Algèbre vectorielle - Collège de Maisonneuve

Collège de Maisonneuve 1 Mathématiques-401
Statut provincial: 201-401 pondération: 3-2-3
bloc ministériel préalable: 064-536
Algèbre vectorielle
L’objet et la place du cours dans le programme
Le cours Algèbre vectorielle (MAT 401) s’adresse spécifiquement aux étudiants de Technique en Génie
Électrique (T.G.É.) qui ont choisi l’option Technologie de conception en électronique (243,16).
Normalement, ce cours de mathématiques se donne à la troisième session et l’étudiant qui s’y inscrit a
préalablement suivi et réussi les cours Modèles mathématiques I (MAT 171) et Modèles mathématiques II
(MAT 271).
Après une introduction au calcul différentiel et intégral, lors de sa première année d’étude, l’étudiant, dans le
cours MAT 401, sera initié à une nouvelle branche des mathématiques post secondaires, celle de l’algèbre
linéaire, où les notions de base qui y sont présentées permettent de traiter la géométrie vectorielle dans le
plan et dans l’espace. Les notions étudiées pendant ce cours ont des applications diverses dans les domaines
scientifiques. L’étudiant pourra ainsi appliquer ses connaissances dans le domaine des techniques du génie
électrique,
Dans ce cours, l’étudiant sera appelé à résoudre des problèmes associés aux concepts de vecteur, d’espace
vectoriel, de produit scalaire, de produit vectoriel, de matrice, de déterminant, de système d’équations
linéaires. Il développera une habileté à visualiser dans l’espace ainsi qu’une compétence à utiliser les outils
vectoriels dans le contexte de la géométrie analytique du plan et de l’espace.
Par ailleurs, l’étudiant poursuivra le développement de sa capacité à présenter sa démarche mathéamtique de
façon rigoureuse et des habiletés de résolution de problèmes. Des efforts seront consentis de façon à
développer chez lui l’habitude du travail méthodique.
Les objectifs généraux du cours
1. Les connaissances: l’étudiant doit
1.1 connaître et savoir appliquer divers algorithmes de résolution de systèmes d’équations linéaires
(méthodes de Cramer, de la matrice inverse, de Gauss), connaître la structure d’un espace vectoriel,
savoir modéliser divers problèmes à l’aide de l’algèbre linéaire ou de la géométrie vectorielle
(systèmes de référence dans l’espace, indépendance linéaire, base et dimension, droite et plan dans
l’espace);
1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions
relatives à la géométrie analytique du plan ou de l’espace et aux concepts de matrice, de déterminant
de vecteur et d’espace vectoriel;
1.3 connaître les quatre phases de résolution de problèmes (au sens de Polya);
1.4 connaître et savoir utiliser diverses stratégies de résolution de problèmes relevant de l’algèbre linéaire
et de la géométrie vectorielle;
2. Les habiletés: l’étudiant doit pouvoir
2.1 lire et interpréter correctement un texte, un énoncé de problème ou une solution de problème relatifs
à l’algèbre linéaire ou à la géométrie vectorielle et reconnaître la validité d’une démarche de
résolution;
2.2 visualiser dans l’espace et dessiner une représentation géométrique d’un point, d’un vecteur, d’une
droite et d’un plan de l’espace;
2.3 interpréter correctement une représentation graphique;
2.4 identifier les données et la condition(ou les hypothèses) d’un problème théorique ou pratique, ainsi
que l’inconnue(ou la conclusion); résoudre le problème en appliquant une ou des stratégies de
résolution de problème développée dans le cours; porter un jugement critique sur un résultat obtenu;

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2.5 appliquer des algorithmes aux opérations sur les matrices et les vecteurs, au calcul d’un déterminant
et à la résolution d’un système d’équations linéaires;
2.6 rédiger une solution d’un problème théorique ou pratique selon un déroulement logique, clair et
complet, dans un français convenable, tout en employant correctement le vocabulaire et la notation
utilisés en algèbre linéaire et en géométrie vectorielle;
2.7 utiliser efficacement et avec un sens critique les outils technologiques(particulièrement le calculateur)
à des fins d’exploration ou de résolutions de problèmes d’algèbre linéaire et de géométrie vectorielle;
2.8 relier les aspects géométriques, symboliques et numériques du cours;
2.9 établir des liens avec les différents cours du programme.
3. Les attitudes: ce cours doit amener l’étudiant à
3.1 développer sa créativité et sa curiosité intellectuelle;
3.2 mieux comprendre son propre processus d’apprentissage et à se responsabiliser face à celui-ci;
3.3 développer sa capacité de collaborer avec autrui;
3.4 développer sa rigueur intellectuelle et son souci d’être clair, précis, ordonné et systématique;
3.5 accepter d’être confronté à des problèmes dont la solution n’est pas immédiate;
3.6 augmenter sa confiance face aux mathématiques et se valoriser dans l’effort et le travail bien fait;
3.7 développer son initiative en utilisant ses connaissances mathématiques dans les différents cours du
programme, notamment par des applications vectorielles en électrotechnique;
Les objectifs spécifiques (le contenu)
Remarques: Les éléments marqués d’une étoile sont des éléments d’enrichissement qui ne seront pas
évalués dans la partie commune de l’examen récapitulatif et de synthèse du cours.
Des notes historiques seront présentées au moment approprié tout au long du cours.
Matrice, déterminant et système d’équations linéaires (20 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Matrice •donner la définition d’une matrice, identifier ses éléments (terme général aij),
déterminer ses dimensions
•définir et utiliser l’égalité de deux matrices
•effectuer les opérations (addition et soustraction, multiplication par un scalaire,
produit matriciel), énoncer et démontrer les principales propriétés de ces
opérations
•identifier différents types de matrices (matrice-ligne, matrice-colonne, matrice
carrée et sa diagonale principale, matrice nulle, matrice identité, matrice
inverse, matrice triangulaire, matrice diagonale, matrice transposée, matrice
symétrique et matrice antisymétrique), utiliser et démontrer leurs principales
propriétés
Déterminant •évaluer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n suivant une ligne ou une
colonne
•évaluer le mineur et le cofacteur d’un élément aij
•énoncer les principales propriétés d’un déterminant et les utiliser
•identifier une matrice singulière et une matrice régulière (matrice inversible)
•trouver la matrice des cofacteurs et la matrice adjointe d’une matrice carrée
•trouver la matrice inverse d’une matrice carrée par la méthode des cofacteurs et
démontrer ses principales propriétés
•évaluer un déterminant par la méthode du pivot (*)
•évaluer un déterminant d’ordre 3 par la règle de Sarrus (*)

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Système d’équations
linéaires •définir et trouver des matrices équivalentes à une matrice donnée (opérations élémentaires sur les lignes)
•transformer une matrice en une matrice-échelon ou matrice-échelon réduite
équivalentes
•définir et trouver le rang d’une matrice
•identifier un système linéaire, deux systèmes équivalents, un système
homogène
Système d’équations
linéaires (suite) •écrire un système linéaire sous sa forme matricielle (matrices des coefficients, des inconnues, des constantes)
•écrire la matrice augmentée d’un système linéaire et trouver une matrice-échelon
ou la matrice-échelon réduite équivalentes
•résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss ou de Gauss-Jordan
(système incohérent et système cohérent avec une solution unique ou une
infinité de solutions)
•résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer
•trouver l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan
•résoudre un système linéaire par la méthode de la matrice inverse
•résoudre un système linéaire par la méthode du pivot (*)
Espace vectoriel (25 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Vecteur algébrique •définir un vecteur algébrique (n-uple) et identifier ses composantes
•définir l’égalité de deux vecteurs algébriques
•effectuer les opérations sur deux vecteurs algébriques (addition, soustraction,
multiplication par un scalaire) et en démontrer les principales propriétés
Vecteur géométrique •donner les caractéristiques d’un vecteur géométrique (direction, sens, longueur)
•représenter un vecteur géométrique (origine, extrémité, support, longueur)
•identifier un vecteur nul, deux vecteurs de sens opposé
•déterminer l’équipollence (égalité) de deux vecteurs géométriques
•additionner deux vecteurs géométriques (méthode du triangle, méthode du
parallélogramme et relation de Chasles), multiplier un vecteur géométrique par
un scalaire et vérifier les principales propriétés de ces opérations
•identifier deux vecteurs parallèles
•résoudre des problèmes de géométrie euclidienne par une approche vectorielle

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Espace vectoriel •donner la définition d’un espace vectoriel, des opérations et des propriétés qui
définissent cette structure algébrique
•identifier certains espaces vectoriels (matrices, vecteurs algébriques, vecteurs
géométriques, polynômes, nombres complexes)
•démontrer qu’un ensemble donné forme un espace vectoriel ou montrer, à l’aide
d’un contre-exemple, qu’il n’a pas la structure d’un espace vectoriel
•démontrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel est un sous-espace
vectoriel
•établir une correspondance (isomorphisme) entre un vecteur algébrique et un
vecteur géométrique d’un plan et de l’espace (en utilisant un repère cartésien ou
orthonormé)
•évaluer la longueur d’un vecteur
•trouver un vecteur unitaire dans une direction donnée
•définir une combinaison linéaire de vecteurs
•vérifier si un vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs donnés
•donner la définition de l’indépendance et de la dépendance linéaire et démontrer
que des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants
•définir une base d’un espace vectoriel ou d’un sous-espace vectoriel (base
orthonormée), démontrer qu’un ensemble de vecteurs forme une base et donner
les composantes d’un vecteur dans une base donnée
•donner la dimension d’un espace vectoriel ou d’un sous-espace vectoriel
•interpréter géométriquement les notions d’indépendance linéaire, de base et de
dimension et les propositions s’y rapportant, pour des vecteurs du plan et de
l’espace (colinéarité, coplanarité, sous-espace engendré, générateur)

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Produits de vecteurs (10 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Produit scalaire •donner la définition du produit scalaire de deux vecteurs
•évaluer un produit scalaire
•énoncer et démontrer les principales propriétés du produit scalaire
•interpréter géométriquement le produit scalaire (projection, angle entre deux
vecteurs)
•évaluer l’angle entre deux vecteurs
•interpréter un produit scalaire nul (vecteurs orthogonaux)
•résoudre des problèmes de géométrie utilisant le produit scalaire
Produit vectoriel •donner la définition du produit vectoriel de deux vecteurs
•évaluer un produit vectoriel
•énoncer et démontrer les principales propriétés d’un produit vectoriel
•interpréter géométriquement le produit vectoriel de deux vecteurs linéairement
indépendants (vecteur perpendiculaire à un plan engendré par ces deux vecteurs)
•interpréter un produit vectoriel nul (vecteurs dépendants ou parallèles)
•évaluer l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle construit sur deux vecteurs
•résoudre des problèmes de géométrie utilisant le produit vectoriel
Produit mixte •donner la définition du produit mixte de trois vecteurs
•évaluer un produit mixte
•énoncer et démontrer les principales propriétés d’un produit mixte
•interpréter géométriquement le produit mixte de trois vecteurs linéairement
indépendants (volume d’un parallélépipède construit sur ces trois vecteurs)
•interpréter un produit mixte nul (trois vecteurs coplanaires ou dépendants )
•évaluer le volume d’un prisme triangulaire
•évaluer le volume d’un tétraèdre (*)
•résoudre des problèmes de géométrie utilisant le produit mixte
Droite et plan dans l’espace (20 périodes)
L’étudiant doit pouvoir...
Droite •écrire les équations vectorielle, paramétriques et symétriques d’une droite
•trouver des points d’une droite et vérifier si un point appartient à une droite
•identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à une droite
•établir les équations d’une droite déterminée par deux points ou par un point et
un vecteur directeur
•étudier la position relative de deux droites (parallèles, concourantes,
perpendiculaires, gauches)
•évaluer l’angle entre deux droites
•évaluer les angles directeurs d’une droite (*)
•trouver l’intersection de deux droites
•calculer la distance d’un point à une droite, entre deux droites parallèles, entre
deux droites gauches
•trouver le point d’une droite le plus rapproché d’un point donné de l’espace
•trouver les points de deux droites gauches les plus rapprochés l’un de l’autre (*)
•établir les équations d’une famille de droites parallèles (*)
•établir les équations d’un faisceau de droites (*)
•établir les équations des droites bissectrices (*)
Plan •écrire les équations vectorielle, paramétriques et linéaire d’un plan
•trouver des points d’un plan et vérifier si un point appartient à un plan
•identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à un plan
•établir les équations d’un plan défini par trois points, par un point et un vecteur
normal au plan, par un point et deux vecteurs qui engendrent un plan
•étudier la position relative de deux plans (parallèles, sécants, perpendiculaires)