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Sciences.ch Théorie des Nombres
Serveur d'exercices 4/9
EXERCICE 3.
Niveau : Collège
Auteur : Ruben Ricchiuto (30.12.04)
Mots Clés : irrationalité
Énoncé :
Démontrer que 2 est irrationnel. [Indication: supposer que 2
q
avec
q irréductible et
en déduire que et
q sont pairs ce qui est une contradiction].
Solution :
Si 2
q
avec
q irréductible alors 2 et
22
qp 2
est pair. Ceci entraîne que p est pair
et donc 2
n. En remplaçant on trouve 22
n2q4
c'est-à-dire 2
2q2
n
. Par le même
raisonnement qu'avant ceci implique que q est pair, la fraction
q n'est donc pas irréductible
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse de départ.