=1,2,3.
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SUR UNE QUESTION DE CAPITULATION 2199
2. Unit´ es de certains corps de nombres de degr´ e8surQ
Soient d1et d2deux entiers naturels sans facteurs carr´es et premiers entre eux,
d3=d1d2,1(resp. 2,
3) l’unit´e fondamentale de k1=Q(√d1)(resp. k2=
Q(√d2), k3=Q(√d3)), k=k3(i), Ql’indice des unit´es de k,K0=k1k2,K=
K0(i), N1(resp. N2,N
3)lanormedeK0/k1(resp. K0/k2,K0/k3)etEk(resp.
EK0,EK) le groupe des unit´es de k(resp. K0,K).
On sait d’apr`es [11] qu’un syst`eme fondamental d’unit´es (SFU) de K0est (`a une
permutation pr`es) l’un des syst`emes suivants:
i) {1,
2, 3};
ii) {1,
2,√3}(N2(3)=1);
iii) {√12,
2, 3}(N3(1)=N3(2)=1);
iv) {√12,√3,
2}(N2(1)=N3(2)=N2(3)=1);
v) {√1,√2,
3}(N3(1)=N3(2)=1);
vi) {√12,√23,√13}(N2(3)=N3(j)=1,j =1,2);
vii) {√123,
2, 3}(N3(1)=N3(2)=N2(3)=±1).
D’autre part, d’apr`es [3], on a les r´esultats suivants:
R1: SFU de k =Q(√d, i)o`u d est un entier naturel diff´erent de 2et
sans facteurs carr´es.
Soit 0=s+t√dl’unit´efondamentaledeQ(√d).
i) Si 0est de norme −1, alors {0}est un SFU de Q(√d, i)(Q=1).
ii) Si 0est de norme 1, alors {√i0}est un SFU de k(Q=2)sietseulement
si s±1estuncarr´edansN(i.e. si et seulement si 20est un carr´edansQ(√d)).
Dans le cas contraire, {0}est un SFU de k(Q=1).
R2: SFU de K.
Soient nun entier sup´erieur ou ´egal `a2etξnune racine primitive 2n-i`eme de
l’unit´e. Alors
ξn=1
2(µn+λni),
o`u
µn=p2+µn−1,λ
n=p2−µn−1,µ 2=0,λ 2=2etµ3=λ3=√2.
De plus, on a: Soient n0le plus grand entier tel que ξn0appartient `aK,{0
1,
0
2,
0
3}
un SFU de K0et une unit´edeK0telle que (2 + µn0)est un carr´edansK0(si
elle existe). Alors un SFU de Kest l’un des syst`emes suivants:
a) {0
1,
0
2,
0
3}si n’existe pas;
b) {0
1,
0
2,pξn0}si existe; dans ce cas on a =0 1
i10
2
i20
3,o`ui1,i
2∈{0,1}(`a
une permutation pr`es).
Lemme 3. Soient qun nombre premier impair congru `a−1modulo 4et =
x+y√ql’unit´e fondamentale de Q(√q).Alorsxest un entier naturel pair, x±1
est un carr´e dans Net 2est un carr´e dans Q(√q).
Preuve. Comme q≡−1 mod 4, alors =x+y√qest tel que (x, y)∈Z2et
x2−qy2=1. D’o`u(x+1)(x−1) = qy2.Dufaitque(x+1)−(x−1) = 2, le plus
grand commun diviseur de x+1 et x−1 est un diviseur de 2. Par suite il existe
(y1,y
2)∈Z2tel que
x−1=qi2jy2
1,
x+1 =qi02jy2
2,o`ui, i0,j ∈{0,1},i+i0=1 et2
jy1y2=y,
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(y1pqi2j+y2pqi02j)2=2et √2=±(y1pqi2j+y2pqi02j).(1)
Si x−1 est pair, alors j= 1. En multipliant (1) par √2 on trouve que √=
±(y1pqi+y2pqi0)∈Q(√q), puisque i+i0= 1. Comme est l’unit´e fondamentale
de Q(√q), alors √6∈ Q(√q), donc on a une contradiction. Par cons´equent, xest
pair et x±1estuncarr´edansN. De plus, comme x−1 est impair, alors j=0et
2est un carr´edansQ(√q).
Th´eor`eme 4. Soient pet qdeux nombres premiers impairs tels que p≡−q≡
1mod4,K0=Q(√p, √q),K=K0(i)et 1(resp. 2,
3)l’unit´e fondamentale de
Q(√p)(resp. Q(√q),Q(√pq)). On suppose que 23est un carr´e dans Q(√pq).
Alors un SFU de K0est {1,
2,√23}et un SFU de Kest {1,√i2,√23}.
Preuve. On sait, d’apr`es le lemme 3, que 22est un carr´edansQ(√q). Comme
23est un carr´edansQ(√pq), alors √23appartient `aK0.Deplus
√26∈ K0et
√36∈ K0.D’o`uunSFUdeK0est {1,
2,√23}. D’autre part √22∈K0⇔
√i2∈K. Par suite, d’apr`es le r´esultat R2, {1,√i2,√23}est un SFU de K.
Remarque 5.Soient pet qdeux nombres premiers impairs tels que p≡1mod8,
q≡−1mod4etp
q=−1, et 3l’unit´e fondamentale de Q(√pq). Alors 23est
un carr´edansQ(√pq)(c.a.d.Q=2).
Preuve. Soit 3=x+y√pq. Comme 3est de norme 1, alors on a (x−1)(x+1) =
pqy2.
a) Si 2pq(x−1) ou 2(x−1) est un carr´edansN, alors on a:
-Si2pq(x−1) est un carr´edansN, alors il existe (y1,y
2)∈Z2tel que
x−1=2pqy2
1,
x+1=2y2
2,et √3=y1√pq +y2∈k3.
Comme 3est l’unit´efondamentaledek3,alors√36∈ k3. Donc ce cas est impos-
sible.
-Ilenestdemˆeme pour le cas o`u2(x−1) est un carr´edansN.
b) Si p(x−1) ou 2p(x−1) est un carr´edansN, alors on a:
-Sip(x−1) est un carr´edansN, alors il existe (y1,y
2)∈Z2tel que
x−1=py2
1,
x+1=qy2
2.
Donc on a −2=py2
1−qy2 2. Ce qui implique que p
q=−2 p= 1. Ce qui n’est
pas possible.
-Si2p(x−1) est un carr´edansN, on obtient la mˆeme contradiction.
c) Si q(x−1) ou 2q(x−1) est un carr´edansN, alors on a:
-Si2q(x−1) est un carr´edansN, alors il existe (y1,y
2)∈Z2tel que
x−1=2qy2
1,
x+1=2py2
2.
Donc on a 1 = py2
2−qy2 1. Ce qui implique que p
q= 1. Ce qui n’est pas possible.
-Siq(x−1) est un carr´edansN, on obtient la mˆeme contradiction.
Ainsi donc pq(x−1) ou (x−1) est un carr´edansN;cequiest´equivalent `adire
que 23est un carr´edansQ(√pq)(c.a.d.Q=2).
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SUR UNE QUESTION DE CAPITULATION 2201
3. Capitulation dans certaines extensions quadratiques de k
Soient pet qdeux nombres premiers, d=pq,k=Q(√d, i)etQl’indice des
unit´es de k. Dans toute la suite on supposera que p≡1mod8,q≡−1mod4et
(p
q)=−1 . Comme Q=2,alorsd’apr`es [2], la 2-partie Ck,2du groupe de classes
de kest isomorphe `aZ/2Z×Z/2Z.Soientk(1)
2le 2-corps de classes de ket k(∗)le
corps des genres de k(c’est l’extension maximale non ramifi´ee pour tous les id´eaux
premiers, finis et infinis, et qui est ab´elienne sur Q). On va d´eduire de la section
pr´ec´edente quelques r´esultats concernant le probl`eme de la capitulation.
Le corps des genres de kest k(∗)=Q(√p, √q, i). Soient 1(resp. 2,
3) l’unit´e
fondamentale de Q(√p)(resp.Q(√q),Q(√pq)) et k(∗)
0le sous-corps r´eel maximal
de k(∗).D’apr`es le th´eor`eme 4, on a les propri´et´es suivantes:
-UnSFUdek(∗)
0est {1,
2,√23}.
-UnSFUdek(∗)est {1,√i2,√23}et un SFU de Q(√pq, i)est{√i3}.
Par suite N(Ek(∗)) est engendr´epar{i, 3}et Ekest engendr´epar{i, √i3}.
Donc N(Ek(∗))6=Ek. Il vient donc que toutes les classes de Ck,2capitulent dans
k(∗).Enr´esum´enousavons:
Th´eor`eme 6. Soient k=Q(√pq, i)avec pet qdeux nombres premiers tels que
q≡−1mod4,p ≡1mod8,(p
q)=−1,k(∗)=Q(√p, √q, i)le corps des genres
de ket Ck,2la 2-partie du groupe des classes au sens large de k. Alors toutes les
classes de Ck,2capitulent dans k(∗).
Th´eor`eme 7. Soient k=Q(√pq, i)avec pet qdeux premiers tels que p≡1mod
8,q≡−1mod4et (p
q)=−1,k(∗)=Q(√p, √q, i)=k(√p)le corps des genres de
k,k(1)
2le 2-corps de classes de Hilbert de ket k(2) 2le 2-corps de classes de Hilbert
de k(1)
2.Alorsona
k(2)
26=k(1) 2⇔4|h(k(∗))⇔p=x2+32y2.
Preuve. D’apr`es le th´eor`eme 2, k(2)
2=k(1) 2entraˆıne que toutes les classes de Ck,2
capitulent dans toute sous-extension quadratique L/kde k(1)
2/k,etk(2) 26=k(1) 2
entraˆıne que toutes les classes de Ck,2capitulent dans au plus une sous-extension
L/kde k(1)
2/k. Par suite, si dans une sous-extension L/kexactement deux classes
de Ck,2capitulent, alors k(2)
26=k(1) 2et il existe une extension quadratique Fde
k(1)
2telle que k(1) 2⊂F⊂k(2) 2. Ainsi, comme k(∗)6=k(1) 2,k(2) 26=k(1) 2⇔4|h(k(∗))
o`uh(k(∗)) est le nombre de classes de k(∗).
On d´esigne par h(c) le nombre de classes au sens large de Q(√c)etparEcle
groupe des unit´es de Q(√c). Soient Ek(∗)(resp. Ek(∗)
0) le groupe des unit´es de
k(∗)(resp. k(∗)
0=Q(√p, √q)), h(L) le nombre de classes d’un corps de nombres
L,Q=[Ek:E−1EpqE−pq ], Q0=[Ek(∗):E−1EpE−pEqE−qEpq E−pq ]et1(resp.
2,
3) l’unit´e fondamentale de Q(√p)(resp. Q(√q),Q(√pq)). Alors d’apr`es [15]
on a
h(k(∗))= 1
25Q0h(p)h(q)h(−p)h(−q)h(pq)h(−pq),
h(k)=1
2Qh(pq)h(−pq).
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