Correction Correction Devoir de Mathématiques n°4 de

Correction Devoir de Mathématiques n°4
TES2
Ex1. Une agence de location de voitures propose trois types de véhicules cabriolet, utilitaire ou luxe.
Une assurance facultative correspondant à une suppression totale de franchise en cas de dommage est proposée au moment
de la location.
Une étude statistique a permis d'établir que :
60 % des clients louent un cabriolet et 10% louent un véhicule de luxe.
21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont souscrit un contrat d'assurance.
40 % des clients qui ont loué un cabriolet souscrivent un contrat d'assurance.
54 % des clients souscrivent un contrat d'assurance.
On prélève au hasard la fiche d'un client et on considère les évènements suivants :
C l'évènement « le client a loué un cabriolet».
L l'évènement « le client a loué un véhicule de luxe».
U l'évènement « le client a loué un véhicule utilitaire».
A l'évènement « le client a souscrit un contrat d'assurance».
1) a. Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire.
60 % des clients louent un cabriolet et 10% louent un véhicule de prestige
d'où p(C)=0,6 et p(L)=0,1.
Or p(C)+p(U)+p(L)=1 donc p(U)=1−0,6−0,1=0,3
La probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire est égale à 0,3.
b. La fiche est celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire.
Déterminer la probabilité qu'il ait souscrit un contrat d'assurance.
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement U est réalisé.
21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont souscrit un contrat d'assurance donc p(U∩A)=0,21.
?(=∩@) A,BC
D'où : <= (>) = ?(=) = A,D = 0,7
La probabilité qu'un client ayant loué un véhicule utilitaire ait souscrit un contrat d'assurance est égale à 0,7.
2) a. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement L∩A.
L∩A est l'évènement « le client a loué un véhicule de luxe et a souscrit un contrat d'assurance».
b. Montrer que P(L∩A)=0,09
<(>) = <(H ∩ >) + <(I ∩ >) + <(J ∩ >) soit 0,6 × 0,4 + <(I ∩ >) + 0,21 = 0,54
donc <(I ∩ >) = 0,54 − 0,21 − 0,24 = 0,09
c. En déduire la probabilité qu'un client ayant loué un véhicule de luxe ait souscrit un contrat d'assurance.
<L (>) =
?(L∩@)
?(L)
=
A,AM
A,C
= 0,9
La probabilité qu'un client ayant loué un véhicule de luxe ait souscrit un contrat d'assurance est égale à 0,9.
3) Déterminer la probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule de luxe sachant qu'il a souscrit
un contrat d'assurance.
?(L∩@)
A,AM
C
<@ (I) = ?(@) = A,NO = P
C
La probabilité qu'un client ayant souscrit un contrat d'assurance loue un véhicule de prestige est égale à P.
4) Cinq clients rendent leur véhicule.
Quelle est la probabilité que trois d'entre eux aient souscrit un contrat d'assurance ? ( arrondir au millième )
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui ont souscrit un contrat d'assurance.
La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres T =5 et U =0,54.
La probabilité que trois clients aient souscrit un contrat d'assurance est : p(X=3)≈0,333
La probabilité que parmi les cinq clients qui rendent leur véhicule trois aient souscrit un contrat d'assurance est 0,333.
Ex2
Ex2. 1) Si A et B sont deux évènements incompatibles
incompatibles ( > ∩ X = ∅ Z[T\ <(> ∩ X) = 0 ) tels que <(>) = 0,4 et
<(X]) = 0,6 alors
la probabilité de la réunion des événements A et B est :
<(> ∪ X) = <(>) + <(X) − <(> ∩ X) = 0,4 + 0,4 − 0 = 0,8
a) 1
b) 0,24
c) 0,8
d) 0,4
2) On lance un dé équilibré trois fois de suite. La probabilité d’obtenir au moins un 6 est :
L’expérience consiste en une répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes ; X est la variable aléatoire représentant le nombre de 6 sorti sur les trois
C
tirages ; X suit la loi binomiale B ( n=3 ; U = )
P
L’événement contraire de « obtenir au moins un 6. » est l’événement « obtenir aucun 6. »
N D
CBN
CBN
MC
<(b = 0) = c d =
; e(f ≥ h) = 1 − <(b = 0) = 1 −
=
P
BCP
BCP
BCP
c)
MC
BCP
3) Si A et B sont deux événements relatifs à une même expérience aléatoire tels que <(>) = 0,4
<@ (X) = 0,2 et <@̅ ( X) = 0,4 alors :
<(> ∩ X) = <(>) × <@ (X) = 0,4 × 0,2 = 0,08 ;
<(>̅ ∩ X) = <(>̅) × <@̅ ( X) = 0,6 × 0,4 = 0,24
<(X) = <(> ∩ X) + <(>̅ ∩ X) = 0,08 + 0,24 = 0,32
b) <(X) = 0,32
4) Si A et B sont deux événements relatifs à une même épreuve tels que <(> ∩ X) = 0,12 et <(>̅ ∩ X) = 0,36
alors : <(X) = 0,12 + 0,36 = 0,48
<k (>) =
?(@∩k)
?(k)
=
A,CB
A,Ol
= 0,25
c) <k (>) = 0,25
Ex3
Ex3. Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d’appareil photo
numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.
Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :
20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion.
70 % des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.
60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en
promotion. Un client entre dans le magasin.
On note A l’évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».
On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».
1) Donner les probabilités <(>̅) et <(>̅ ∩ H̅ ).
Comme 20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion, on a : p(A) = 0,2.
Or <(>̅) = 1 − <(>) donc <(>̅) = 1 − 0,2 = 0,8
On sait que 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte
mémoire en promotion donc <(>̅ ∩ H̅ ) = 0,6.
2) Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion.
Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non plus la carte mémoire en promotion.
̅
̅
?(@∩n )
A,P
<@̅ (H̅ ) =
=
= 0,75.
̅)
?(@
A,l
Donc, sachant qu’un client n’achète pas l’appareil photo en
promotion, la probabilité qu’il n’achète pas non plus
la carte mémoire en promotion est égale à 0,75.
3) Construire un arbre pondéré représentant la situation.
4) Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
<(H) = <(> ∩ H) + <(>̅ ∩ H) = 0,2 × 0,7 + 0,8 × 0,25 = 0,34
Donc, la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
5) Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi l’appareil
photo en promotion.
<n (>) =
?(@∩n)
?(n)
=
A,B×A,o
A,DO
=
o
Co
Donc, sachant qu’un client achète la carte mémoire en promotion, la probabilité qu’il achète aussi
o
l’appareil photo en promotion est égale à Co
6) Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 € sur chaque carte
mémoire en promotion.
a)Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune justification n’est demandée.
Bénéfice par client en euros
Probabilité d’atteindre le bénéfice
0
0,6
4
0,2
30
0,06
34
0,14
b) Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa
promotion ?
L’espérance de cette loi est : E = 0×0,6 + 4×0,2 + 30×0,06 + 34×0,14 = 7,36.
Et, E×100 = 736.
Donc, pour 100 clients entrant dans son magasin, le commerçant peut espérer un bénéfice de 736 €.
7) Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements d’achat sont indépendants.
Déterminer la probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion.
On est dans un schéma de Bernoulli à trois épreuves.
Par ailleurs, l’événement « au moins un des trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion » a
pour contraire l’événement « tous les clients achètent l’appareil photo en promotion ».
Donc, la probabilité cherchée est : 1 – U(>)D = 1 − 0,2D = 0,992
Ex4. Soit la fonction t définie par t(u) = 2u B − 3u + 1.
1. a) Déterminer l’équation de la tangente T à Hv au point d’abscisse 1.
tw (u) = 4u − 3 ; tw (1) = 1
t(1) = 2 − 3 + 1 = 0
T : x = tw (1)(u − 1) + t(1) = 1(u − 1) + 0 = u − 1
T:x =u−1
b) Déterminer la position de la courbe Hv par rapport à sa tangente T.
t(u) − x = 2u B − 3u + 1 − (u − 1) = 2u B − 4u + 2 = 2(u B − 2u + 1) = 2(u − 1)B ≥ 0
donc Hv est située au dessus de la tangente T.
2. Étudier la convexité de la fonction t.
tww (u) = 4 > 0 donc la fonction t est convexe sur ℝ.