Y a-t-il plus complexe que les nombres complexes

Y a-t-il plus complexe que les nombres complexes
Pierre-Olivier Parisé∗
Midis conférences de l’Université Laval
17 février 2017
Résumé
Avez-vous entendu parler des nombres complexes ? Ces nombres sortis tout droit de l’ima-
ginaire des mathématiciens et sujets à des règles obscures ! Parmi ces règles, il y a celle
annonçant l’existence d’un nombre itel que i2=−1. Cette règle, qui a énervée de nombreux
mathématiciens et enthousiasmée bien d’autres, permet de régler plusieurs problèmes...
Dans cette exposé, notre but ne sera pas d’expliquer pourquoi i2=−1, mais plutôt d’uti-
liser cette règle afin de construire de nouveaux nombres dénommés nombres multicomplexes.
Un fois la définition de ces nombres digérés, nous explorerons leur structure algébrique après
avoir défini des opérations appropriées. Enfin, nous verrons une application de ces nombres
en systèmes dynamiques.
Table des matières
1 Mise en contexte 2
1.1 Histoire .......................................... 2
1.2 Nombrescomplexes.................................... 2
1.3 Exercices.......................................... 2
2 Nombres multicomplexes 3
2.1 Histoire .......................................... 3
2.2 Construction des nombres multicomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Nombres bicomplexes 3
3.1 Définitionsdebase .................................... 3
3.2 Représentation idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Exercice .......................................... 6
4 Applications en systèmes dynamiques 7
4.1 Notations ......................................... 7
4.2 Définitionsdebase .................................... 7
4.3 Estimationdeladistance................................. 8
4.4 Ray-tracing ........................................ 8
Références 9
∗Site personnel : www.mathopo.com
1

1 Mise en contexte
1.1 Histoire
Les nombres complexes :
∗Utiliser afin de résoudre les équations cubiques par Cardano ;
∗Massivement utilisés par Euler et Gauss ;
∗Gauss a démontré que toutes équations polynômiales de degré n≥1a exactement nsolutions
dans les complexes ;
∗La physique quangique, dont les travaux de Schrödinger, utilise sans permission les nombres
complexes et la théorie des opérateurs.
1.2 Nombres complexes
Définition 1.1. Un nombre complexe zest composé de deux nombres a, b ∈Ret d’une entité
i1telle que
z=a+bi1
où i2
1=−1.
La règle i2
1=−1reviendra plus tard. Elle sera au coeur de la définition des nombres multi-
complexes.
Définition 1.2. Soit z=a+bi1et w=c+di1, alors
•z+w:= (a+c)+(b+d)i1;
•z·w:= (ac −bd)+(ad +bc)i1;
•z:= a−bi1;
• |z|:= √a2+b2=zz.
(M(1),+,·)forme un corps commutatif.
Questions :
?Pouvons-nous généraliser les nombres complexes ?
?Sur cette généralisation, pouvons-nous garder une structure similaire à celle des complexes ?
La réponse est « oui » en utilisant la règle « i2
1=−1».
1.3 Exercices
1. Si zsatisfait l’équation z2+z+ 1 = 0, alors montrer (sans calculer zexplicitement) que
z3= 1.
2. Vérifier l’identité suivante :
|a+b|2+|a−b|2= 2(|a|2+|b|2)∀a, b ∈M(1).
2

3. Si |a| 6= 1 et |b|= 1 où a, b ∈M(1), alors montrer que
a−b
1−ab= 1.
2 Nombres multicomplexes
2.1 Histoire
∗J. Cockle (1848) introduit les nombres tessarines (une algèbre de matrices). La présence de
diviseurs de zéros le pousse à abandonner cette structure.
∗Corrano Segre (1892) introduit à son tour les nombres bicomplexes. Il y remarque l’existence
d’éléments idempotents se révélant des objets d’une importance capitale pour cette structure.
∗G. B. Price (1991) a écrit un livre sur les nombres multicomplexes (voir [5]). Son ouvrage est
considéré comme l’oeuvre fondamentale de cette théorie.
2.2 Construction des nombres multicomplexes
On définit M(0) := Ret M(1) := {a+bi1:a, b ∈R,i2
1=−1}.
Définition 2.1. — Un nombre multicomplexe d’ordre 0est l’ensemble R,M(0) := R.
— Un nombre multicomplexe d’ordre n≥1ηest de la forme
η:= ζ1+ζ2in
où ζ1et ζ2sont des nombre multicomplexes d’ordre n−1et i2
n=−1.
Remarque 1. On observe que les nombres multicomplexes sont définis de manière récursive. N
Pour ne pas s’« enfarger » dans les notations fastidieuses de la théorie générale des nombres
multicomplexes, on va étudier un cas particulier, l’espace des nombres bicomplexes M(2).
L’idée générale de construction est conservée en se concentrant sur les nombres bicomplexes.
3 Nombres bicomplexes
3.1 Définitions de base
Définition 3.1. Un nombre bicomplexe west définie à partir de deux nombres complexes
z1, z2∈M(1) et d’une nouvelle unité imaginaire i2tels que
w:= z1+z2i2
où i2
2=−1.
3

Comme z1et z2sont des nombres complexes avec l’unité i1, on peut les écrire comme ceci
z1=a+bi1et z2=c+di1
et donc
w=a+bi1+ci2+di1i2:= a+bi1+ci2+dj1
avec j2
1= 1 est appelée unité hyperbolique.
·1i1i2j1
1 1 i1i2j1
i1i1−1j1−i2
i2i2j1−1−i1
j1j1−i2i11
Table 1 – Relations entre les unités
Définition 3.2. Soit s=s1+s2i2et t=t1+t2i2.
•Addition : s+t:= (s1+t1)+(s2+t2)i2;
•Multiplication : s·t:= (s1t1−s2t2)+(s1t2+s2t1)i2;
•Norme : ksk2:= q|s1|2+|s2|2=√a2+b2+c2+d2.
Proposition 3.1. (M(2),+,·)est un anneau commutatif unitaire. Muni de la norme k·k2
ci-haut, ceci forme un espace vectoriel normé (addition et multiplication scalaire habituelle).
On remarque que 1+j1
2et 1−j1 2sont des diviseurs de zéro et ils ne sont pas inversibles.
Ces éléments sont tellement importants qu’on leur attribut une notation spéciale ! ! !
γ0:= 1 + j1
2et γ0:= 1−j1 2.
Définition 3.3. NO2est l’ensemble des éléments non-inversibles et est appelé le cône-nul.
Proposition 3.2. w∈ NO2⇐⇒ (z1−z2i1)(z1+z2i1) = 0.
Démonstration.
La faire si le temps le permet. 
Questions Quelles sont les différences entre Cet M(2) ?
(M(2),+,·)possède des éléments qui ne sont pas inversibles ! N’empêche,
les éléments inversibles sont situés exactement où on veut qu’il soit (ou
qu’ils veulent qu’ils soient... euh ouin tant pis!)
3.2 Représentation idempotente
4

Définition 3.4. Un élément γ∈M(2) est idempotent si γ2=γ.
Proposition 3.3. 0,1,γ0et γ0sont les seuls éléments idempotents de l’espace M(2).
Démonstration.
Détailler les solutions du système γ2=γ.
Remarque 2. De plus, on a γ0·γ0= 0 et γ0+γ0= 1 N
Proposition 3.4. Tout nombre w∈M(2) s’écrit de manière unique comme
w= (z1−z2i1)γ0+ (z1+z2i1)γ0.
Démonstration.
Simplement multiplier le tout et vérifier que c’est bien égal... 
Corollaire 3.1. Posons s=s1+s2i2et t=t1+t2i2. Alors,
(a) s= 0 ⇐⇒ s1−s2i1= 0 et s1+s2i1= 0 ;
(b) s·t:= (s1−s2i1)(t1−t2i1)γ0+ (s1+s2i1)(t1+t2i1)γ0;
(c) kwk2:= |s1−s2i1|2+|s1+s2i1|2
21/2;
(d) s∈ NO2⇐⇒ s1−s2i1= 0 ou s1+s2i1= 0 ;
(e) Si t6∈ NO2, alors
s
t=s1−s2i1 t1−t2i1γ0+s1+s2i1 t1+t2i1γ0.
Démonstration.
Faire la preuve de (b). 
Donc, on voit que M(2) est une duplication des nombres complexes et qu’avec la représentation
idempotente, la multiplication se fait de termes à termes !
Ceci permet aussi de facilement généraliser les concepts de l’analyse complexe à l’espace des
nombres bicomplexes.
Définition 3.5. Un produit M(2)-cartésien de deux ensembles X1, X2⊂M(1) est
X1×γ0X2:= {uγ0γ0+uγ0γ0:uγ0∈X1et uγ0∈X2}.
Remarque 3. L’application Γ0:X1×X2→X1×γ0X2,(u, v)7→ uγ0+vγ0est un homéomorphisme.
Ceci conduit à
5