TD 4 mathématiques Nombres complexes

TD 4 mathématiques
BCPST 1 2016-2017
Nombres complexes
Points abordés
— Nombres complexes.
Exercice 1. Déterminer les formes algébriques et exponentielles de
√ 125
π
π
π
π
π
π
3
, 2. (−1 + i)20 . 3. ei( 3 − 4 ) 4. ei 6 − ei 4 . 5. ei 6 + ei 4
1. 1+i
1+i
Exercice 2. Résoudre les équations complexes suivantes :
|z| = |z − 6 + 5i|, |z + i| = 2, z(2z + i) = 1, |z 2 | = |z|, <(
z−1
) = 0.
z+1
Exercice 3. Soit θ ∈ R. Calculer la somme :
n
X
sin(kθ).
k=0
Exercice 4.
1. Soit n ∈
N? .
On admet que l’équation
z n = 1.
a exactement n solutions dans C. Déterminez-les. On pourra utiliser la forme exponentielle.
Les solutions de cette équation sont appelées racines nede l’unité.
2. Montrer que si ω est une racine de l’unité, alors ω et ω −1 aussi. Quel est la relation entre ω et ω −1 ?
3. Montrer que si ω est une racine de l’unité différente de 1, alors :
n−1
X
wk = 0.
k=0
4. Montrer que si ω1 et ω2 sont toutes deux des racines nede l’unité, alors ω1 ω2 est aussi une racine nede
l’unité.
Exercice 5. Soit z ∈ C − {1}. Montrer que :
1+z
∈ iR ⇔ |z| = 1.
1−z
Exercice 6. Soient u et v deux complexes. Montrer que :
|u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ).
Interpréter géométriquement ce résultat.
Exercice 7. On note E = {z ∈ C, =(z) > 0}, et F = {z ∈ C, |z| < 1}.
Montrer que :
z−i
z∈E⇔
∈ F.
z+i
1