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Cogitos : Lois usuelles en probabilités
Cogito 1) a) Soit ( ; A; P ) un espace muni de n variables aléatoires indépendantes X1 ; :::; Xn de même loi de
P
Bernoulli de paramètre 0 < p < 1. Donner la loi de S = ni=1 Xi :
b) Soit ( ; A; P ) un espace de probabilité muni de X et Y variables aléatoires indépendantes de lois binomiales de
paramètres (m; p) et (n; p), pour deux entiers m et n 2 N et un réel p 2]0; 1[:
Montrer que X + Y suit une loi binomiale de paramètres (m + n; p).
Cogito 2) Soient X ,! B(n; p) et Y ,! B(m; p) deux v.a.r. indépendantes suivant des lois binomiales.
Soit k 2 [[1; n + m]] Déterminer la loi conditionnelle de X sachant que X + Y = k.
Cogito 3) Soit 0 < p < 1, q = 1
p, et X, Y deux v.a.r. discrètes indépendantes suivant la loi géométrique de
paramètre p, c’est-à-dire P (X > k) = q k pour tout k 2 N. Calculer P (X = Y ) et P (X > 2Y ):
Cogito 4) Soient p un entier naturel non nul, et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. A un péage d’autoroute
comportant n guichets, np voitures se présentent. Chaque conducteur choisit un guichet au hasard, de manière
équiprobable. Les choix des automobilistes sont supposés indépendants entre eux. On note Xi le nombre de voitures
passées par le guichet numéro i.
a) Que vaut Y = X1 + X2 + ::: + Xn ? Préciser l’espérance et la variance de Y .
b) Déterminer la loi de Xi , et en déduire la variance v et l’espérance de la variable aléatoire Xi :
P
Remarque : Noter que Xi = np
j=1 1Yj =i , où Yj est la variable donnant le numéro du guichet de la j-ième voiture.
c) Calculer le coe¢ cient de corrélation linéaire r de Xi et Xj , pour i 6= j: On rappelle que r =
Indication : Noter que V (Y ) = nv + n(n
Cov(Xi ;Xj )
(Xi ) (Xj ) :
1)c, où c = Cov(Xi ; Xj ): Or, on a V (Y ) = 0: D’où r =
c
=
v
1
n
1
:
Cogito 5) Le nombre de clients qui se présentent à la caisse d’un supermarché est modélisé par une loi de Poisson
associé à un taux moyen d’arrivée de 2 clients par minute. Quelle est la probabilité r qu’aucun client ne se présente
à la caisse dans un intervalle de deux minutes ?
Solution : Considérons la variable aléatoire X à valeurs entières donnant le nombre de clients se présentant à la
k
caisse dans un intervalle d’une minute. On a donc P (X = n) = e
, avec = 2:
k!
On sait par le cours que le nombre Y de clients arrivés par tranches de deux minutes suit une loi de Poisson de
paramètre 2 (car il s’écrit sous la forme de deux lois de Poisson de paramètre ). Donc r = P (Y = 0) = e
2
Cogito 6) Loi géométrique du temps d’attente dans un processus de Poisson
Considérons une variable de comptage X qui suit une loi de Poisson P( ).
Ainsi, X représente le nombre de tops par unité de temps pour un ‡ux moyen de
tops par unité de temps.
Notons Sn le nombre de tops entre les instants 0 et n. On prend S0 = 0:
a) Expliciter P (X = 0):
b) Notons Y le temps d’attente avant le premier top. Autrement dit, Y = minfn 2 N j Sn > 0g:
Déterminer P (Y > n) et l’espérance E(Y ).
c) Pour tout p 2 N, on pose Yp = minfn 2 N j Sn+p > Sp g: Déterminer sans calcul E(Yp ):
Solution :
b) Par la propriété caractéristique des lois de Poisson, Sn suit une loi de Poisson P(n ).
( n)k
Ainsi, P (Sn = k) = e n
: D’où P (Sn = 0) = e n .
( n)!
=e
4:
Donc 8n 2 N , P (Y > n) = P (Sn = 0) = e
n
c) Sn+p
P+1
1
:
1 e
Sn représente le nombre de tops entre les instants p et n + p. Il suit aussi une loi de Poisson P(n ):
Autrement dit, Y suit une loi géométrique de paramètre p = 1
e
: Donc E(Y ) =
n=0 P (Y
> n) =
Donc E(Yp ) = E(Y ):
Cogito 7) Longueur moyenne commune à des mots écrits en base b
On considère des mots in…nis u = (un )n2N 2 f0; 1; :::; b
2.
1gN . On pose r = 1b :
Chaque un est indépendants des autres et choisi dans f0; 1; :::; b
1g selon la loi uniforme.
Etant donné deux mots u et v, on considère la variable aléatoire X(u; v) = maxfn 2 N j 8k
n, uk = vk g.
1
.
a) Déterminer la loi de X et en déduire sa fonction génératrice GX , et montrer que E(X) =
b 1
b) Soit m 2 N . On considère des mots u et v1 ; :::; vm . On considère Xm (u; v1 ; :::; vm ) = max1 i m X(u; vi ):
On suppose que (u; v1 ; :::; vm ) sont des mots aléatoires mutuellement indépendants.
2b + 1
2
1
Donner une expression de E(Xm ) à l’aide d’une série. Puis calculer E(X2 ) = 2
=
.
2
b
1
b 1 b
1
1 r
(loi géométrique).
Solution : a) P (X n) = rn , donc P (X = n) = rn (1 r), et GX (z) =
1 rz
r
1
Donc E(X) = G0X (1) =
=
:
1 r
b 1
P
(1 rn+1 )m ):
b) P (Xm n) = P (X1 n)m = (1 rn+1 )m , donc E(Xm ) = +1
n=0 (1
P+1 2n+2
P
r2
2r + r2
2r
n+1
=
:
r
=
2r
Pour m = 2, on obtient E(X2 ) = +1
n=0
n=0
1 r 1 r2
1 r2
Cogito 8) On considère Sn = X1 + ::: + Xn , où Xn sont des v.a. i.i.d. suivant une loi de Bernoulli B(m) avec m = 21 .
2
Sn
1
On considère 0 a < b 1: Montrer que P
, où 2 =
m
n
4
n 2
Sn
Préciser la valeur de L(a; b) = limn!+1 P a
b lorsque n tend vers +1:
n
!
2
V (Sn )
Sn
E((Sn =n m)2
2
1
Solution : La moyenne des Xi est m = 2 : On a P
= 2 2 :
m
)
2
n
n
1
Sn
1
: Donc P
m2
= [a; b]
:
4
n
4n"2
Donc par encadrement et par symétrie, on obtient : si m 2]a; b[, L = 1 ; si m 2 [a; b], L = 0 ; si m 2 fa; bg, L = 21 .
Or, V (Sn ) = n
2,
où
2
est la variance des Xi , c’est-à-dire de
Cogito 9) Temps d’apparition dans un processus stochastique.
Soit (Xn )n2N une suite de v.a. identiquement distribuées. On suppose r = P (Xn = a) > 0:
On note T = inffn 2 N j Xn = ag:
b) On suppose le processus Markovien : Les P (Xn = x j Xn
1
P+1
1
> n) = :
r
= y) sont indépendants de (X0 ; :::; Xn
a) On suppose les Xn mutuellement indépendants. Montrer que E(T ) =
n=0 P (T
2 ).
On suppose aussi que 8n 2 N , P (Xn = a j Xn 1 = a) = s: On pose = P (Xn = a j Xn 1 6= a):
r(1 s)
1
Montrer que =
, puis montrer que E(T ) = .
1 r
Remarque : En particulier, lorsque Xn et Xn 1 sont indépendantes, alors s = r, ce qui redonne bien a).
Solution :
a) P (T > n) = (1
r)n , donc E(T ) =
b) On a P (Xn = a) = P (Xn = a j Xn
Donc r = sr + (1
r), d’où
= r(1
On a P (T > n) = P (Xn 6= a j T > n
P+1
1
r)n = :
r
= a)P (Xn 1 = a) + P (Xn = a j Xn
n=0 (1
1
s)=(1
1
6= a)P (Xn
1
6= a):
r):
1)P (T > n
1), donc P (T > n) = (1
)n et E(T ) =
1
: