Équations différentielles d`ordre 2

Fiche n◦18 (S18-7b) Équations différentielles d’ordre 2 Tale STI2D
Exercice 1(Équation du type y′′ +ωy = 0)
Résoudre les équations différentielles suivantes dans lesquelles yest une fonction de
la variable tdéfinie et deux fois dérivable sur R
1. y′′ + 16y= 0
2. 25y′′ +y= 0
3. 4y′′ =−25y
4. 169y+ 4y′′ = 0
Exercice 2(Équations du type y′′ +ωy = 0 avec conditions initiales)
1. Résoudre l’équation différentielle 9y′′ +y= 0.
2. Déterminer la solution particulière fvérifiant les deux conditions
f(0) = −√3 et f3π
2= 1.
3. Montrer que pour tout xde R:f(x) = 2 cos x
3−5π 6.
4. Résoudre dans Rl’équation f(x) = 0.
Exercice 3(Équations du type y′′ +ωy = 0 avec conditions initiales)
1. Résoudre l’équation différentielle 4y′′ + 9y= 0.
2. Déterminer la solution particulière fde l’équation (E) vérifiant
fπ
3=√3 et f′(π) = 0.
3. Donner la solution sur l’intervalle [ 0 ; 2π[ de l’équation f(x) = √3.
Exercice 4(Bac STI2D Divers QCM)
1. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = 2 cos 4
3x−π 6.
La fonction fest une solution de l’équation différentielle :
a. y′′ +y= 0 b. 16y′′ −9y= 0 c. 9y′′ +16y= 0 d. 9y′′ −16y= 0
2. On considère l’équation différentielle y′−3y= 2, où ydésigne une fonction
dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution fde cette équation est la
fonction de la variable xvérifiant pour tout réel x:
a. f(x) = 2e−3xb. f(x) = e3x+2
3c. f(x) = e 2
3xd. f(x) = e3x
−
2
3
3. fest définie par : f(t) = 3 cos 5t−π
2est solution de
a. y′+ 3y= 0 b. y′′ + 25y= 0 c. y′′ −5y= 0
4. L’équation différentielle y′′ +4y= 0 admet pour solution la fonction fdéfinie,
pour tout réel x, par :
a. f(x) = 2 sin x+π
2b. f(x) = 5 sin 2x+π 3
c. f(x) = 4 sin x+π
4d. f(x) = sin 4x+π 2
5. La solution fde l’équation différentielle y′′ + 4π2y= 0 qui vérifie f(0) = −1
et f′(0) = 0 admet comme représentation graphique :
a. b.
1
−1
1−1−20
1
−1
1−1−20
c. d.
1
−1
1−1−20
1
−1
1−1−20
6. Les solutions de l’équation y′−2y= 0 sont les fonctions du type :
a. x7→ ke2x, k ∈Rb. x7→ ke−2x, k ∈Rc. x7→ ke2x+k, k ∈R
7. On considère l’équation différentielle y′′ + 9y= 0, où ydésigne une fonction
deux fois dérivable sur l’ensemble des réels. Une solution fde cette équation
est la fonction de la variable xvérifiant pour tout réel x:
a. f(x) = 4e9xb. f(x) = −0,2e−9x
c. f(x) = 7 cos(9x)−0,2 sin(9x)d. f(x) = 0,7 sin(3x)
8. On considère l’équation différentielle y′+ 7y= 0, où ydésigne une fonction
dérivable sur l’ensemble des réels. La solution fde cette équation telle que
f(0) = 9 est la fonction de la variable xvérifiant pour tout réel x:
a. f(x) = 9e7xb. f(x) = 9e−7x
c. f(x) = −9e7xd. f(x) = −9e−7x
N. DAVAL 1/1 Lycée Georges Brassens