MVA101 - ED 11 - Algèbre linéaire (1)

MVA101 - ED 11 - Algèbre linéaire (1)
Rappels de cours :
1 - Espaces vectoriels
Définition : On dit que Eest un espace vectoriel sur Rsi Eest muni d’une addition interne et d’une
multiplication externe :
•Addition interne :
E×E→E
(u, v)7→ u+v
•Multiplication externe :
R×E→E
(λ, u)7→ λu
Définition : Soient u1,· · · , unnvecteurs d’un espace vectoriel Eet λ1,· · · , λndes réels. On appelle
combinaison linéaire de u1,· · · , un, tout vecteur s’écrivant :
(1) λ1u1+· · · λnun=
n
X
i=1
λiui
Définition : On dit que Fest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si :
•Fest un sous-ensemble de E, c’est à dire F⊂E.
•Fcontient le vecteur nul, c’est à dire {0} ∈ F.
•Fest stable par combinaisons linéaires, c’est à dire :
∀u1,· · · , un∈F, ∀λ1,· · · , λn∈R,
n
X
i=1
λiui∈F
2 - Familles de vecteurs
Définition : On appelle famille finie de vecteurs un n-uplet de vecteurs : F= (u1,· · · , un).
Définition : L’espace vectoriel engendré par Fest l’ensemble des combinaisons linéaires de u1,· · · , un:
(2) (n
X
i=1
λiui, λi∈R)
Exemples :
•Pour n= 1 : L’espace vectoriel engendré par un seul vecteur u(non nul) est la droite vectorielle
:{λu, λ ∈R}
•Pour n= 2 : L’espace vectoriel engendré par deux vecteurs uet v(non colinéaires) est le plan
vectoriel : {λu +µv, λ, µ ∈R}
•L’espace vectoriel Rnest engendré par les nvecteurs : (1,0,· · · ,0),(0,1,· · · ,0),· · · ,(0,0,· · · ,1).
En effet, on peut écrire tout vecteur (x1, x2,· · · , xn)de Rncomme la combinaison linéaire :
x1(1,0,· · · ,0) + x2(0,1,· · · ,0) + · · · +xn(0,0,· · · ,1).

Remarque : Deux familles de vecteurs différentes peuvent engendrer le même espace vectoriel. Par
exemple, R2peut être engendré par :
• F =(1,0),(0,1).
En effet, comme dit précédemment tout vecteur (x, y)de R2peut s’écrire (x, y) = x(1,0)+y(0,1).
• G =(1,1),(1,−1).
En effet, tout vecteur (x, y)de R2peut aussi s’écrire (x, y) = x+y
2(1,1) + x−y 2(1,−1).
Définition : Soit Eun espace vectoriel et Fune famille d’éléments de E. On dit que Fest une
famille génératrice de Esi l’espace vectoriel engendré par Fest égal à E.
Exemple : Les familles F=(1,0),(0,1)et G=(1,1),(1,−1)sont deux exemples de familles
génératrices de l’espace vectoriel R2.
Par contre, la famille (0,1),(0,2)n’est pas une famille génératrice de R2(en effet, on ne pourra
jamais obtenir tous les vecteurs de R2par combinaison linéaire de ces deux vecteurs là, par exemple
on ne peut jamais avoir le vecteur (1,0)).
Les trois familles suivantes sont aussi des familles génératrices de R2:
(1,0),(0,1),(1,1);(1,1),(1,−1),(0,1);(1,0),(0,1),(1,1),(1,−1)
Par rapport à Fet G, elles contiennent des vecteurs superflus. Si dans une famille de vecteurs, un
vecteur est combinaison linéaire des autres, on peut l’enlever de la famille sans changer l’espace engen-
dré. Une famille de laquelle on ne peut enlever aucun vecteur sans changer l’espace engendré est une
famille libre.
Définition : Soit F= (u1,· · · , un)une famille finie de vecteurs de l’espace E. On dit que Fest une
famille libre de Esi pour tous λ1,· · · , λn∈R:
(3)
n
X
i=1
λiui= 0 =⇒λi= 0,∀i= 1,· · · n
La famille est dite liée dans le cas contraire.
Exemples : Dans R2, la famille (0,1),(0,2)est liée (le deuxième vecteur est égal à 2 fois le premier).
A l’inverse, les familles F=(1,0),(0,1)et G=(1,1),(1,−1)sont deux familles libres de R2.
3 - Bases
Définition : On appelle base toute famille de vecteur à la fois génératrice et libre.
Exemples : Les familles F=(1,0),(0,1)et G=(1,1),(1,−1)sont deux bases de R2.
Dans Rn, la famille (1,0,· · · ,0),(0,1,· · · ,0),· · · ,(0,0,· · · ,1)est une base, que l’on appelle la base
canonique.
Définition : Soit Eun espace vectoriel différent de {0}et finiment engendré. On appelle dimension
de Ele nombre d’éléments commun à toute base de E.
Théorème : Dans un espace vectoriel Ede dimension n:
1. toute famille libre a au plus néléments
2. toute famille libre de néléments est une base de E

3. toute famille génératrice a au moins néléments
4. toute famille génératrice de néléments est une base de E
Théorème : Soit Eun espace vectoriel de dimension net B= (b1,· · · , bn)une base de E. Pour tout
vecteur u∈E, il existe un n-uplet de réels (x1,· · · , xn)unique, tel que :
(4) u=
n
X
i=1
xibi
Le n-uplet (x1,· · · , xn)correspond alors aux coordonnées du vecteur udans la base Bde E.
4 - Applications linéaires
Définition : Soient Eet Fdeux espaces vectoriels et fune application de Edans F. On dit que f
est une application linéaire si et seulement si :
(5) ∀u, v ∈E, ∀λ, µ ∈R, f(λu +µv) = λf(u) + µf (v)
Si E=F, l’application linéaire fest alors appelée endomorphisme.
Théorème : La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
5 - Image et noyau
Définition : Soient Eet Fdeux espaces vectoriels et funa application linéaire de Edans F. On
appelle :
1. Image de fet on note Im(f)le sous-espace vectoriel de F:
(6) Im(f) = f(E) = {f(u), u ∈E}
2. Noyau de fet on note Ker(f)le sous-espace vectoriel de E:
(7) Ker(f) = f−1({0}) = {u∈Etels que f(u) = 0}
Exemples : Considérons l’application fde R2dans R3définie par :
f: (x, y)7→ (x+y, x +y, x +y)
L’image de fest la droite vectorielle de R3engendrée par le vecteur (1,1,1). Et son noyau est l’ensemble
des vecteurs (x, y)de R2tels que (x+y, x +y, x +y) = (0,0,0), c’est à dire : x+y= 0 ⇐⇒ y=−x:
c’est donc la droite vectorielle de R2engendrée par le vecteur (1,−1). Ainsi on a :
Im(f) = {λ(1,1,1), λ ∈R}et Ker(f) = {λ(1,−1), λ ∈R}

Exercice 1 : Bases de R3
Compléter les familles suivantes de vecteurs de R3pour qu’elles forment une base de R3:
1. ((1,1,1))
2. ((1,1,1),(1,−1,−1))
Exercice 2 : Applications linéaires
On considère les applications suivantes de R2dans R2:
•a) f: (x, y)7→ (−x, −y)
•b) f: (x, y)7→ (x, 0)
•c) f: (x, y)7→ (x+y, x −y)
Pour chacune de ces applications :
1. Vérifier que fest une application linéaire.
2. Déterminer Ker(f)et Im(f). L’application est-elle un automorphisme de R2?
Chloé Mimeau, 7 décembre 2016.