Première S Problème de synthèse Probabilités – étude d’une fonction Une urne contient n jetons dont 7 sont bleus et les autres sont jaunes (n est un entier naturel supérieur ou égal à 7). On prélève successivement et sans remise deux jetons de l’urne. 1) Dans cette question, on suppose que n = 10. Calculer les probabilités des événements suivants : • A : « le premier jeton est bleu est l’autre jaune ». • B : « un jeton est bleu et l’autre est jaune » • C : « les deux jetons sont bleus » • D : « les deux jetons sont de la même couleur » 2) Dans cette question, n désigne un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 8. On appelle pn la probabilité que deux jetons tirés soient de couleurs différentes. Démontrer que pn = 14(n – 7) . n² - n Déterminer les entiers naturels n pour lesquels la probabilité pn est maximale. Préciser la valeur de pn correspondante. 1 Première S Problème de synthèse Probabilités – étude d’une fonction CORRECTION 1) P(A) = P(B) = 7×3 7 = 10×9 30 7×3 7 = 10 15 2 7 2 7×6 7 = = P(C) = 10 10×9 15 2 7 +3 2 2 7×6 + 3×2 8 P(D) = = = 10×9 15 10 2 Remarque on a aussi P(D) = 1 – P(C) 2) pn = 7×(n – 7) 14×(n – 7) 14×(n – 7) = = n(n – 1) n² - n n 2 Etudions les variations de la fonction f définie sur [8 ;+∞[ par f(x) = 14×(x – 7) (x² - x) x² - 14x + 7 (x² - x) – (2x – 1)(x – 7) = -14× f’(x) = 14× (x² - x)² (x² - x)² f’(x) = 0 x² - 14x + 7 = 0 ∆ = 14² - 28 = 168 = (2 42)² x = 7 ± 42 Une valeur supérieure ou égale à 8 : 7 + 42 ≈ 13,4 Tableau de variations de f : x 8 f' f(x) 1 4 7+ 42 + +∞ − M 0 Les valeurs entières encadrant 7 + 42 sont 13 et 14. 2 Première S Problème de synthèse Probabilités – étude d’une fonction f(13) = 14×6 7 = 13² - 13 13 f(14) = 7 14×7 = 14² - 14 13 Les valeurs de n cherchées sont donc 13 et 14 et la valeur maximale de pn est 7 . 13 pn en fonction de n pour n = 8 à 20 : 3