Circulation de Hadley dans une cavité rectangulaire sous champ

J. Chim. Rhys. (1999) 96, 1091-1097
© EDP Sciences, Les Ulis
Circulation de Hadley dans une cavité rectangulaire
sous champ magnétique vertical
1
2
1
T. Putelat *, S. Kaddeche , H. Benhadid et D. Henry
1
' Laboratoire de Mécanique des Fluides et d'Acoustique, UMR 5509 du CNRS,
École Centrale de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, ECL,
BP. 163, 69131 Écully cedex, France
École Polytechnique de Tunisie, BP. 743, 2078 La Marsa, Tunisie
2
* Correspondance et tirés-à-parî.
ABSTRACT
The convective flow occuring in a fluid layer, due to a horizontal temperature gradient and controled by a vertical magnetic field, is studied. The fluid, enclosed in a
rectangular cavity, is a conductive liquid metal with a Prandtl number assumed to be
small. Velocity, temperature and electric potential are calculated analytically. With
these solutions, the effect of lateral confinement and magnetic field intensity on linear stability thresholds is studied analytically and numerically,
key words: Hadley circulation, magnetic field, linear stability
RÉSUMÉ
Nous étudions les mouvements convectifs d'une couche fluide confinée dans une
cavité parallèlépipédique soumise à un gradient de température horizontal et à un
champ magnétique vertical. Le fluide est un métal liquide à faible nombre de Prandtl
et électriquement conducteur. Les champs de base, vitesse, température et potentiel
électrique, sont calculés analytiquement. Nous étudions ensuite par voie numérique
et analytique l'effet du confinement latéral et de l'intensité du champ magnétique sur
la stabilité linéaire de ces solutions.
mots-clés: circulation de Hadley, champ magnétique, stabilité linéaire
INTRODUCTION
Durant les processus de solidification dirigée, les mouvements de convection qui
apparaissent dans la phase fluide sont responsables des inhomogénéités de concentration dans le cristal, en particulier des striations si l'écoulement est oscillatoire. Il
1092
T.
Putelat et al.
est possible de modifier la dynamique de cette convection en appliquant un champ
magnétique qui permet de freiner l'écoulement et par conséquent de retarder I'apparition d'instabilités.
OBJET DE L%TUDE
Une couche fluide soumise à un gradient horizontal de température est le siège
de mouvements convectifs connus sous le nom de circulationde Hadley. Cette étude
concerne l'influence conjuguée du confinement latéral (section rectangulaire) et d'un
champ magnétique vertical, constant et uniforme (FIG.1) sur la structure de ces
écoulements et leur stabilité.
z
La couche fluide est limitée var des
parois rigides, thermiquement conductrices et électriquement isolantes.
. . ,..
Le fluide est un métal liquide conducteur à faible nombre de Prandtl,
FIG.I - Configuration étudiée
Pr << 1, considéré comme newtonien, incompressible et de densité p obéissant à
l'approximation de Boussinesq p = po ( 1 - cu (T - To)).
Pour les métaux, la valeur
du nombre de Reynolds magnétique est très faible: Re, = po a, U L « 1. Le champ
magnétique induit par le mouvement du fluide est alors négligeable devant le champ
magnétique appliqué Bo, et le champ électrique est irrotationnel: E = -V&
Le problème est régi par les équations de Navier-Stokes avec comme force supl'équation de la chaleur dont l'effet Joule et
plémentaire la force de Laplace J x Bo,
les frottements visqueux sont négligés, ainsi que les équations de Maxwell réduites
à la loi d'Ohm: J = me(-V4, V x Bo). L'épaisseur de la cavité H, la viscosité cinématique v, le gradient de température imposé ATIL et l'intensité du champ
magnétique Bo sont utilisés pour adimensionnaliser les équations. Les nombres sans
dimension sont alors le nombre de Grashof Gr, le nombre de Prandtl Pr et le nombre
de Hartmann Ha [Il:
"
-
-
+
La dymanique de l'écoulement est ainsi contrôlée par le rapport entre les forces visqueuses, de flottaison et de Lorentz [2].
STRUCTURE DE L~ÉCOULEMENT
Hypothèses et équations
Des expressions analytiques de V, T et 4, sont calculées en supposant la cavité
infinie suivant la direction longitudinale ce qui implique l'indépendance par rap-
Circulation de Hadley sous champ magnétique
1093
port à x des champs de vitesse et de potentiel électrique. L'écoulement est supposé
parallèle: V = U ( y ,z ) e, [ l , 33. Enfin, comme le nombre de Prandtl est tel que
Pr << 1, le transfert de chaleur se fait par conduction dans toute la cavité suivant le
profil diffusif adimensionnel T = T, x auquel s'additionne une déviation de température 8 [ l , 31: T ( x :y , ï ) = T, x Pr 8 ( y , z ) . Suivant ces hypothèses, les équations
s'écrivent:
+
V*U, - ~ a (u,
' + (6),
- Gr T, - O
Ha2 "' =
V 2 0 - UTz =
v2uy
+
v2rbe
f
J-*n 1:;
(2)
(3)
= O (4)
dydz =
(5)
a4 = O (6)
U =8 =2
dn
où ( 1 ) et (2) représentent respectivernent les projections
suivant y èl z de 17équationdu
tourbillon, ( 3 ) est l'équation
de la chaleur, (4)
. . reilrésente la
conservation du courant électrique. (5) celle de la masse,
(6) les conditions limites aux
parois.
.
Le champ magnétique structure les écoulements en individualisant un écoulement
de coeur entouré par deux types de couches limites [2]: les couches de Hartmann,
perpendiculaires à Bo, où les forces visqueuses équilibrent celles de Lorentz, et les
couches parallèles (à Bo) assurant souvent la consemation du courant électrique.
Afin de séparer les problèmes, deux cas sont étudiés: le "problème ID en z" où
la cavité est aussi supposée infinie suivant la direction y, et le "problbme 2D en y , z"
où la cavité est de dimension finie en y et z.
Approximation monodimensionnelle
L'hypothèse d'un écoulement strictement parallèle à x implique que le courant
induit J est transverse. Pour une situation avec parois rigides, la conservation de la
masse (5) est automatiquement vérifiée en appliquant une condition d'anti-symétrie
en z sur U ,ce qui assure aussi la conservation du courant électrique (4). L'absence
de parois latérales entraine la nullité du potentiel électrique. La vitesse horizontale
U ( Z ) ,solution d'une équation différentielle non homogène du troisième ordre à coefficients constants [4], est alors:
-
Cette solution (7) prend en compte les couches de Hartmann de faible épaisseur
(hHa Hu-l). À mesure que I'intensitédu champmagnétiqueaugmente,cescouche
s'amincissent et l'écoulement de coeur se linéarise et diminue en intensité. La déviation de température 8, obtenue par (3), est aussi fortement diminuée. (cf. FIG. 2)
T. Putelat el al.
1094
U(z)
T(z)
FIG.2 - Effet du champ magnétique sur la vitesse horizontale et sur la température
Approximationbidimensionnelle
Les solutions du système (1)-(6)sont cherchéesdans le plan transverse (y, z ) sous
forme de séries de Fourier [SI en utilisant des idées similaires à celles de Bojarevics
[3]. Le confinement latéral induit la création de différences de potentiel générant un
courant électrique parallèle à Bo.La force de Lorentz est donc nulle dans une zone
de proche paroi, ce qui permet la formation de jets pariétaux caractéristiques des
couches parallèles (cf. FIG. 3).
FIG. 3 - Vitesse horizontale et potentiel électrique
Discussion
Pour des cavités 3D de dimensions finies, des solutions ont été obtenues par simulation numérique pour le cas Pr=O [l]. Elles montrent que les hypothèses effectuées
Circulation de Hadley sous champ magnétique
1095
sur le champ de vitesse sont bien vérifiées loin des parois chaude et froide où la recirculation reste limitée, ces effets de bord étant d'autant plus limités que le nombre
de Hartmann est élevé [l].
ANALYSE DE STABILITÉLINÉAIRE
Sans champ magnétique, les circulations de Hadley deviennent instables à partir
d'une certaine valeur du nombre de Crashof [6],et à faible, Pr présentent deux types
de modes instables [7].Nous étudions ici la stabilité marginale des écoulements sous
champ magnétique déterminés précédemment, ce qui permet le calcul du nombre de
Grashof critique Gr, au seuil des instabilités.
Pour les profils monodimensionnels, la résolution numérique du problème de stabilité vis-à-vis de perturbations de forme générale f (z) exp(i (h, x+h, y)+w t), met
en évidence les mêmes types de modes 141: des modes 2D transverses (h,, = 0) stationnaires (w = O) correspondant à des rouleaux d'axe parallèle à y, et des modes 3D
longitudinaux(h., = O) oscillatoires (w = i a) correspondant à des rouleaux d'axe
parallèle à x (cf. FIG.4). 11 existe un nombre de Prandtl de transition Prt en-dessous
duquel les modes 2D sont les plus instables, et au-dessus duquel ce sont les modes
3D les plus instables. Le champ magnétique a deux effets: il stabilise I'écoulement
en augmentant Gr,, et sélectionne le type de modes, Prt diminuant quand Ha augmente ce qui limite la zone d'apparition des modes 2D (cf. FIG.4). La stabilisation
de l'écoulement par le champ magnétique est interprétée comme une diminution du
cisaillement dans l'écoulement de coeur liée à la linéarisation du profil de vitesse
lorsque Ha augmente.
Pic. 4 - Courbes de stabilité neutre
FIG.5 - /?volution de G'v, avec H a
Une méthode analytique approchée [8]permet d'estimer, pour les modes 3D, les
tendances des variations de Gr, en fonction du nombre de Hartmann et du nombre de
Prandtl en supposant f (z) = cos(.ir z) [4,5](cf. FIG 5): Gr, Ha2/Pr.Leschamps
-
1096
T. Putelat et al.
2
d e b a s e de t e m p é r a t u r e e t d e vitesse s o n t m o y e n n e s (t , û )
z
a v e c un p o i d s cos (n
z
z)
c e q u i p e r m e t d e l e s r e n d r e constants e t de c a l c u l e r a n a l y t i q u e m e n t u n e e x p r e s s i o n
2
d e Gr .
En n o t a n t k
Gri
-
c
2
=
2
[k {2k
2
= h
2
+ 7 r , on obtient:
2
+ ga ) +
ffaV][(l
2
2
4
Pr h [t (k (l
z
2
2
A
+ P r ) f c + PrHa ][k {l
+ Pr)
+ PrHaV)
+ Pr)
+
+
2
kû]
z
(8)
C e t t e m é t h o d e [8] e s t é t e n d u e au cas d e s profils b i d i m e n s i o n n e l s . E n m o y e n 2
n a n t l e s profils d e b a s e a v e c u n poids c o s ( 7 r y/(2yo))
2
cos (n
z), o ù yo e s t la d e m i -
l a r g e u r de la c a v i t é , e n s u p p o s a n t u n e p e r t u r b a t i o n d e n o m b r e d ' o n d e discrétisé,
h
y
= niT y/(2yo),
n e satisfaisant pas ainsi la condition limite de n o n - g l i s s e m e n t ,
et e n n é g l i g e a n t la p e r t u r b a t i o n de p o t e n tiel électrique, le p r o b l è m e se r a m è n e au
cas p r é c é d e n t , l'effet du c o n f i n e m e n t latéral é t a n t inclus d a n s les profils m o y e n s des
c h a m p s d e b a s e . Il e s t a l o r s p o s s i b l e d ' u t i liser l ' e x p r e s s i o n (8) et d e t r a c e r l ' é v o l u tion d e Gr
c
e n fonction d e y
0
(FlG 6) [5],
C e m o d è l e a p p r o c h é m o n t r e a i n s i q u e les
m o d e s 3 D p e u v e n t exister d a n s ces c o n d i tions et q u e le c o n f i n e m e n t s é l e c t i o n n e le
FlG. 6 - Effet de la largeur de la cavité
nombre de rouleaux.
CONCLUSION
C e t t e é t u d e m e t e n é v i d e n c e les c a r a c t é r i s t i q u e s c l a s s i q u e s des é c o u l e m e n t s m a g n é t o h y d r o d y n a m i q u e s . L e c a l c u l a n a l y t i q u e b i d i m e n s i o n n e l des c h a m p s d e b a s e
se r é v è l e très satisfaisant, m o d é l i s a n t c o n v e n a b l e m e n t t o u t e s les z o n e s d e l ' é c o u l e m e n t . C e p e n d a n t , e l l e m o n t r e l e s limites d e s différentes a p p r o c h e s effectuées. Sur
l e s c h a m p s d e b a s e , l ' a p p r o x i m a t i o n m o n o d i m e n s i o n n e l l e ne p e r m e t p a s de p r e n d r e
e n c o m p t e les c o u c h e s p a r a l l è l e s . Sur l ' a n a l y s e de stabilité, les m o y e n n e s effectuées
n e p e r m e t t e n t p a s d ' e s t i m e r le p o u v o i r a p r i o r i déstabilisant des forts c i s a i l l e m e n t s
g é n é r é s d a n s l e s c o u c h e s parallèles, c e qui e x p l i q u e les différences a v e c les résultats
n u m é r i q u e s d e B o j a r e v i c s [3] q u i m o n t r e n t d e s valeurs de Gr
c
2
PrHa it
2
d ' u n o r d r e d e gran-
d e u r inférieur a u x n ô t r e s . D a n s notre c a s , seule la stabilité d e l ' é c o u l e m e n t d e c o e u r
est considérée dont l'analyse monodimensionnelle donne une bonne approximation.
L e travail e n c o u r s a d o n c pour b u t d e clarifier c e s différents p o i n t s de v u e e t
d ' a p p l i q u e r n o s r a i s o n n e m e n t s au cas d ' u n e c o n d i t i o n limite plus c o m p l e x e d e surf a c e libre a v e c t e n s i o n d e surface t h e r m o d é p e n d a n t e .
J. Chim.
Phys.
Circulation de Hadley sous champ magnétique
1097
REMERCIEMENTS
Nous tenons à remercier J. Scott, professeur à I'ECL, et R. Moreau, professeur
à I'INPG, pour leur collaboration à ce travail et pour les discussions enrichissantes
que nous avons eues ensemble. Nous remercions aussi P. Gillet, directeur du LST de
1'Ens-Lyon.
RÉFÉRENCES
[l] BenHadid H., Henry D., Kaddeche S. (1997)J. Fluid Mech. 333,23-83
[2] Moreau R. (1990)Magnetohydrodynamic, Kluwer
[3] Bojarevics V. (1994) Energy transfert in MHD flow, Pamir, 37-47
[4] Kaddeche S. (1995) Thèse de doctorat. École Centrale de Lyon
[5] Putelat T. (1997) Rapport de éco école Centrale de Lyon-LMFA
[6] Hart J.E. (1972)J. Atm. Sc. 29,687-697
[7] Hart J.E. (1983)J. Fluid Mech.132,271-281
[8] Gill A.E. (1974) J. Fluid Mech.64,577-588