Optique TD2 TSI 2015-2016

Optique
TD2
Interférence à deux ondes
TSI 2015-2016
L’ordre d’interférence est défini par ) =
∆) = 6 =
,∆
-
Exercice 1 : application du cours
On considère le système interférentiel des trous
,∆
$
*
$
et pour
, on peut en déduire la longueur d’onde : =
= 500
Exercice 3 : Etude expérimentale des fentes d’Young
d’Young baignant dans l’air. Un faisceau laser incident
envoie un faisceau parallèle dont la longueur d’onde dans
le vide est . Les rayons passants par traverse un
milieu (L) d’indice et d’épaisseur . La distance
= = 1 et = 1 . Soit (, , 0) un point
quelconque
de
l’écran
où
sont
observées
interférences et tel que ≪ et ≪ les
Afin
d’observer
une
figure
d’interférence
plus
lumineuse et plus étendue (les trous d’Young étant
petits, peu de lumière est transmise), on utilise des
fentes d’Young distante de éclairées par une fente
source monochromatique de longueur d’onde . La
lentille . permet d’avoir un pinceau de lumière parallèle
et la lentille de projection . (de distance focale / et
stigmatique dans les conditions de Gauss supposées
réalisées) concentre la lumière dans son plan focal où
l’on place l’écran & :
1)
2)
Si = 1, donner l’expression de la différence
de marche en un point de l’écran.
a)
(L) est maintenant du verre d’indice
= 1,5.
Donner
l’expression
de
la
différence de marche ′ en un point de
1)
Déterminer la différence de marche () en
2)
Déterminer le nombre de franges brillantes
fonction de , et /′ ainsi que l’interfrange
l’écran.
Sachant que = 20µ, où se situe la
b)
dans cette situation.
frange d’ordre de zéro (appelée frange
observables si la largeur 1 des fentes est
1 = 0,1 et si la distance entre les fentes
centrale).
c)
=
Reprendre la question précédente si (L)
est placée en entrée de dans la situation initiale puis =
La frange d’ordre zéro est donc en = ∓
∓1#
± ( − 1)
( )!
≈
= 0,5
en
tenant
compte
du
phénomène de diffraction.
Il faut se souvenir que le stigmatisme de la lentille
n’impose aucune différence de chemin optique entre les
rayons qui interférent sur l’écran !
Dans les conditions de Gauss :
En plaçant une photodiode au centre reliée à un
compteur
est
on
d’interférence
apprécie
( )!
$%
la
variation
de
l’ordre
2≈ ≈
*
3
donc () =
3
Donc l’interfrange est donnée par )( + 5) − )() = 1
.
Exercice 2 : Problème de physique
soit 5 =
Dans l’expérience des fentes de Young, avec une source
Le nombre de d’interfranges observables est limité par
S
la diffraction dont l’ouverture angulaire et est donnée à
ponctuelle
et
monochromatique,
les
sources
secondaires sont distantes de = = 1 et la
distance des fentes à l’écran est = 1. La distance
sur l’écran & entre les franges brillantes d’ordre -3 et 3
est ∆ = 3 ; que peut-on déduire ?
$% 3
l’infini par
$
6
=
789
3
et est donné par : 2 ×
;<=
>
;% <=
8
= 2× =
10. Soient 10 interfranges et 10 franges brillantes.
6
Rq : en lumière blanche, la zone d’interférence est
limitée par la longueur de cohérence en effet ?,,@33 =
$
6
≈ 5 avec cependant AB ≈ 1µ.
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Exercice 4 : Cohérence spatiale
2e méthode :
Une source formée de deux sources ponctuelles D et
On peut aussi résonner en thermes de différence de
D incohérentes entre elles, sur un axe parallèle à celui
de à une distance ′ éclaire le dispositif des trous
d’Young.
Les
deux
sources
sont
supposées
monochromatiques, de longueur d’onde et de même
amplitude. La distance = est telle que ≪ et
E ≪ phase. Si pour tout x on : ∆NFH − ∆NFG =
(2M + 1)P alors on a brouillage.
1=
$% =
1
IM + L 2
Donc la taille maximale d’une source étendue est donc
$% =
1
O 6
soit 1mm (cette distance est appelée longueur de
cohérence)
1
3e méthode :
D’un point de vu quantitatif, on somme les éclairements
des deux sources et :
1)
Expliquer
qualitativement
que
la
figure
Q = 2Q R1 + #ST U
d’interférence peut se brouiller pour plusieurs
valeurs de la distance D D.
2)
Confirmer ce résultat par le calcul en prenant
1 = 0 et 1 = 1 ≪ ′.
Quelle est la dimension 1 maximale (dite
3)
largeur de cohérence) d’une source étendue ou
d’une fente dite fine permettant de conserver
la
figure
d’interférence ?
= 500 et = 1
= 0,5,
L’annulation du contraste se produira pour un brouillage
des deux figures d’interférence : les sources étant
incohérentes
entre
elles,
on
additionne
les
éclairements.
+2Q X1 + #ST R
Avec #ST\ + #ST] = 2 cos I
2P 1
Y − ZW[
′
aKb
ℰ() = 4Q X1 + #ST Y
2P I LVW
L #ST I
a b
L
P 1
2P 1
Z #ST R Y + ′ ZW[
Le contraste est donc donné par : e = f#ST I
e
retrouve une 1 annulation pour
O 6
$ =
=
O
O 6
$ =
Lf on
soit 1 =
$% =
Pour aller plus loin (***) :
e
1 méthode :
On utilise maintenant le dispositif ci-dessous.
On a donc une différence de marche pour les rayons
issus de D et pour les rayons issus de D.
FG =
−
6
et FH =
L’ordre 0 de D vérifie : ? =
=
Les minimas de D vérifient : ?@ =
1=
1
6
1
IM + L 2
Donc la taille maximale d’une source étendue est donc
$% =
soit 1mm (cette distance est appelée longueur de
cohérence)
′
H
G
IJK L$% La source est une fente de largeur 21 (distance entre
les bords verticaux) et de hauteur ℎ ≫ 1
(pas de
diffraction verticale par les bords horizontaux haut et
bas). Chaque point de la source émet une amplitude de
vibration identique.
4)
Donner l’expression du contraste en fonction
de la largeur 1. On notera iQ() = M(1 +
#ST Y
I
O $
+
a
LZ i\ l’éclairement élémentaire
d’une fente élémentaire de la largeur i\ avec
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M
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constante.
Proposer
une
application
numérique définissant une fente source fine
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Déterminer l’angle minimal mesurable associé à la
première annulation du contraste.
Là
Comme chaque point de la source est décorrélé des
autres, il faut simplement sommer les éclairements :
2P \
Mℎ R1 + #ST U Y + ZVW i\
6/
6/
Q() = j
Soit : Q() = 2Q Y1 + T5# I
O6
$
L × #ST I
O $ LZ
encore
$′
les
o
1e méthode :
La différence de phase respective est :
I
O $
3=
I
+
O $
3=
o
−
L
o
L
Un premier brouillage impose alors :
∆NK () − ∆N () = P
: on retrouve la résultat précédent
Une fente fine avec C=0,9 : 1 =
incohérentes :
Ainsi le contraste s’annule la première fois pour :
1=
sont
o
et ∆N () =
P1
e = lT5# Y
Zl
′
sources
chaque étoiles sont respectivement en /′ et −/′ .
∆NK () =
Le contraste vérifie alors :
les
éclairements s’additionnent et les franges centrales de
$′
m
Soit pour n =
$%
2n
=1
une première annulation pour une
angle n minimal donné par :
n?@ =
2P1
′
un angle n très faible, de même éclairement ℰ et
assimilables à deux sources ponctuelles non cohérentes
entre elles.
= 5 × 10 p qi = 0,1′′(seconde d’arc)
2e méthode :
On retrouve ce résultat rigoureusement avec la somme
des éclairements :
P
ℰ() = 4Q R1 + #ST I nL #ST U
Exercice 5 : Problème de physique (étoiles double)
On considère deux étoiles à l’infini faisant entre elles
$%
789
2P I LVW
Et donc une annulation du contraste pour n =
O
$
O
Exercice 6 : Cohérence temporelle
Une raie n’est jamais parfaitement monochromatique
car un atome émet un train d’onde de fréquence r
pendant une durée s et pas pendant un temps infini.
L’analyse de Fourier associe à ce type de signal une
largeur spectrale ∆r avec s ∆r = 1.
1)
Montrer
que
la
différence
de
marche
introduite par un système interférentiel de
type
fentes
l’observation
d’Young
ne
peut
d’interférences
permettre
que
si
la
différence de marche ne dépasse pas une
valeur ? que l’on déterminera avec les
On place un filtre devant les fentes de Young afin de ne
conserver qu’une longueur d’onde = 0,5µ (longueur
dans le vide-le milieu du travail étant aussi assimilé à du
vide). Les fentes sont distantes de qui est une valeur
réglable jusqu’à ? = 50#. L’observation se fait sur
un écran à l’aide d’une lentille de distance focale /′.
constante du sujet.
2)
Soit une source ponctuelle rayonnant deux
fréquences t et t et éclairant des fentes
d’Young. Montrer l’annulation du contraste si
= ?
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On retrouve ce résultat en considérant une source
Pour aller plus loin (***)
constituée de deux fréquences :
Nous allons maintenant décrire une source à l’aide d’une
densité
spectrale
w. . yz ).
(r)
(u(r)v =
rectangulaire
1e méthode
2P
2P
Q = 2Q U2 + #ST Y (t )Z + #ST Y (t )ZV
#
#
2P t − t
P
L Z #ST I (t + t )LV
Q = 4Q U1 + #ST Y I
#
#
2
(}H }G )*
Pour chaque doublet de fréquence, on a
La source considérée est ponctuelle et éclaire un
dispositif de trous d’Young.
B
= alors
on perd le contraste, il faut donc bien une source dont
la largeur spectrale vérifie :
(}H }G )*
∆r ≤
#
B
≤1
2e méthode :
La différence de phase respective est :
∆NK () =
On assimile la source à une superposition d’ondes quasimonochromatiques de fréquence r et de largeur ir
auxquelles
on
2 Y1 + #ST I
associe
un
iQ() =
éclairement
()LZ ir. () donne la différence de
O{
B
O
B
et ∆N () =
(t )()
O
B
(t )()
Un premier brouillage impose alors :
∆NK () − ∆N () = P
marche en et # la vitesse de l’onde dans l’air assimilé à
2(t − t )
() = 1
#
du vide.
3)
Déterminer l’éclairement puis le contraste
observé et retrouver le résultat de la
question précédente.
4)
Expliquer
le
tracé
de
l’éclairement
ci-
dessous.
Pour une source plus complexe, il convient d’intégrer car
toutes les ondes sont incohérentes :
∆{
{% K
ℰ
ℰ() = j
∆{
{% ∆{
{% K
iQ() = 2 j
∆{
{% 2Pr
ZV ir
U1 + #ST Y
#
P∆r
2Pr
ℰ() = 2 ∆r U1 + T5# Y
Z #ST Y
ZV
#
#
P∆r
#
5)
Est-il possible d’apprécier facilement cette
annulation de contraste avec le dispositif des
fentes
d’Young
en
utilisant
une
lampe
spectrale dont la longueur de cohérence est
de l’ordre du centimètre ?
L’amplitude des oscillations (fixée par la visibilité)
s’annule pour
O∆{
B
= P et limite le contraste au
voisinage de cette situation : brouillage des franges.
Rq : Limitation liée à la diffraction
$
6
≈
789,~
soit ?,, ≈
$
6
soit ?,, =
$
6
de quelques alors que si AB ≈ 1#…on ne peut pas apprécier la perte
de cohérence temporelle (en lumière blanche, la
Avec les résultats de Fourier et la superposition
longueur de cohérence limite la taille de la figure de
nécessaire de trains d’onde cohérents entre eux alors :
d’interférence avant la diffraction).
≤ #s soit ≤
B
∆}
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Exercice 7 : Interférence entre ondes cohérentes
d’obtenir un pinceau de lumière parallèles constitué de
d’amplitude différente
rayons en phases en entrant dans les tubes. Deux
fentes d’Young parallèles (S1) et (S2) horizontales très
On
considère
l’interférence
entre
deux
ondes
cohérentes émises par le dispositif des trous d’Young
fines laissent passer le faisceau à la sortie des tubes
(T1) et (T2).
plongés dans l’air assimilé à du vide. Ces trous n’ont pas
tout à fait la même taille ce qui se traduit par une
amplitude maximale respective notée  et n avec
0 < n ≤ 1.
1)
Tracer le graphe donnant le contraste e en
2)
Pourquoi cherchons-nous à faire interférer
fonction de n
des
vibrations
de
Commenter pour n ≥ 0,5
même
d’amplitude ?
1)
l’écran repéré par la variable . On supposera
Il faut reprendre toute la démonstration avec :
() = 
ƒ„…H †
et () = q
ƒ„…G †
2)
, donc
≫ et ≫ i.
Quelle est la différence de chemin optique (ou
différence de marche) au centre C de
l’écran
l’éclairement est donné par :
ℰ() = M( + q  + 2q #ST∆N)
ℰ? = M (1 + q) et ℰ? = M (1 − q)
Soit un contraste donné par e =
Quelle est, lorsque (T1) et (T2) sont ouverts,
la différence de marche en un point M de
et
l’ordre
d’interférence
lorsque
(T1)
correspondant
On vide très progressivement le tube (T1) au
valve. Dans quel sens voit-on défiler les
franges sur l’écran ?
4)
Exprimer la nouvelle différence de marche
une
fois
différence
T1
vidé.
de
d’interférence ) ′
5)
est recherché dans le cas des interférences à ˆ ondes.
On pourra noter cependant que passé q = 0,5 les
fluctuations du contraste sont minces.
Exercice 8 : Mesure de l’indice de l’air
L’indice de l’air n’est que très légèrement supérieur à
1 et dépend de la température ‰ et de la pression D. Sa
mesure
requiert
une
méthode
interférométrique.
L’interféromètre de Rayleigh utilisé comporte deux
tubes cylindriques parallèles identiques de grande
longueur A, initialement ouvert à l’atmosphère par deux
valves. Ils sont fermés à leurs extrémités par des
opercules en verre optiquement plans. La face d’entrée
de l’interféromètre est éclairée par une source
lumineuse monochromatique de longueur d’onde dans
le vide éclairant une fente (S) très fine horizontale
placée au foyer d’une lentille (Lc) permettant ensuite
)
sont
moyen d’une pompe à vide puis on ferme la
(K‡ G )
interférer des ondes de même amplitude. C’est ce qui
(T2)
ouverts ?
3)
‡
Le contraste est donc maximal lorsque l’on fait
et
Donner
marche
′
également
et
la
l’ordre
au centre dans cette
configuration. On notera l’indice de l’air
Le comptage du nombre de franges brillantes
ˆ ayant défilés en C lors d’une mesure faite à
20°C a donné ˆ = 98 pour A = 20# avec
= 546,10. En déduire alors dans ces
conditions.
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Interférence à N ondes
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Exercice 10 : Spectroscopie par réseau
Un réseau éclairé normalement avec la raie verte du
Exercice 9 : Etude du réseau par transmission
Un réseau par transmission est constitué de ˆ fentes
parallèles, équidistantes (on parle de pas, noté A, du
réseau) et de même largeur . Ce réseau peut être
obtenu par gravures de sillons sur une plaque en verre.
Typiquement, nous aurons A ≈ 1µ, ≈ 500.
mercure = 546,1 donne un maxima pour le deuxième
ordre = 2 dans la direction 2 = 36°40 ± 0,5°
Quel est le nombre A∗ de trait pas de ce réseau ?
Estimer son incertitude.
D’après la relation des réseaux :
= =

”@•G
$%
≈ 547 ± 7
avec :
∆
∆2 ∆ = —Y
Z + Y Z ≈ 1%
˜2
Exercice 11 : Minimum de déviation (***)
On éclaire un réseau avec un pinceau de lumière
parallèle de longueur d’onde = 500 (dans le vide)
et on observe la figure d’interférence à l’infini. Les
ondes diffractées par chaque motif interférent du fait
de leur cohérence.
1) S’appuyer sur le dessin ci-dessus pour obtenir
la formule du réseau par transmission donnant
l’expression de 2? , direction pour laquelle est
obtenu un maximum de lumière pour un ordre
entier ) = ( ∈ ℤ).
2) On se place en incidence normale.
a) Combien d’ordre peut-on voir ? Sommesnous limités par la diffraction ?
b) Pourquoi le réseau est-il un appareil
disperseur ? L’est-il pour tous les
ordres ? Connaissez-vous un autre
dispositif dispersif ?
c) Ecrire la relation des réseaux dans le cas
des faibles angles. Comment varie la
dispersion avec A ?
alors M ≤

$%
obtenir précisément, aussi préfère-t-on utiliser la
méthode
du minimum de
alors de 0,1°. Le réseau utilisé avec un goniomètre est
décrit ci-dessous :
Lunette à l’infini
Collimateur
1)
2)
Exprimer la déviation du rayon incident.
A l’aide de la relation des réseaux en
extrémum
?$%

et comme
J$%

démontrer
(que
l’on
minimum) de déviation
≤1
que :
donc on peut observer les ordres -2,-1,0,1
2T5 I
7š›
d’interférence
L=
?$

qu’il
admettra
existe
un
être
un
et notée ?@ telle
où
entier
est
ordre
(interférence
constructive) et la longueur d’onde du
et 2. La diffraction présente un minimum à 90° et ne
rayonnement.
sera pas limitante.
L’ordre 0 en 2? = 0 concerne toutes les longueurs
d’onde en revanche l’ordre 1 présente une déviation
fonction de : d’où la dispersion comme un prisme. A
noter que l’on différencie les appareils dispersifs par
leur résolution mesurant leur aptitude à séparer deux
longueurs d’onde proches (typiquement 10 ‘ rad/nm pour
le réseau et 10 m rad/nm pour le prisme).
Pour de faibles angles, on a 2? =
déviation à l’aide d’un
goniomètre. L’incertitude sur les mesures d’angle est
transmission,
On a donc : A(T52? − T52 ) = En incidence normale : T52? =
Un éclairage en incidence normale n’est pas évident à
?$%

(dispersion
d’autant plus grande que le pas A du réseau est petit)
Pour = 546,1 et l’ordre = 2, on fait tourner
le réseau jusqu’à observer la déviation minimale (on
note 2?@,K = 164°19′ cette position de la lunette).
On fait tourner le réseau de façon à trouver le
minimum de déviation pour = −2 (on note
2?@,
= 195°44′ cette position de la lunette).
Optique
TD2
2?@,
3)
Faisceau
diffracté à
l’ordre -2
Faisceau
diffracté à
l’ordre +2
2?@,K
En déduire le pas du réseau avec incertitude.
La déviation du faisceau = 2 − 2 . On a
œ
ϥ%
=
ϥ
ϥ%
−1
Et avec la relation différentielle des réseaux en
transmission :
#ST2i2 = #ST2 i2

#ST2
=
−1
#ST2
2
On a donc deux solutions : 2 = 2 (ce qui correspond à
l’ordre 0) et 2 = −2
2
Au minimum de déviation, on a donc : 2T52?,J = $
2?,
$
avec une déviation minimale qui vérifie :
− 2?,K = 2?, = 42?, on a 2 sin(
) =
∆7š›
avec
7š›
Pour = 1 on trouve = (495 ± 2)˜q5˜T/
Avec
∆ ∗
∗
= I
∆7š›
∆? = √2 × 0,1 ∗
£
∆$ L +I L ≈
¡7š›/ )
O
$%
¡∆•7š› /


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