Agrégation interne Nombres premiers Ce probl`eme est en relation

Agrégation interne
Nombres premiers
1
Ce problème est en relation avec les leçons d’oral suivantes :
Z
– 103 : Congruences dans Z, anneau . Applications
nZ
– 104 Nombres premiers
On pourra consulter les ouvrages suivants.
– J. M. De Koninck, A. Mercier. 1001 problèmes en théorie classique des nombres. Ellipses.
(2003).
– S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Oraux X-ENS. Algèbre 1. Cassini (2009).
– X. Gourdon. Les Maths en tête. Algèbre. Ellipses.
– J. P. Ramis, A. Warusfel. Mathématiques tout en un pour la licence. Niveau L1. Dunod.
(2007).
– P. Tauvel. Mathématiques générales pour l’agrégation. Masson (1993).
1. Le 05/01/2014
1
( )
n
n!
=
Pour tout entier naturel n et tout entier k compris entre 0 et n, on note
avec
k
k! (n − k)!
la convention que 0! = 1.
On note :
2 = p1 < p2 < · · · < pn < pn+1 < · · ·
la suite infinie des nombres premiers rangée dans l’ordre croissant et P l’ensemble de tous ces nombres
premiers.
Pour tout nombre premier p ≥ 2 et tout entier naturel non nul n, on note νp (n) l’exposant de
p dans la décomposition de n en facteurs premiers avec νp (n) = 0 si p ne figure pas dans cette
décomposition et νp (1) = 0. Cet entier νp (n) est la valuation p-adique de n.
Pour tout réel x, [x] désigne la partie entière de x.
Pour tout réel x ≥ 2, on désigne par π (x) le cardinal de l’ensemble des nombres premiers contenus
dans l’intervalle [0, x] , soit :
∑
π (x) = card (P ∩ [0, x]) =
1
p∈P∩[0,x]
– I – Généralités
1. Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 2, on peut trouver n entiers naturels consécutifs non
premiers (il existe des plages d’entiers aussi grandes que l’on veut sans nombre premier).
2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 2, on a pn < 2n (on peut utiliser le théorème de Bertrand
qui nous dit que pour tout entier n ≥ 2, il existe des nombres premiers compris entre n et 2n).
( )∗
Z
3. Carrés de
, pour p ≥ 2 premier.
pZ
Soit p un nombre premier impair.
( )∗
Z
p−1
p−1
(a) Montrer qu’il y a exactement
carrés et
non carrés dans
.
2
2
pZ
( )∗
Z
(b) Montrer que l’ensemble des carrés de
est l’ensemble des racines du polynôme
pZ
( )∗
p−1
Z
X 2 −1 et que l’ensemble des non carrés de
est l’ensemble des racines du polynôme
pZ
p−1
X 2 + 1.
Z
(c) Montrer que −1 est un carré dans
si, et seulement si, p est congru à 1 modulo 4. Dans
pZ
ce cas, donner une racine carrée explicite de −1.
(d) Montrer que s’il existe deux entiers a, b premiers entre eux tels que p divise a2 + b2 , alors
p ≡ 1 (4) .
4. Quelques cas particuliers du théorème de Dirichlet.
Un théorème de Dirichlet nous dit que si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux,
il existe alors une infinité de nombres premiers de la forme an + b, où n est un entier naturel.
On se propose ici de vérifier ce théorème sur quelques cas particuliers.
(a) Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3, où n est un entier
naturel.
(b) On se propose de montrer que, pour tout nombre premier p ≥ 2, il existe une infinité de
nombres premiers de la forme pn + 1, où n est un entier naturel.
On se donne un nombre premier p ≥ 2.
2
i. Montrer que les diviseurs premiers de m = 2p − 1 sont de la forme pn + 1, où n est
un entier naturel (il existe donc de tels nombres premiers).
ii. On suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini p1 < · · · < pr de nombres premiers de la
forme pn + 1 et on note :
N = p1 · · · · · pr , m = (N + 1)p − N p
En désignant par q ≥ 2 un diviseur premier de m, montrer que N ̸= 0 dans
(N + 1) · N
−1
Z
, que
qZ
est d’ordre p et conclure.
5. Formule de Minàc et Wilans.
(a) Montrer que, pour tout entier naturel k ≥ 2, on a :
[
]] {
[
(k − 1)!
(k − 1)! + 1
1 si k est premier
−
=
0 si k est composé
k
k
(b) Montrer que, pour tout entier naturel m ≥ 2, on a :
[
]]
m [
∑
(k − 1)! + 1
(k − 1)!
−
= π (m)
k
k
k=2
(c) Montrer que, pour tous entiers naturels n ≥ 1 et m ≥ 2, on a :
[[
] n1 ] {
n
1 si π (m) ≤ n − 1
=
0 sinon
1 + π (m)
(d) Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1, on a :

2 
∑

pn = 2 +


n
m=2
1+
m
∑
k=2
[
n
(k−1)!+1
k
−
 n1 
 

[
]] 
 

(k−1)!
– II – Le théorème de Fermat et
k
Z
pZ
1. Montrer que, pour n ≥ 2, les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) n est premier ;
Z
est un corps ;
(b)
nZ
Z
(c)
est un intègre.
nZ
2. Déduire de la question précédente le théorème de Fermat : si p est un entier naturel premier,
pour tout entier relatif a premier avec p, on a alors ap−1 ≡ 1 (mod p) et pour tout entier relatif
a, on a ap ≡ a (mod p) .
3. Soit p ≥ 2 un nombre premier. Expliquer comment utiliser le théorème de Fermat pour simplifier
le calcul du reste dans la division euclidienne par p d’un entier de la forme ab , où a, b sont des
entiers plus grands que p, l’entier p ne divisant pas a.
4. Soit p ≥ 2 un entier naturel. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
3
(a) p est premier ;
( )
p
≡ 0 (mod p) ;
(b) pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, on a
k
( )
(
)
p
p−1
(c) pour tout entier k compris entre 1 et p − 1, on a
≡ 0 (mod p) et
≡
k
k
(−1)k (mod p) .
5. Soit p ≥ 2 un nombre premier et P (X) = X p − X dans
Z
[X] .
pZ
(
)
Z
(a) Montrer que P X + 1 = P (X) dans
[X] .
pZ
( )
(
)
p
p−1
(b) Retrouver le fait que
≡ 0 (mod p) et
≡ (−1)k (mod p) pour tout entier k
k
k
compris entre 1 et p − 1.
6. Soit p ≥ 2 un nombre premier. Montrer que pour tout entier n ≥ 2 et tout n-uplet (a1 , · · · , an )
d’entiers relatifs, on a :
(a1 + · · · + an )p ≡ ap1 + · · · + apn (mod p)
et retrouver le théorème de Fermat.
7. Soit p ≥ 2. Montrer que s’il existe un entier relatif a tel que ap−1 ≡ 1 (mod p) et ak ̸=
1 (mod p) pour tout diviseur k ∈ {1, · · · , p − 2} de p − 1, alors p est premier (réciproque
partielle du théorème de Fermat due à Lehmer).
– III – Le théorème de Wilson
1. Montrer qu’un entier naturel p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 (mod p) .
2. Montrer qu’un entier naturel p ≥ 2 est premier si, et seulement si, (p − 2)! est congru à 1
modulo p.
3. Montrer qu’un entier naturel p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − k)! (k − 1)! ≡ (−1)k (mod p)
pour tout k compris entre 1 et p.
((
) )2
p−1
4. Montrer qu’un entier naturel impair p ≥ 3 est premier si, et seulement si,
!
est
2
p−1
congru à (−1) 2 modulo p.
5. Soit n ≥ 2 un entier naturel. Montrer que :

 −1 si n est premier
2 (mod n) si n = 4
(n − 1)! ≡

0 (mod n) si n ̸= 4 est non premier
– IV – Nombres premiers et groupes
1. Montrer qu’un groupe de cardinal premier est cyclique.
2. Soient 2 ≤ p < q deux nombres premiers. Un groupe d’ordre pq est-il cyclique ?
3. Soient G un groupe commutatif et (gk )1≤k≤r une suite de r ≥ 2 éléments de G, chaque gk ,
pour k compris entre 1 et r, étant d’ordre nk ≥ 2, les entiers n1 , n2 , · · · , nr étant deux à deux
r
r
∏
∏
premiers entre eux. Montrer que g =
gk est d’ordre n =
nk .
k=1
k=1
4
4. Soient G un groupe commutatif et (gk )1≤k≤r une suite de r ≥ 2 éléments de G, chaque gk , pour
k compris entre 1 et r, étant d’ordre mk ≥ 2.
Montrer qu’il existe un élément de G d’ordre égal au ppcm de ces ordres.
5. Théorème de Cauchy dans le cas commutatif.
Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n ≥ 2.
(a) Montrer que n et m = ppcm {θ (g) | g ∈ G} ont les mêmes facteurs premiers.
(b) Montrer que, pour tout diviseur premier p de n, il existe dans G un élément d’ordre p.
6. Montrer qu’un groupe commutatif d’ordre n =
r
∏
nk , où (nk )1≤k≤r une suite de r ≥ 2 nombres
k=1
premiers deux à deux distincts, est cyclique.
– V – Nombres de Mersenne
1. Soient a ≥ 2 et p ≥ 2 deux entiers et m = ap − 1.
Montrer que si m est premier, on a alors a = 2 et p est premier. La réciproque est-elle vraie ?
On appelle nombre de Mersenne tout entier de la forme 2p − 1, où p est premier.
On appelle nombre d’Euclide tout entier de la forme 2p−1 (2p − 1) où p est un nombre premier
tel que 2p − 1 soit premier.
2. Montrer qu’un entier q est un nombre d’Euclide si, et seulement si, il est pair et parfait (c’està-dire qu’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts).
– VI – La série
+∞
∑
1
p
n=1 n
+∞
∑
1
. Pour ce faire, on introduit la suite
1. On se propose de montrer la divergence de la série
p
n=1 n
(un )n≥1 définie par :
1
∀n ≥ 1, un = ∏
)
n (
1 − p1k
k=1
(a) Montrer que, pour tout n ≥ 1, on a :
un =
∑ 1
j
j∈E
n
où En est l’ensemble des entiers naturels non nuls qui ont tous leurs diviseurs premiers
dans Pn = {p1 , · · · , pn } .
(b) En déduire que, pour tout n ≥ 1, on a :
un ≥
pn
∑
1
j=1
(c) En déduire que la série
∑
j
(
)
1
ln 1 −
est divergente et conclure.
pn
5
2. On propose de montrer le résultat précédent en raisonnant par l’absurde. Pour ce faire, on
∑1
suppose que la série
converge et on se donne un entier r ≥ 1 tel que :
pn
+∞
∑
1
1
<
p
2
n=r+1 n
Montrer que dans ce cas, en notant P = p1 · · · pr , on a pour tout entier N ≥ 1 :
N
∑
n=1
∑
1
<
1 + nP
j=1
+∞
et conclure.
( )j
1
2
∑1
où α est un réel ?
pαn
∑ z pn
4. Quel est le rayon de convergence de la série entière
.
pn
3. Quelle est la nature de la série
6