Équations différentielles d’ordre 2 Fiche n◦ 18 (S18-7b) Exercice 1 (Équation du type y ′′ + ωy = 0) 4. L’équation différentielle y ′′ + 4y = 0 admet pour solution la fonction f définie, pour tout réel x, par : π π b. f (x) = 5 sin 2x + a. f (x) = 2 sin x + π 3 π2 d. f (x) = sin 4x + c. f (x) = 4 sin x + 4 2 Résoudre les équations différentielles suivantes dans lesquelles y est une fonction de la variable t définie et deux fois dérivable sur R 1. y ′′ + 16y = 0 3. 4y ′′ = −25y 2. 25y ′′ + y = 0 4. 169y + 4y ′′ = 0 5. La solution f de l’équation différentielle y ′′ + 4π 2 y = 0 qui vérifie f (0) = −1 et f ′ (0) = 0 admet comme représentation graphique : a. b. Exercice 2 (Équations du type y + ωy = 0 avec conditions initiales) ′′ 1. Résoudre l’équation différentielle 9y ′′ + y = 0. 2. Déterminer la solution particulière f vérifiant les deux conditions √ 3π f (0) = − 3 et f = 1. 2 x 5π . − 3. Montrer que pour tout x de R : f (x) = 2 cos 3 6 4. Résoudre dans R l’équation f (x) = 0. 1 −2 −2 2 d. f (x) = e3x − 0 1 0 1 −1 1 0 −1 1 −2 −1 −1 7. On considère l’équation différentielle y ′′ + 9y = 0, où y désigne une fonction deux fois dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x : a. f (x) = 4e9x b. f (x) = −0, 2e−9x c. f (x) = 7 cos(9x) − 0, 2 sin(9x) d. f (x) = 0, 7 sin(3x) 2 3 8. On considère l’équation différentielle y ′ + 7y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur l’ensemble des réels. La solution f de cette équation telle que f (0) = 9 est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x : a. f (x) = 9e7x b. f (x) = 9e−7x 7x c. f (x) = −9e d. f (x) = −9e−7x π 3. f est définie par : f (t) = 3 cos 5t − est solution de 2 ′ ′′ a. y + 3y = 0 b. y + 25y = 0 c. y ′′ − 5y = 0 N. DAVAL −1 6. Les solutions de l’équation y ′ − 2y = 0 sont les fonctions du type : a. x 7→ ke2x , k ∈ R b. x 7→ ke−2x , k ∈ R c. x 7→ ke2x + k, k ∈ R c. f (x) = e 3 x −2 d. −1 2. On considère l’équation différentielle y ′ − 3y = 2, où y désigne une fonction dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x : 2 3 1 1 π 4 . x− 1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2 cos 3 6 La fonction f est une solution de l’équation différentielle : a. y ′′ + y = 0 b. 16y ′′ −9y = 0 c. 9y ′′ +16y = 0 d. 9y ′′ −16y = 0 b. f (x) = e3x + 0 −1 c. 1. Résoudre l’équation différentielle 4y ′′ + 9y = 0. 2. Déterminer π √ la solution particulière f de l’équation (E) vérifiant = 3 et f ′ (π) = 0. f 3 √ 3. Donner la solution sur l’intervalle [ 0 ; 2π [ de l’équation f (x) = 3. a. f (x) = 2e−3x 1 −1 Exercice 3 (Équations du type y ′′ + ωy = 0 avec conditions initiales) Exercice 4 (Bac STI2D Divers QCM) Tale STI2D 1/1 Lycée Georges Brassens