Agrégation interne Nombres premiers Ce probl`eme est en relation

Agr´egation interne
Nombres premiers
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Ce probl`eme est en relation avec les le¸cons d’oral suivantes :
– 103 : Congruences dans Z,anneau Z
nZ.Applications
– 104 Nombres premiers
On pourra consulter les ouvrages suivants.
–J. M. De Koninck, A. Mercier. 1001 probl`emes en th´eorie classique des nombres. Ellipses.
(2003).
–S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Oraux X-ENS. Alg`ebre 1. Cassini (2009).
–X. Gourdon. Les Maths en tˆete. Alg`ebre. Ellipses.
–J. P. Ramis, A. Warusfel. Math´ematiques tout en un pour la licence. Niveau L1. Dunod.
(2007).
–P. Tauvel. Math´ematiques g´en´erales pour l’agr´egation. Masson (1993).
1. Le 05/01/2014
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Pour tout entier naturel net tout entier kcompris entre 0 et n, on note n
k=n! k! (n−k)! avec
la convention que 0! = 1.
On note :
2 = p1< p2<· · · < pn< pn+1 <· · ·
la suite infinie des nombres premiers rang´ee dans l’ordre croissant et Pl’ensemble de tous ces nombres
premiers.
Pour tout nombre premier p≥2 et tout entier naturel non nul n, on note νp(n) l’exposant de
pdans la d´ecomposition de nen facteurs premiers avec νp(n) = 0 si pne figure pas dans cette
d´ecomposition et νp(1) = 0.Cet entier νp(n) est la valuation p-adique de n.
Pour tout r´eel x, [x] d´esigne la partie enti`ere de x.
Pour tout r´eel x≥2,on d´esigne par π(x) le cardinal de l’ensemble des nombres premiers contenus
dans l’intervalle [0, x],soit :
π(x) = card (P ∩ [0, x]) = 
p∈P∩[0,x]
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– I – G´en´eralit´es
1. Montrer que pour tout entier naturel n≥2,on peut trouver nentiers naturels cons´ecutifs non
premiers (il existe des plages d’entiers aussi grandes que l’on veut sans nombre premier).
2. Montrer que, pour tout entier n≥2,on a pn<2n(on peut utiliser le th´eor`eme de Bertrand
qui nous dit que pour tout entier n≥2,il existe des nombres premiers compris entre net 2n).
3. Carr´es de Z
pZ∗
,pour p≥2premier.
Soit pun nombre premier impair.
(a) Montrer qu’il y a exactement p−1
2carr´es et p−1 2non carr´es dans Z pZ∗
.
(b) Montrer que l’ensemble des carr´es de Z
pZ∗
est l’ensemble des racines du polynˆome
Xp−1
2−1 et que l’ensemble des non carr´es de Z
pZ∗
est l’ensemble des racines du polynˆome
Xp−1
2+ 1.
(c) Montrer que −1 est un carr´e dans Z
pZsi, et seulement si, pest congru `a 1 modulo 4.Dans
ce cas, donner une racine carr´ee explicite de −1.
(d) Montrer que s’il existe deux entiers a, b premiers entre eux tels que pdivise a2+b2,alors
p≡1 (4) .
4. Quelques cas particuliers du th´eor`eme de Dirichlet.
Un th´eor`eme de Dirichlet nous dit que si aet bsont deux entiers naturels premiers entre eux,
il existe alors une infinit´e de nombres premiers de la forme an +b, o`u nest un entier naturel.
On se propose ici de v´erifier ce th´eor`eme sur quelques cas particuliers.
(a) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme 4n+3,o`u nest un entier
naturel.
(b) On se propose de montrer que, pour tout nombre premier p≥2,il existe une infinit´e de
nombres premiers de la forme pn + 1,o`u nest un entier naturel.
On se donne un nombre premier p≥2.
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i. Montrer que les diviseurs premiers de m= 2p−1 sont de la forme pn + 1,o`u nest
un entier naturel (il existe donc de tels nombres premiers).
ii. On suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini p1<· · · < prde nombres premiers de la
forme pn + 1 et on note :
N=p1· · · · · pr, m = (N+ 1)p−Np
En d´esignant par q≥2 un diviseur premier de m, montrer que N̸= 0 dans Z
qZ,que
(N+ 1) ·N−1est d’ordre pet conclure.
5. Formule de Min`ac et Wilans.
(a) Montrer que, pour tout entier naturel k≥2,on a :
(k−1)! + 1
k−(k−1)! k=1 si kest premier
0 si kest compos´e
(b) Montrer que, pour tout entier naturel m≥2,on a :
m
k=2 (k−1)! + 1
k−(k−1)! k=π(m)
(c) Montrer que, pour tous entiers naturels n≥1 et m≥2,on a :
n
1 + π(m)
1
n=1 si π(m)≤n−1
0 sinon
(d) Montrer que, pour tout entier naturel n≥1,on a :
pn= 2 +
2n
m=2
n
1 +
m
k=2 (k−1)!+1
k−(k−1)! k
1
n
– II – Le th´eor`eme de Fermat et Z
pZ
1. Montrer que, pour n≥2,les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(a) nest premier ;
(b) Z
nZest un corps ;
(c) Z
nZest un int`egre.
2. D´eduire de la question pr´ec´edente le th´eor`eme de Fermat : si pest un entier naturel premier,
pour tout entier relatif apremier avec p, on a alors ap−1≡1 (mod p) et pour tout entier relatif
a, on a ap≡a(mod p).
3. Soit p≥2 un nombre premier. Expliquer comment utiliser le th´eor`eme de Fermat pour simplifier
le calcul du reste dans la division euclidienne par pd’un entier de la forme ab,o`u a, b sont des
entiers plus grands que p, l’entier pne divisant pas a.
4. Soit p≥2 un entier naturel. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :
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(a) pest premier ;
(b) pour tout entier kcompris entre 1 et p−1,on a p
k≡0 (mod p) ;
(c) pour tout entier kcompris entre 1 et p−1,on a p
k≡0 (mod p) et p−1 k≡
(−1)k(mod p).
5. Soit p≥2 un nombre premier et P(X) = Xp−Xdans Z
pZ[X].
(a) Montrer que PX+ 1=P(X) dans Z
pZ[X].
(b) Retrouver le fait que p
k≡0 (mod p) et p−1 k≡(−1)k(mod p) pour tout entier k
compris entre 1 et p−1.
6. Soit p≥2 un nombre premier. Montrer que pour tout entier n≥2 et tout n-uplet (a1,· · · , an)
d’entiers relatifs, on a :
(a1+···+an)p≡ap
1+· · · +ap
n(mod p)
et retrouver le th´eor`eme de Fermat.
7. Soit p≥2.Montrer que s’il existe un entier relatif atel que ap−1≡1 (mod p) et ak̸=
1 (mod p) pour tout diviseur k∈ {1,· · · , p −2}de p−1,alors pest premier (r´eciproque
partielle du th´eor`eme de Fermat due `a Lehmer).
– III – Le th´eor`eme de Wilson
1. Montrer qu’un entier naturel p≥2 est premier si et seulement si (p−1)! ≡ −1 (mod p).
2. Montrer qu’un entier naturel p≥2 est premier si, et seulement si, (p−2)! est congru `a 1
modulo p.
3. Montrer qu’un entier naturel p≥2 est premier si et seulement si (p−k)! (k−1)! ≡(−1)k(mod p)
pour tout kcompris entre 1 et p.
4. Montrer qu’un entier naturel impair p≥3 est premier si, et seulement si, p−1
2!2
est
congru `a (−1)p−1
2modulo p.
5. Soit n≥2 un entier naturel. Montrer que :
(n−1)! ≡
−1 si nest premier
2 (mod n) si n= 4
0 (mod n) si n̸= 4 est non premier
– IV – Nombres premiers et groupes
1. Montrer qu’un groupe de cardinal premier est cyclique.
2. Soient 2 ≤p < q deux nombres premiers. Un groupe d’ordre pq est-il cyclique ?
3. Soient Gun groupe commutatif et (gk)1≤k≤rune suite de r≥2 ´el´ements de G, chaque gk,
pour kcompris entre 1 et r, ´etant d’ordre nk≥2,les entiers n1, n2,· · · , nr´etant deux `a deux
premiers entre eux. Montrer que g=
r
k=1
gkest d’ordre n=
r
k=1
nk.
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4. Soient Gun groupe commutatif et (gk)1≤k≤rune suite de r≥2 ´el´ements de G, chaque gk,pour
kcompris entre 1 et r, ´etant d’ordre mk≥2.
Montrer qu’il existe un ´el´ement de Gd’ordre ´egal au ppcm de ces ordres.
5. Th´eor`eme de Cauchy dans le cas commutatif.
Soit Gun groupe commutatif fini d’ordre n≥2.
(a) Montrer que net m= ppcm {θ(g)|g∈G}ont les mˆemes facteurs premiers.
(b) Montrer que, pour tout diviseur premier pde n, il existe dans Gun ´el´ement d’ordre p.
6. Montrer qu’un groupe commutatif d’ordre n=
r
k=1
nk,o`u (nk)1≤k≤rune suite de r≥2 nombres
premiers deux `a deux distincts, est cyclique.
– V – Nombres de Mersenne
1. Soient a≥2 et p≥2 deux entiers et m=ap−1.
Montrer que si mest premier, on a alors a= 2 et pest premier. La r´eciproque est-elle vraie ?
On appelle nombre de Mersenne tout entier de la forme 2p−1,o`u pest premier.
On appelle nombre d’Euclide tout entier de la forme 2p−1(2p−1) o`u pest un nombre premier
tel que 2p−1 soit premier.
2. Montrer qu’un entier qest un nombre d’Euclide si, et seulement si, il est pair et parfait (c’est-
`a-dire qu’il est ´egal `a la somme de ses diviseurs stricts).
– VI – La s´erie
+∞
n=1
1
pn
1. On se propose de montrer la divergence de la s´erie
+∞
n=1
1
pn
.Pour ce faire, on introduit la suite
(un)n≥1d´efinie par :
∀n≥1, un=1
n
k=1 1−1
pk
(a) Montrer que, pour tout n≥1,on a :
un=
j∈En
1
j
o`u Enest l’ensemble des entiers naturels non nuls qui ont tous leurs diviseurs premiers
dans Pn={p1,· · · , pn}.
(b) En d´eduire que, pour tout n≥1,on a :
un≥
pn
j=1
1
j
(c) En d´eduire que la s´erie ln 1−1
pnest divergente et conclure.
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