TD 4 mathématiques Nombres complexes

TD 4 math´ematiques
BCPST 1 2016-2017
Nombres complexes
Points abord´es
— Nombres complexes.
Exercice 1. D´eterminer les formes alg´ebriques et exponentielles de
1. 1+i√3
1+i125, 2. (−1 + i)20. 3. ei(π
3−
π
4)4. eiπ 6−eiπ 4. 5. eiπ 6+eiπ 4
Exercice 2. R´esoudre les ´equations complexes suivantes :
|z|=|z−6+5i|,|z+i|= 2, z(2z+i) = 1,|z2|=|z|,<(z−1
z+ 1) = 0.
Exercice 3. Soit θ∈R. Calculer la somme :
n
X
k=0
sin(kθ).
Exercice 4. 1. Soit n∈N?. On admet que l’´equation
zn= 1.
a exactement nsolutions dans C. D´eterminez-les. On pourra utiliser la forme exponentielle.
Les solutions de cette ´equation sont appel´ees racines nede l’unit´e.
2. Montrer que si ωest une racine de l’unit´e, alors ωet ω−1aussi. Quel est la relation entre ωet ω−1?
3. Montrer que si ωest une racine de l’unit´e diff´erente de 1, alors :
n−1
X
k=0
wk= 0.
4. Montrer que si ω1et ω2sont toutes deux des racines nede l’unit´e, alors ω1ω2est aussi une racine nede
l’unit´e.
Exercice 5. Soit z∈C− {1}. Montrer que :
1 + z
1−z∈iR⇔ |z|= 1.
Exercice 6. Soient uet vdeux complexes. Montrer que :
|u+v|2+|u−v|2= 2(|u|2+|v|2).
Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
Exercice 7. On note E={z∈C,=(z)>0}, et F={z∈C,|z|<1}.
Montrer que :
z∈E⇔z−i
z+i∈F.
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