Cours DYN-4 : Cinétique en mouvement quelconque 1 Torseur

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DYN-4
Cinétique
Cours DYN-4 : Cinétique en mouvement quelconque
Compé tences nécessaires (Prére quis):
B2 Associer aux liaisons un torseur cinématique,
B2 Paramétrer les mouvements d’un solide indéformable,
C2 Procéder à la mise en œuvre d'une démarche de résolution analytique,
C2 Déterminer le vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un autre,
Compé tence nouve lle :
B2 Déterminer les caractéristiques d’un solide indéformable (matrice d'inertie). La forme de la matrice
d’inertie peut être demandée mais les valeurs des moments et produits d’inertie sont données.
C1 Proposer une démarche permettant de dét erminer une loi de mouvement (mouvement quelconque).
Certaines pièces de formes particulières ou qui ont des mouvements composés (plusieurs degrés de
liberté) nécessite une étude cinétique afin de quantifier les quantités de mouvements autour de chacun des
degrés de liberté.
1 Torseur cinétique
Le torseur cinétique permet de quantifier l'inertie d'un système mécanique.
Les éléments de réduction du torseur cinétique sont comme tout torseur une résultante (invariant du
torseur) et un moment qui dépend du point d'expression.
1.1 Résultante cinétique ou quantité de mouvement
Par définition la résultante cinétique (ou quantité de mouvement) vaut
/
=
, /
Avec :
.
S
/
, /
dm
: Quantité de mouvement en kg.m.s -1
: Système mécanique (généralement constitué d'un ou plusieurs solides)
: Vitesse d'un point M de S par rapport à un référentiel R en m.s -1
: masse élémentaire du système S en kg
=
.
On retiendra plutôt sa forme intégrée pour un système à masse conservative (démonstration en annexe 1):
/
Résultante cinétique d'un système S (masse conservative) :
Avec :
S
m
/
/
-1
: Quantité de mouvement en kg.m.s
: Système mécanique à masse conservative (un solide en pratique),
: masse du système S en kg.
: Vitesse du centre d'inertie G de S par rapport à un référentiel R en m.s -1
1.2 Moment cinétique
Le moment cinétique est par définition :
Avec
S
, /
, /
dm
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/
, /
=
˄
, /
.
: Moment cinétique de S en A par rapport à un référentiel R en kg.m².s -1
: Système mécanique (généralement constitué d'un ou plusieurs solides)
: Vitesse du point M de S par rapport à un référentiel R en m.s -1
: Masse élémentaire du système S en kg
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Dans le cas d'un solide indéformable (démonstration en annexe 1):
, /
=
Avec
,
%
&
*
!
"+
!
, /
,
/
" + $.
/
˄
Cinétique
, /
: le moment cinétique de S en A par rapport à un référentiel R (en kg.m².s -1),
: vecteur rotation du solide S par rapport au référentiel R,
%
/
"=
˄(%
/
˄
).
: opérateur d'inertie du solide S (en kg.m².s -1),
est la masse du solide S (en Kg),
, / la vitesse du point A du solide S par rapport à un référentiel R (en m/s).
=
. *!
+ L'opérateur d'inertie est toujours déterminé à partir du produit matriciel suivant :
,
/
,
/
,-
où
Rs est un repère de projection lié à S,
*& , % / "+ est le vecteur colonne constitué des projections du vecteur &
.
,
,
%
/
" dans Rs,
est la matrice d'inertie en A de S dans Rs (de forme connue pour les géométries simples,
de valeurs données par les modeleurs volumiques),
*% / + le vecteur colonne constitué des projections du vecteur & , % / " dans Rs.
.
Base de projection et référence du mouvement:
• pour les 3 matrices précédentes, le repère de projection Rs est mobile car liée au solide S (la
matrice d'inertie de S, dont les composantes sont fournies par un modeleur volumique ou le
formulaire en annexe 2, est indépendante de la position du solide S),
• le référentiel du mouvement R étant galiléen par la suite, le repère de référence R est fixe.
Simplifications courantes selon le point de réduction
Le point de réduction choisi conduit généralement à une expression simplifiée :
• si A est un point fixe :
, / =
, ! / ",
=
, /
,
!
",
/
•
en G (centre de gravité du solide S) :
•
dans le cas où la matrice d'inertie est donnée pour un point mobile A, on utilisera la formule
générale.
Moment d'inertie d'un solide équilibré (cas d'une pièce de révolution : cylindre, disque…) en rotation
d'axe fixe (A,/) :
, / = 0 ,/ . ! /
1.3 Torseur cinétique
On obtient ainsi le torseur cinétique :
12
/
3 =4
, /
=
,
/
= $.
!
/
/
" + $.
˄
, /
5
La relation de changement de point des torseurs peut être utilisée pour déterminer le torseur en un autre
point que le point où l'on connait la matrice d'inertie (formule de Varignon):
6, /
=
, /
+ 6 ˄$.
/
On peut également écrire la matrice d'inertie en B à partir de la matrice d'inertie en A (théorème de
Huygens généralisé de la partie suivante). La complexité de cette deuxième méthode dépend de la
complexité du décalage entre A et B.
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2 Théorème de Huygens
La matrice d'inertie donnée dans le cas général par un modeleur volumique n'est pas toujours définie au
point que l'on souhaite utiliser (notamment lorsqu'il s'agit d'un centre de rotation excentré).
Il peut donc alors être utile de savoir écrire la matrice d'inertie en un autre point. On utilise pour cela le
théorème de Huygens.
2.1 Théorème de Huygens pour le moment d'inertie autour d'un axe
. 9:
(7,8 ), = ( ,8 ), +
avec
&(;,<), le moment d'inertie du solide S autour de l'axe (O,=) (en Kg.m²)
&( ,<), : le moment d'inertie du solide S autour de l'axe (G,=) (en Kg.m²)
où G est le centre de gravité,
m : la masse du solide S (en Kg)
: la distance entre les axes (O,=) et (G,=) (en m)
&(;,> ), ? = &(
&(;,B), ? = &(
exemple :
,> ),
?+
. d? = &(
,B) , ?
,> ),
?+
G
E
d
E
. A?
A
O
2.2 Théorème de Huygens pour le produit d'inertie
Soit le vecteur position du centre de gravité CD = E .E + F . F + A . A
(où (E , F , A )est la base orthogonale dans laquelle est définie la matrice d'inertie
, en G).
G(7,/H), = G(
avec
,/H),
+
./ . H
I(;,>J), le produit d'inertie du solide S par rapport au plan (C, E , F),
I( ,>J), le produit d'inertie du solide S par rapport au plan (D, E, F ),
X Y
E
E
A
A
G
F
A
A O F
où G est le centre de gravité et les produits d'inertie exprimés en Kg.m²
m : la masse du solide S (en Kg)
CD = E .E + F . F + A . A (vecteur position du centre de gravité de S) coordonnées en m.
F
F
H 2.3 Théorème de Huygens pour les matrices d'inertie
Soit le vecteur position du centre de gravité CD = E .E + F . F + A . A
(où (E , F , A )est la base orthogonale dans laquelle est définie la matrice d'inertie en G).
Soit la matrice d'inertie du solide S au point G :
LM LN
=K
LM
O LP R
,
LN LP Q ,>,J,B
alors la matrice d'inertie en O du solide S de masse m vaut :
+ . (F ? + A ? ) L(M + . E .F )
O + . (E ? + A ? )
;, =S L(M + . E .F )
L(N +
.E .A
)
L(P +
.F .A )
L(N +
. E .A ) L(P + . F . A ) U
?
Q + . (E + F ²) V,>,J,B
qui peut aussi s'écrire 7, = , + 7, (théorème de Huygens généralisé),
où ;,W est la matrice d'inertie en O d'une masse ponctuelle m.
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3 Energie cinétique
Par définition l'énergie cinétique d'un système mécanique S par rapport à un référentiel R est
NZ,
=
/
(
[
?
\, /
)?.
Pour des solides indéformables Si à masse conservative, on obtient la relation suivante :
]^,
/
avec
= ∑cde` 12a/ 3 . 1ba/ 3 NZ,
:̀
/
a
a
l'énergie cinétique galiléenne de l'ensemble S des n solides
1Cg/ 3 : le torseur cinétique galiléen du solide i
1Vg/ 3 : le torseur cinématique galiléen du solide i.
Ai : le
point de réduction commun aux 2 torseurs (peut être différent selon les solides i).
R est le référentiel galiléen du problème (en général le référentiel terrestre) car le seul théorème au
programme est celui du théorème de la puissance cinétique galiléenne.
En développant le comoment des torseurs cinétiques et cinématiques (le comoment est la somme des 2
produits croisés entre les moments au même point et les résultantes des 2 torseurs):
]^,a/ =
:̀
( $d .
a/
".
a ,a/
+
a ,a/
. !a/ )
Particularité du point Ai de réduction des torseurs :
• l'énergie cinétique est indépendante du point Ai,
• les 2 torseurs doivent être écrit au même point pour le calcul du comoment,
• on choisit de préférence un point fixe ou le centre de gravité Gi.
Cas particuliers
- énergie cinétique au centre de gravité Gi (formulation appelé théorème de Koenig) :
$d. :a/ + a,a !a/ ".!a/ )"
:̀
L'énergie cinétique d'un solide est la somme de l'énergie cinétique :
o de la masse concentrée au centre de gravité en translation galiléenne et
o du solide en rotation autour de son centre de gravité fixe par rapport au référentiel galiléen.
solide en translation : ]^,a/ = $d. :a/
]^,a/ =
-
:̀
solide équilibré en rotation d'axe fixe autour de l'axe (
a ,X d ):
]^,a/ = i (
:̀
a,Xd)
. j:d/
Références :
"Mécanique du solide: Application industrielles" de P.Agati, Y.Bremont, G.Delville. Edition Dunod.
"Sciences industrielles pour l'ingénieur : mécanique et automatique PSI" de R.Papanicola. Edition Ellipses.
"Mécanique des systèmes et des milieux indéformables" de L.Chevalier. Edition Ellipses .
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Annexe 1 : Démonstration du cours (pour information seulement : seuls les résultats sont à connaitre)
Résultante cinétique de S par rapport à R
=
/
Définition intégrale de la quantité de mouvement :
k, /
l
.9
=
/
d'où
m
p .
n;
no
=m
, /
Par définition du vecteur vitesse de S en M (avec O: point fixe du repère R) :
n;
no
p
Comme le système est à masse conservative, on peut intervertir l'intégrale par rapport à l'élément de
masse élémentaire et la dérivée par rapport au temps:
=
/
n
no
m
C
.
p
C .
Par propriété du centre de gravité G du système S :
/
d'où
=
n
no
.CD "
=
. CD
Le système étant toujours à masse conservative (pas de variation de masse au cours du temps):
/
et
=
.
CD "
n
no
, /
Par définition de la vitesse de G (avec O: point fixe du repère R) :
/
soit
=
.
, /
=
no
CD "
=
, /
n
nW
no
=0
(résultante cinétique pour un système à masse conservative)
=
k˄
.9
Moment cinétique en A d'un solide S par rapport à un référentiel R
Définition intégrale du moment cinétique :
, /
".
l
k, /
Relation de distribution des vitesses de Varignon pour le solide S :
, /
d'où
=
˄
, /
+
˄%
Par linéarité de l'intégrale et constance de
, /
Comme
, /
=m
=L
.
et
=m
p ˄
˄%
.
/
p ˄
, /
+
= L%
, /
+
/
˄
/
, /
˄
, /
+
˄%
/
en tout point de S:
˄%
".
/
, cette double opposition de signe permet d'écrire :
˄ %
/
˄
".
.
D'une part, la propriété du centre de gravité G du système S est:
D'autre part, la définition de l'opérateur d'inertie est : &
%
,
/
"=
˄(%
/
=
˄
. D,
).
on obtient
˄ ,/
, / =
, ! / " + $.
Opérateur d'inertie obtenu par produit matriciel
En effectuant le calcul de l'opérateur d'inertie à partir des coordonnées cartésiennes de AM, on montre que
l'opérateur d'inertie & , % / " peut être obtenu par le produit d'une matrice symétrique , avec le vecteur
/
]: soient %
/
= u. E + v. F + w. A , et
= E. E + F. F + A. A alors :
" = (E. E + F. F + A. A)˄ (u. E + v. F + w. A )˄(E. E + F. F + A. A) "
/ ˄
?
?
=(u. (F + A ) L v. E. F L w. E. A). / + (Lu. E. F + v. (E ? + A ? ) L w. F. A). H + Lu. E. A
˄ %
colonne [%
L v. F. A + w. (E ? + F ? )". x
L'intégrale étant une application linéaire, on en déduit l'expression de l'opérateur d'inertie pour %
&
%
,
/
"=(u.
(F + A
?
?)
L v.
E. F
+ yLu.
L w.
E. A
E. A L v.
). / + mLu.
F. A qui s'écrit plus simplement sous forme matricielle : *
,
& ,>
= {LI>J
LI>B
LI>J
& ,J
LIJB
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LI>B
LIJB|
& ,B
?
?
• (F + A )
~
=~ L
E. F ~
(>,J ,B)
E. A
} L
L
,
!
E. F
(E + A
L
?
+ w.
?)
F. A /
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E. F (E ? + F ?)
"+ =
L
L
,
+ v.
. *!
E. A F. A (E ? + F ?)
/
(E + A
z.x
?
?)
L w.
/
F. A :
p . H
+ en posant
‚
•
qui dépend de A, de S et de R.
•
•
€(>,J,B)
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Annexe 2: MATRICE D'INERTIE (à connaitre par cœur)
La matrice d'inertie d'un solide S dépend : du point A, du repère de projection ƒ„ = (C, E, y , A ) et du solide
S:
& ,> LI>J LI>B
LM LN
LI
&
LI
=
{
|
=
K
>J
,J
JB
LM
O LP R
,
LI>B LIJB & ,B
LN LP Q †
où
,/
=
(H:
De même &
,>
+ x:). 9
et &
,B
est le
†
moment d'inertie du solide S autour de l'axe (A,E).
sont les moments d'inertie du solide S autour respectivement des (A, F ) et (A,A ).
Les moments d'inertie s'expriment donc en kg.m².
‡Xˆ =
/. H . 9 est le produit
d'inertie par rapport au plan (
,E , F )
De même I>B et IJB sont les produits d'inertie du solide S par rapport res pectivement aux plans ( , E, A ) et ( , F , A).
Les produits d'inertie s'expriment en kg.m².
PROPRIETES A CONNAITRE :
Solide symétrique par rapport à un plan de normal z:
0
pour une symétrie de normale Š.
(produit d'inertie sur z ) =
Rs
Solide symétrique par rapport à 2 plans dont
les normales sont des vecteurs du repère de projection:
Rs
Diagonale si 2 plans de symétrie au moins.
Rs
Solide de révolution d'axe (O,z) :
Diagonale +
(moments d'inertie b axe) : égaux
•
Tube Masse m, rayon extérieur R et rayon intérieur r :
= Ž. •. •. (ƒ ? L ‘ ? )
‹=
(avec Ž : masse volumique du matériau en ’“/
.
: Υ:
:
Rs
r
Formule inattendue. En fait, la masse m est impactée par l'enlèvement de matière :
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”).
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Figures d'Armel Baguet
Rs