Feuille d`exercices 2 : corrigé

M2NA
Année 2016/2017
Feuille d'exercices 2 : corrigé
Exercice 1 (Paris 2008).
a) D'après l'énoncé, on a 57 148 468 = 17 × 3 361 674 + 10, avec 0 6 10 < 17.
Donc c'est la division euclidienne de 57 148 468 par 17. Le quotient est
3 361 674 et le reste est 10.
b) D'après l'énoncé, on a 1 :
84 279 736 = 17 × 4 957 630 + 26.
On écrit maintenant 26 = 17 + 9, d'où
84 279 736 = 17 × 4 957 630 + 17 + 9 = 17 × 4 957 631 + 9.
Comme 0 6 9 < 17, la dernière égalité ci-dessus est la division euclidienne
de 84 279 736 par 17. Donc le quotient est 4 957 631 et le reste est 9.
c) Notons A = 57 148 468 et B = 84 279 736.
D'après a) et b), on a
A + B = 17 × 3 361 674 + 10 + 17 × 4 957 631 + 9
= 17 × (3 361 674 + 4 957 631) + 19
= 17 × 8 319 305 + 17 + 2
= 17 × 8 319 306 + 2.
Comme 2 < 17, on en déduit que le quotient et le reste de la division euclidienne de A + B par 17 sont respectivement 8 319 306 et 2.
On a d'autre part :
2A = 2 × (17 × 3 361 674 + 10)
= 17 × (2 × 3 361 674) + 20
= 17 × 6 723 348 + 20
= 17 × 6 723 349 + 3.
Comme 3 < 17, le quotient et le reste de la division euclidienne de 2A par
17 sont respectivement 6 723 349 et 3.
Exercice 2.
a) On a par exemple : 672 − 662 − 652 + 642 = 4.
On peut émettre la conjecture suivante :
Si
n, n − 1, n − 2
et
n−3
sont quatre entiers naturels consécutifs, alors
n2 − (n − 1)2 − (n − 2)2 + (n − 3)2 = 4.
Remarque : comme 26 > 17, ce n'est pas la division euclidienne par 17, et 26 n'est
pas le reste.
1.
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b) Soient n, n − 1, n − 2 et n − 3 quatre entiers naturels consécutifs. On a :
n2 − (n − 1)2 − (n − 2)2 + (n − 3)2
= n2 − (n2 − 2n + 1) − (n2 − 4n + 4) + (n2 − 6n + 9)
= n2 − n2 + 2n − 1 − n2 + 4n − 4 + n2 − 6n + 9
= 4.
Donc la conjecture est vraie.
Exercice 3. Soient 2n et 2n + 2 deux entiers pairs consécutifs (où n ∈ N).
Leur produit est égal à
2n × (2n + 2) = 2n × 2(n + 1) = 4n(n + 1).
On constate maintenant que le produit n(n + 1) est toujours un entier pair :
en eet, ou bien n est pair, et alors le produit n(n + 1) est bien un entier
pair ; ou bien n est impair, et alors n + 1 est pair, et donc le produit n(n + 1)
est un entier pair.
Le produit n(n + 1) est donc toujours un entier pair, donc n(n + 1) = 2 × k
(pour un certain entier k). On en conclut que 4n(n + 1) = 4 × 2 × k = 8k,
donc divisible par 8. L'assertion est vraie.
Exercice 4.
NB : Ici le nombre
164 330 258 643
est trop grand pour pouvoir le décomposer
en produit de facteurs premiers, l'idée est donc d'étudier les diviseurs de 18
et de voir quel est le plus grand qui soit aussi un diviseur de
164 330 258 643.
Le nombre 18 admet comme diviseurs les nombres 1, 2, 3, 6, 9 et 18 2 . Le
nombre 164 330 258 643 est divisible par 9 (car la somme de ses chires vaut
45 qui est divisible par 9) mais il n'est pas divisible par 18 = 2 × 9, car il
n'est pas divisible par 2 (il est impair). Donc le pgcd de 18 et 164 330 258 643
est égal à 9.
Exercice 5 (Groupement 2 - 2014).
1. Soit N le nombre de bonbons. On sait que N − 1 est inférieur à 99, et que
ce nombre est divisible par 2, 3, 4, 5 et 6. Le nombre N − 1 est en particulier
divisible par 2 et par 5, donc par 10 = 2 × 5 (car 2 et 5 sont premiers entre
eux). Donc on a pour N − 1 les possibilités suivantes : 10, 20, 30, 40, 50, 60,
70, 80, 90. Comme N − 1 est aussi divisible par 4 et par 6, il ne reste que
60 dans la liste ci-dessus. Donc N − 1 = 60 et N = 61. Ainsi, Emma a 61
bonbons.
Remarque : on pouvait aller plus vite en remarquant par exemple que
N −1
est divisible par 5 et par 4, donc par 20 (car 4 et 5 sont premiers entre eux).
Et comme
N −1
est divisible aussi par 3, il est divisible par
20 × 3 = 60
(car
On peut utiliser l'arbre des diviseurs, ou bien car le nombre est petit tester
tous les nombres mentalement un par un : 1, 2, 3, 4, 5, etc.
2.
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20 et 3 sont premiers entre eux). On pouvait aussi dire que comme
N −1
est multiple de 2, 3, 4, 5 et 6, c'est un multiple du ppcm de ces nombres ;
N − 1 est
N = 61.
comme le ppcm de 2, 3, 4, 5 et 6 est égal à 60,
Cela donne tout de suite
N − 1 = 60
et donc
un multiple de 60.
2. a) La formule =MOD(A2 ;B$1) pourrait être utilisée. En eet, le dollar va
empêcher que le 1 soit modié en étendant la cellule B2 vers le bas (autrement
dit dans les cellules B2, B3, B4, etc. on aura toujours la même valeur (2)
pour le diviseur de la fonction MOD). Le nombre A2 de la fonction MOD,lui,
va devenir A3, A4, etc.
Remarque : la formule =MOD(A2 ;2) pourrait aussi être utilisée.
b) Jules n'aura qu'à rechercher les lignes où il n'y a que des 1 sur la ligne. Il
trouvera une seule ligne, la ligne 62. Dans la colonne A (ici A62) sera inscrit
le nombre de bonbons : 61.
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