+ V

GEL-1000
Circuits
ÉLÉMENTS DE BASE
Objectifs
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
connaître les types de circuits, de matériaux, de signaux
électriques;
connaître les paramètres électriques dans un circuits (charges
électriques, tension, courant, puissance, énergie)
exploiter les relations qui unissent les paramètres électriques;
connaître les éléments de base d’un circuit électrique (résistance,
condensateur, inductance);
apprendre le vocabulaire de base relatif au génie électrique;
connaître les relations v-i des éléments de base;
déterminer tous les paramètres électriques aux bornes d’un
élément en fonction de l’un d’eux;
comprendre la fonctionnement d’un transformateur idéal;
reconnaître les différents types de sources (tension, courant)
indépendantes ou commandées (par tension, par courant);
comprendre le fonctionnement d’un amplificateur opérationnel
idéal.
2/65
Circuit électrique
§  Un circuit électrique ou un réseau électrique
fil
vs
+
-
O
O
Résistance
O
O
fil
§  Un cicuit électrique peut être complexe
3/65
Éléments de circuits électriques
Paire de bornes
i
+
v
-
Multipôles
Dipôle
Quadripôle
+
+
v
-
i1
v1
-
i2
+
v2
-
i
4/65
Courant électrique
§  Un courant électrique traduit le déplacement d’électrons
libres sous l’influence d’un champ électrique.
Conducteur
Sens du courant électrique i
-
-
-
-
-
-
-
Sens de déplacement des électrons
§  Un courant électrique est le taux de variation dans le temps
de la charge électrique qui traverse un point donné du
circuit.
dq
i=
dt
5/65
Calcul de q – 2 Exemples
Ex 1: Calculer la charge électrique qui a traversé la borne d’un élément
à l’instant t quand le courant varie comme i = -2 q0 e-2t et q(0) = q0.
Ex 2: Calculer la charge électrique qui traverse la borne d’un élément
entre les instants t = 0 et t = 3 s quand le courant entrant à cette borne
varie comme indiqué sur la figure.
i (A)
3
1
1
3
t (s)
6/65
Conducteurs et isolants électriques
§  Les
électrons libres se déplacent dans un matériau
conducteur sous l’influence d’un champ électrique.
§  Un matériau conducteur a beaucoup d’électrons libres
Courants électriques importants
§  Un matériau isolant a très peu d’électrons libres
Empêche la circulation de courants électriques
7/65
Courant continu et courant alternatif
§  Quand le courant est constant, il est noté I et appelé “Courant
Continu (CC)”. En anglais “Direct Current (DC)”.
i
(A)
I
0
t (s)
§  Quand le courant est périodique, il est appelé “Courant Alternatif
(CA)”. En anglais “Alternating Current (AC)”.
8/65
Tension
§  La tension est l’habilité à déplacer des électrons entre deux
points d’un circuit.
b
a
Conducteur
Courant i
-
+
-
-
Tension v
-
-
§  L’équation de la tension entre les bornes a et b est donnée par:
dw
v=
dq
9/65
Puissance électrique & énergie
§  La puissance électrique mesure le taux de variation dans le temps
de l’énergie électrique:
dw
p=
dt
§  Comment calculer l’énergie à partir de la puissance ?
p (W)
Puissance
p(t)
Énergie
w(t)
0
t
t (s)
10/65
Exemple
§  Un élément électrique soumis à une tension transitoire v = 8 e
-t
est
traversé par un courant électrique i = 20 e-t . Trouver la puissance
fournie par l’élément et l’énergie fournie pendant la première seconde
d’opération. On suppose la tension et le courant nuls aux temps
négatifs.
11/65
Puissance reçue &
Puissance fournie
Convention passive
Convention active
i
i
+
v
-
-
v
+
Si p > 0:
l’élément absorbe de
la puissance
Si p > 0:
l’élément fournit de la
puissance
Si p < 0:
l’élément fournit de la
puissance
Si p < 0:
l’élément absorbe de
la puissance
12/65
Exemple
(a) Lesquels des éléments fournissent 12 W ?
(b) Lesquels des éléments absorbent 12 W ?
(c) Quelle est la valeur de la puissance reçue par l’élément B ?
(d) Quelle est la valeur de la puissance fournie par l’élément B ?
(e) Quelle est la valeur de la puissance fournie par l’élément D ?
3A
(A)
+
4V
6A
-
-
+
6V
+
4A
2A
(C)
2V
(B)
-
-
(D)
3V
+
13/65
Résistance
14/65
Résistivité électrique
§ L’habileté d’un matériau à résister à une circulation
de charges électriques s’appelle: la résistivité
électrique. Symbole ρ, unité (Ω . m)
Matériau
Polystyrène
Silicium
Carbone
Aluminium
Cuivre
Résistivité ρ (Ω . m)
1 x 1016
2.3 x 103
4 x 10-5
2.7 x 10-8
1.7 x 10-8
15/65
Résistance électrique & loi d’Ohm
§ La
résistance électrique est la propriété d’un
élément qui s’oppose à la circulation du courant
électrique.
R=
ρL
R
S
§ Loi d’Ohm
v=Ri
i=Gv
16/65
Georg Simon Ohm-Savard 1789-1854
17/65
Linéarité de la loi d’Ohm
§ Ceci n’est pas toujours vrai, la relation v-i dans une
résistance peut être parfois non-linéaire.
v
- im
0
im
i
18/65
Puissance et énergie fournies à une
résistance
§ Puissance fournie à une résistance en fonction de la tension
v2
p=
R
§ Puissance fournie à une résistance en fonction du courant
p=Ri
2
§ Énergie fournie à une résistance
t
w=
∫ p dt =
−∞
t
2
R
i
∫ dt =
−∞
t
∫
−∞
v2
dt
R
19/65
Tension, courant, puissance et énergie
dans une résistance
20/65
Condensateur
21/65
Condensateur & Capacité
§  Un
condensateur est un élément électrique constitué de 2 plaques
conductrices séparées par un matériau isolant.
Surface A
Charge
+q
C=
ε A
d
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
!
E
Surface A
Isolant -- Charge
-q
-
C
d
e: permittivité électrique de l’isolant
A: surface des plaques
d: distance entre les plaques
Unité: Farad (F)
22/65
Champ électrique et relation tension-courant
Surface A
Charge
+q
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
!
E
Surface A
Isolant -- Charge
-q
-
q
Champ électrique: E =
ε A
Tension:
v=E.d
d
dv
i=C
dt
23/65
Tension, courant, puissance et énergie
dans un condensateur
24/65
Exemples
Ex1: Cas particulier d’une tension continue
+
C
12 V
-
Ex2: Pour un condensateur de capacité C, soumis à une tension
variant selon la figure ci-dessous.
(a) Trouver le courant i(t) qui le traverse.
(b) Que se passe-t-il quand M est très faible ?
(c) Que peut-on conclure ?
v
vmax
0
M
t
25/65
Énergie emmagasinée dans un
condensateur
-  Le condensateur emmagasine l’énergie par la séparation
des charges entre les plaques.
1
2
w= Cv
2
-  Les charges créent un champ électrique entre les deux
plaques.
-  L’énergie est emmagasinée sous forme d’un champ
électrique.
-  Le condensateur est un élément accumulateur d’énergie.
Il peut absorber ou fournir de l’énergie. Il ne la dissipe
pas.
26/65
Exemple
La tension v(t) aux bornes d’un condensateur de capacité 5 mF
varie comme indiqué sur la figure. Déterminer le courant i(t) qui le
traverse, la puissance p(t) et l’énergie w(t).
v
i=?
p=?
100
50
w=?
0
1
2
3
t
27/65
Exemple
La tension aux bornes d’un condensateur de capacité C=4 mF
initialement chargé à Vinit=2V, varie suivant l’équation
vc(t)=2+2log(t+1)2
entre t=0 et t=9s, pour atteindre Vfin=6V.
Déterminer l’énergie fournie wC au condensateur.
28/65
Inductance
29/65
Inductance
Champ magnétique créé par un courant électrique circulant dans
un fil droit
L’intensité du champ magnétique en un point P situé a une
distance r du fil est donnée par la loi d’Ampère:
H=
i
2π r
Unité (A / m)
30/65
Densité du champ magnétique
Flux magnétique
La densité de flux magnétique :
!
!
B=µ H
Unité: Tesla (T)
Le flux magnétique à travers une surface S :
! !
φ = ∫ B dS
S
Unité: Weber (Wb)
31/65
Champ magnétique dans une bobine
+
v
i
i
N tours
Flux total dans la bobine:
µ N 2A
L=
h
Nφ = L i
A: aire de la section
h: hauteur de la bobine
m: perméabilité magnétique
32/65
Caractéristique v-i d’une inductance
Loi de Faraday
di
v=L
dt
i
+
L est représentée par:
v
L
Exemple 1 : Cas particulier d’un courant constant
Exemple 2 : Courant i dans une inductance
33/65
Michael Faraday-Grenier 1791-1867
34/65
Énergie dans une inductance
§ Énergie accumulée dans une inductance
1 2
w= Li
2
§ L’énergie est accumulée sous forme d’un champ magnétique.
§ L’inductance est un élément accumulateur d’énergie. Elle peut
absorber ou fournir de l’énergie. Elle ne la dissipe pas.
35/65
Tension, courant, puissance et énergie
dans une inductance
36/65
Exemple
Déterminer la tension, la puissance et l’énergie pour une
inductance de 0.1 H quand le courant change comme
montré sur la figure.
i (A)
20
t (s)
0
1
37/65
Les équations à retenir
Résistance
R=
ρL
S
v=Ri
v
i=
R
v2
p = v i = = R i2
R
Condensateur
C=
∫ p dt
−∞
d
dv
i=C
dt
1
v=
C
t
∫ i dt
−∞
p=vi
t
w=
ε A
w=
1
C v2( t )
2
Inductance
µ N 2A
L=
h
di
v=L
dt
1
i=
L
t
∫ v( t ) dt
−∞
p=vi
1 2
w = L i (t )
2
38/65
Notes sur s et impédance/admittance
Pour alléger l’écriture (et conformément à ce qui suivra):
• on remplace d/dt par s
• et ∫ dt par 1/s
Pour nommer les éléments simples par leur nom
• Impédance: v = Zi suivant la relation v = (R+X(s))i
– résistance: R
– réactance: X(s)
– on a v= Ldi/dt donc réactance inductive Ls
– et i=Cdv/dt ou encore v = 1 ∫ i dt donc réactance capacitive 1/(Cs).
C
• Admittance: i = Yv suivant la relation i = (G+B(s))v
– conductance: G (si Z=R alors G=1/R)
– susceptance: B(s) inductive 1/(Ls) ou capacitive Cs.
39/65
Transformateur idéal
40/65
Transformateur idéal
Un transformateur est un quadripôle formé par le couplage mutuel
de deux inductances entourant le même noyau magnétique.
Le courant i1 dans la bobine au
primaire crée un flux magnétique
circulant dans le noyau; la bobine
au secondaire capte le flux
magnétique qui, par induction,
crée une force électromotrice v2.
Une tension v1 appliquée aux bornes de la première bobine induit une
tension v2 dans la seconde bobine.
Les transformateurs sont souvent utilisés pour amplifier des signaux
alternatifs (AC).
41/65
Sens du filage …
La polarité de la tension v2 par rapport à la tension v1 dépend du
sens d’enroulement des deux bobines autour du noyau magnétique.
42/65
Sens du filage
La polarité de la tension v2 par rapport à la tension v1 dépend du
sens d’enroulement des deux bobines autour du noyau magnétique.
43/65
Les équations
v2 ( t ) N 2
=
v1 ( t ) N 1
i2 ( t )
N1
=−
i1 ( t )
N2
Rapport de transformation:
N1
a=
N2
44/65
Puissance dans un transformateur idéal
La puissance absorbée par un transformateur idéal est nulle.
Circuit 2
(Charge)
Circuit 1
(Source)
Primaire
Secondaire
45/65
Exemple
Une source de tension vs est connectée au primaire
d’un transformateur de rapport 4. La charge est une
résistance R. Déterminer la tension aux bornes de la
résistance, ainsi que les courants i1 et i2 dans le primaire
et le secondaire.
4:1
+
Vs
R
-
46/65
Éléments actifs
47/65
Éléments électriques actifs
Les éléments actifs représentent les sources
d’énergie dans un circuit électrique.
Sources de tension
Sources indépendantes
Sources de courant
Sources commandées
Le courant entre par la borne négative (-)
i
+
v
48/65
Sources indépendantes
Définition: Les sources indépendantes possèdent des
caractéristiques qui sont indépendantes des variables du circuit.
Source de tension: Tension vs(t) indépendante du courant qui
la traverse et des autres variables du circuit.
Source de courant: Courant is(t) indépendante de la tension à
ses bornes et des autres variables du circuit.
+
is
vs
Source de tension
Source de courant
49/65
Exemples de sources indépendantes
50/65
Sources indépendantes (suite)
Convention de polarité
+
i
p=vi
vs
Source de tension
+
is
v
p=vi
Source de courant
51/65
Sources commandées ou dépendantes
Définition
Les sources commandées possèdent des caractéristiques qui
dépendent des variables (tension ou courant) dans une autre
partie du circuit.
Exemples
Transistor, amplificateur opérationnel
Caractéristique
Une source commandée est caractérisée par la relation entre
la tension (ou le courant) de sortie et la tension (ou le courant)
d’entrée.
52/65
Sources de tension commandées
Commandée par une tension
+
+
-
vc
vd = m vc
-
m: gain sans dimension
ic
Commandée par un courant
+
-
vd = r ic
r: gain (dimension R)
53/65
Sources de courant commandées
+
Commandée par une tension
id = g vc
vc
-
g: gain (dimension G)
ic
Commandée par un courant
vd
id = a ic
a: gain (sans dimension)
54/65
L’amplificateur opérationnel
§  Circuit intégré
§  Composant complexe: transistors, diodes, résistances,
condensateurs
Symbole
55/65
Amplificateur Opérationnel
Connections externes
Boîtiers types
56/65
Modèle d’un Amplificateur Opérationnel
Ampli Op uA741
+
vd
-
Rd
AOL vd +
-
Ro
+
AOL = 105
BW = 100 Hz
Rd = 1 MΩ
R0 = 100 Ω
vo
57/65
Amplificateur Opérationnel Idéal
+
+
vd
-
AOL vd
+
-
vo
-
Ampli Op Idéal
AOL = ∞
Rd = ∞
R0 = 0
58/65
Principe d’utilisation de l’ampli-op idéal
•  AOLè∞ •  vo est finie
donc
•  vdè0
•  v+=v-
•  Rdè∞ donc
•  idè0
•  i+=i-=0
si v+>v- alors vo=+Vcc (saturation)
si v+<v- alors vo= -Vcc (saturation)
è
rétroaction négative obligatoire
pour obliger v+=vet ainsi éviter la saturation
59/65
Exemple: Ampli Op
is=0
+
vs
-
a
+
-
d
+
2Ω
b
+ +
v2
-
vo
1Ω
v1
i
R=9Ω
Exprimer v0 en fonction de vs
-
-
c
Circuit avec un ampli op
is=0
+
+
vs
-
A vs
+
-
Source de tension commandée
par une tension
v0
-
60/65
Amplificateur Inverseur
v0
RF
Av =
=−
vs
R1
61/65
Amplificateur Non Inverseur
v0
R2
Av =
= 1+
v2
R1
62/65
Amplificateur Sommateur
RF
RF
RF
v0 = −
vs1 −
vs 2 −
vs 3
R1
R2
R3
63/65
Amplificateur Dérivateur
v0 = − R C
dvs
dt
64/65
Amplificateur Intégrateur
1
v0 = −
vs dt
RC
∫
65/65
Filtre à Amplificateur Opérationnel
Filtre passe-bas du premier ordre
66/65