Serveur d`exercices Sciences.ch

EXERCICES DE
T
TH HÉ ÉO OR RI IE E D DE ES S N NO OM MB BR RE ES S
(version 2.0 du 28.02.2010)

Sciences.ch Théorie des Nombres
Serveur d'exercices 2/9
EXERCICE 1.
Niveau : Collège
Auteur : Ruben Ricchiuto (30.12.04)
Mots Clés : Nombres premiers
Énoncé : Démontrer que tout nombre entier positif n se décompose en produit de nombres
premiers. [Indication: procéder par récurrence sur n].
Solution :
Par récurrence sur n. Si il n'y a rien à démontrer. Supposons la proposition vérifiée pour
tout . Si est premier c'est fini, sinon il existe deux nombres tels que
. Etant donné que on peut appliquer l'hypothèse de récurrence qui nous
dit que sont produit de nombres premiers, par conséquent
1n
kn
1a 
eta
1n
b
,ab1
bn , 1ab n
1n l'est aussi.

Sciences.ch Théorie des Nombres
Serveur d'exercices 3/9
EXERCICE 2.
Niveau : Collège
Auteur : Ruben Ricchiuto (30.12.04)
Mots Clés: Nombres premiers
Énoncé :
Démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers.
Solution :
On va montrer que pour tout entier n il existe un nombre premier
p
n
:!mn , ce qui prouvera
l'infinité des nombres premiers. Soit donc n un entier. Posons 1
. Soit p un premier
qui divise m alors
p
n (car sinon p divise et par conséquent il divise aussi 1 car
). !n
!1mn
Autre preuve: supposons que
1,..., n
pp
soit l'ensemble des nombres premiers. On pose
. Soit p un premier qui divise m. p n'appartient pas à
1
:
n
j
j
mp
1
1n
,...,
p
p car sinon p
divise 1 ( ) . Contradiction.
11
n
j
p
j
m

Sciences.ch Théorie des Nombres
Serveur d'exercices 4/9
EXERCICE 3.
Niveau : Collège
Auteur : Ruben Ricchiuto (30.12.04)
Mots Clés : irrationalité
Énoncé :
Démontrer que 2 est irrationnel. [Indication: supposer que 2
p
q
avec
p
q irréductible et
en déduire que et
p
q sont pairs ce qui est une contradiction].
Solution :
Si 2
p
q
 avec
p
q irréductible alors 2 et
22
qp 2
p
est pair. Ceci entraîne que p est pair
et donc 2
p
n. En remplaçant on trouve 22 n2q4  c'est-à-dire 2 2q2 n . Par le même
raisonnement qu'avant ceci implique que q est pair, la fraction
p
q n'est donc pas irréductible
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ.

Sciences.ch Théorie des Nombres
Serveur d'exercices 5/9
EXERCICE 4.
Niveau : Premier Cycle
Auteur : Ruben Ricchiuto (30.12.04)
Mots Clés : Nombres irrationnels
Énoncé : Prouver que si n'est pas un carré alors nn est irrationnel.
Solution :
Supposons
p
nq  avec p et q premiers entre eux (positifs). Alors qn et par
conséquent divise
22
p
2
q2
p
ce qui entraîne 1q . Pour finir 2 np ce qui est une contradiction.