Probabilités continues Objectifs X Concevoir et exploiter une simulation dans le cadre d’une loi uniforme. X Interpréter l’espérance et l’écart type d’une loi uniforme dans le cadre d’un grand nombre de répétitions. X Exploiter une simulation dans le cadre de la loi exponentielle. X Représenter graphiquement la loi exponentielle. X Calculer une probabilité dans le cadre de la loi exponentielle. X Interpréter l’espérance et l’écart type d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. X Savoir déterminer les paramètres des lois de aX + b, X + Y et X − Y dans le cas où X et Y sont des variables aléatoires indépendantes. 1 – Variable aléatoire continue Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et à valeurs dans R. Concrètement, X peut désigner par exemple le diamètre d’une lentille, la longueur ou le poids d’un objet, la température en un point du globe, etc. En théorie au moins, X peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle de R : on dit que X est une variable aléatoire continue (par opposition au cas discret, où X ne prend par exemple que des valeurs isolées). Si X est une variable aléatoire continue, la probabilité que X soit exactement égale à un nombre réel a est nulle. pour tout a ∈ R , P( X = a) = 0. Ainsi, plutôt que de considérer les évènements élémentaires « X = a », on s’intéresse par conséquent aux évenèments « X ∈ [ a ; b ] » qui admettent (en général) une probabilité non-nulle. Si X désigne une variable aléatoire continue, on note : • P( X 6 a) la probabilité de l’évènement « X ∈] − ∞ ; a] » ; • P( X > a) la probabilité de l’évènement « X ∈ [ a ; +∞[ » ; • P( a 6 X 6 b) la probabilité de l’évènement « X ∈ [ a ; b] ». Du fait que P( X = a) = 0 pour tout a ∈ R, il n’y a pas lieu de distinguer les inégalités strictes des inégalités larges. Par exemple : P( X 6 a) = P( X < a) . Pour décrire une variable aléatoire continue, on utilise sa fonction de répartition. Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire : la fonction de répartition de X est la fonction F définie sur R par : F : t 7−→ P( X 6 t) . La connaissance de F détermine complètement la probabilité car : • P ( X 6 a) = F ( a) ; • P ( X > a) = 1 − F ( a) ; • P ( a 6 X 6 b) = F ( b) − F ( a) . TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris Densité de probabilité Si la fonction de répartition F d’une variable aléatoire continue est dérivable (et c’est en pratique souvent le cas), on appelle densité de probabilité de X la dérivée F ′ de F. Calcul fondamental Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue admettant une densité de probabilité f . Alors : Z b P( a 6 X 6 b) = a f (t)dt . Démonstration D’une part, P( a 6 X 6 b) = P( X 6 b) − P( X 6 a) = F (b) − F ( a). Par ailleurs, puisque F est une primitive de f , Z b a Ceci montre bien que P( a 6 X 6 b) = f (t)dt = [ F (t)] ba = F (b) − F ( a) . Z b a f (t)dt. Remarque La probabilité P( a 6 X 6 b) est donc l’aire du domaine délimité par les droites d’équations x = a et x = b, l’axe des abscisses et la courbe représentative de f . P( a 6 X 6 b) = Z b a f (t)dt t a b Propriétés Soit F la fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X et f sa densité de probabilité. • Comme F est croissante, f est positive. • On a : P ( X > a) = Z +∞ a f (t)dt et • Le « poids total » d’une densité est égal à 1 : Z +∞ −∞ P ( X 6 a) = Z a −∞ f (t)dt . f (t)dt = 1 . Z +∞ −∞ f (t)dt = 1 t TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 2 Lycée Fresnel - Paris 2 – Lien avec les statistiques La distribution des fréquences d’une variable statistique continue est représentée par un histogramme par classe : si l’on augmente indéfiniment le nombre d’observations tout en réduisant la largeur des classes, on obtient une courbe qui représente une densité de probabilité. 0,6 0,4 0,2 f 3 – Espérance, variance, écart type Définitions Soit X une variable aléatoire continue admettant une densité de probabilité f . Sous réserve que les intégrales écrites aient un sens, on définit comme dans le cas discret l’espérance, la variance et l’écart type de X. L’espérance de X, notée E( X ), vaut E( X ) = Z +∞ −∞ t f (t) dt . La variance de X, notée V ( X ), vaut V (X ) = Z +∞ −∞ (t − E( X ))2 f (t) dt . L’écart type de X, notée σ( X ) ou σ, est encore la racine carrée de la variance : q σ( X ) = V ( X ) . Propriétés Les propriétés déjà rencontrées de l’espérance, variance et écart-type sont encore valables (à condition que chacun des termes aient un sens) : • E( aX + b) = aE( X ) + b ; • E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) ; • V ( aX + b) = a2 V ( X ) ; • σ( aX + b) = | a| σ( X ) ; • si X et Y sont indépendantes, V ( X + Y ) = V ( X ) + V (Y ). TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 3 Lycée Fresnel - Paris 4 – Loi uniforme sur un intervalle Définition On dit qu’une variable aléatoire suit la loi uniforme sur l’intervalle [ a ; b] lorsque sa densité de probabilité f est donnée par : 1 b − a si a 6 t 6 b f (t) = 0 sinon Cette loi correspond à l’idée intuitive d’équiprobabilité sur l’intervalle [ a ; b] : la densité de probabilité est constante sur [ a ; b] et nulle en dehors. f ( t) 1 b−a b b f a t b Remarque La quantité 1 est un facteur de normalisation, n’ayant pour seule fonction que de garantir la condition b−a Z +∞ −∞ En effet : Z +∞ −∞ f (t)dt = Z b a f (t)dt = Z b a f (t)dt = 1 . b 1 t b a = dt = − = 1. b−a b−a a b−a b−a Propriétés Si X suit la loi uniforme sur [ a ; b], alors : E(X ) = a+b 2 et V (X ) = ( b − a )2 . 12 Démonstration En remarquant que f est nulle en dehors de l’intervalle [ a , b ] : E( X ) V (X ) = = Z b = " " # # a−b 3 1 b−a 3 a+b 3 1 a+b 3 1 1 − − = b− a− b−a 3 2 3 2 3( b − a ) 2 2 = 1 ( b − a )3 − ( a − b )3 2( b − a ) 3 ( b − a )2 × = = . 3( b − a ) 8 24(b − a) 12 a a t f (t) dt = Z b 2 b 1 1 (b − a)(b + a) a+b t b 2 − a2 t· . dt = = = = b−a b−a 2 a ( b − a) × 2 2( b − a ) 2 Z b a 2 (t − E( X )) f (t) dt = TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 Z b a a+b t− 2 2 1 1 · dt = b−a b−a 4 " #b 1 a+b 3 t− 3 2 a Lycée Fresnel - Paris 5 – Loi exponentielle Définition Soit λ ∈]0 ; +∞[. On dit qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ lorsque sa densité de probabilité f est donnée par : f (t) = f ( t) λ λe−λt si t>0 0 sinon b t Cette loi permet souvent de modéliser la durée de vie d’un objet. On vérifie que Z +∞ −∞ f (t)dt = Z +∞ 0 λe − λt h dt = −e − λt i +∞ 0 = lim −e t→+ ∞ − λt − (−1) = 1. Rôle du paramètre λ On a représenté sur le graphique ci-dessous les fonctions de densité de la loi exponentielle pour plusieurs valeurs du paramètre λ. f ( t) λ=4 4 b 3 λ=2 2 b 1 b λ=1 λ = 0, 5 b t 1 TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 2 5 3 4 Lycée Fresnel - Paris Propriétés Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors son espérance et sa variance valent : E(X ) = 1 λ et V (X ) = On peut remarquer que l’écart-type de X vaut σ( X ) = Démonstration Calcul de l’espérance E( X ) = Z +∞ −∞ t f (t)dt = 1 . λ2 1 . λ Z +∞ 0 tλe−λt dt . On effectue une intégration par parties en posant u′ (t) = λe−λt , v(t) = t. On a alors u(t) = −e−λt et v(t) = 1, de sorte que E( X ) = Z +∞ 0 h i +∞ Z u′ (t)v(t)dt = u(t)v(t) − 0 +∞ h i +∞ Z u(t)v′ (t)dt = −e−λt t − 0 0 Comme lim e−λt t = 0 et e−λ×0 × 0 = 0, il reste : +∞ 0 −e−λt dt . t→+ ∞ E( X ) = Z +∞ 0 e − λt e−λt dt = −λ +∞ = 0 e−λt lim t→+ ∞ − λ − 1 1 = . −λ λ Calcul de la variance V (X ) = Z +∞ −∞ 2 (t − E( X )) f (t)dt = Z +∞ 0 1 t− λ On procède également en intégrant par parties et l’on trouve V ( X ) = 2 λe−λt dt . 1 (cf. exercices). λ2 Interprétation graphique de l’espérance Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, son espérance (qui représente la durée de vie moyenne si X modélise une durée de vie) est l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente à l’origine à la courbe représentative de la fonction de densité. f ( t) λ b E( X ) = 1 λ t b TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 6 Lycée Fresnel - Paris Exercices Exercice 1 On choisit « un nombre au hasard » entre 0 et 1. 1. Quelle est la probabilité que ce nombre soit compris entre 0, 3 et 0, 4 ? 2. De même, quelle est la probabilité que ce nombre soit compris entre 0, 707 et 0, 708 ? entre 0, 5 et 0, 5001 ? 3. Que dire de la probabilité que ce nombre soit exactement égal à √ 2 2 ≈ 0, 7071067811865475244008443621 . . . ? Exercice 2 On suppose que X est un variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [12 ; 24]. Calculer les probabilités suivantes : a) P(12 6 X 6 18) b) P(12 6 X 6 15) c) P(12 6 X 6 14) d) P(17 6 X 6 19) e) P(21 6 X 6 23) f) P( X > 20) g) P( X 6 15) h) P( X 6 25) i) P( X > 24) Exercice 3 Comment simuler une loi uniforme sur un intervalle [ a ; b] à l’aide de la calculatrice ? Exercice 4 On choisit « deux nombres au hasard » entre 0 et 1. On appelle S leur somme. Expliquer pourquoi la probabilité que S soit compris entre 0, 9 et 1, 1 est supérieure à la probabilité que S soit compris entre 0 et 0, 2. La variable aléatoire S suit-elle une loi uniforme ? Exercice 5 X est une variable aléatoire qui suit une loi dont la densité est donnée par la fonction 2t si t ∈ [0 ; 1] f ( t) = . 0 sinon 1. Représenter la fonction f dans un repère orthonormé. 2. Montrer que P( X > 0, 5) est trois fois plus grand que P( X 6 0, 5). 3. Calculer l’espérance de X en utilisant la définition : E( X ) = Exercice 6 Z +∞ −∞ t f (t) dt. On suppose que X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]. 1 si t ∈ [0 ; 1] Sa densité est donc la fonction f telle que f (t) = . 0 sinon Calculer l’espérance et l’écart-type de X en utilisant les définitions : E( X ) = Z +∞ −∞ t f (t) dt TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 V (X ) = Z +∞ −∞ 2 (t − E( X )) f (t) dt 7 σ( X ) = q V (X ) . Lycée Fresnel - Paris Exercice 7 Un livreur a promis de passer chez un client entre 10h et 11h. On suppose que la probabilité de son passage est uniformément répartie. 1. Quelle est la probabilité qu’il arrive avant 10h10min ? 2. Quelle est la probabilité qu’il arrive entre 10h20 min et 10h40min ? 3. Sachant que le client a attendu le livreur 15 minutes, quelle est la probabilité qu’il arrive dans les dix prochaines minutes ? Exercice 8 On considère trois variables aléatoires X, Y, Z telles que : • X suit la loi uniforme sur l’intervalle [ a ; b] ; • Y suit la loi uniforme sur l’intervalle [ a − 1 ; b] ; • X suit la loi uniforme sur l’intervalle [ a − 1 ; b + 1]. 1. Classer dans l’ordre croissant les espérances de X, Y et Z. 2. Classer dans l’ordre croissant les écarts-type de X, Y et Z. Exercice 9 X est une variable aléatoire qui suit une loi dont la densité de probabilité est donnée par la fonction π sin π t si t ∈ [0 ; 2] 2 f ( t) = 4 . 0 sinon f ( t) 0,5 t −0,5 0,5 1,0 1,5 1. (a) Sans calcul, prévoir les valeurs de P(0 6 X 6 2) et de P(0 6 X 6 1). (b) Vérifier ces conjectures par le calcul. 2. (a) Comparer graphiquement P(0 6 X 6 0, 5) et P(0, 5 6 X 6 1). 1 (b) Montrer que P(0, 5 6 X 6 1) = √ et calculer P(0 6 X 6 0, 5). 2 2 2,0 Exercice 10 On suppose que X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 2. Déterminer : a) l’espérance E( X ) de X ; b) la probabilité que X soit inférieure à son espérance ; c) P(1 6 X 6 2) ; d) P( X > 2). TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 8 Lycée Fresnel - Paris Exercice 11 La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0, 01. Est-il vrai qu’il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute ? Exercice 12 X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Déterminer la valeur du réel λ telle que la probabilité P(1 6 X 6 2) soit égale à 41 . Exercice 13 On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité P de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est P([0 ; t[) = Z t 0 λe−λx dx. Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser P([0 ; 200[) = 0, 5. ln 2 . 200 2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près. 1. Montrer que λ = 3. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +∞ de Z A 0 λxe−λx dx. −λAe−λA − e−λA + 1 λ 0 (b) En déduire dm . On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près. (a) Montrer que Z A λxe−λx dx = Exercice 14 Démontrer que, si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors son espérance est l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente à l’origine à la courbe représentative de la fonction de densité. TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 9 Lycée Fresnel - Paris