Nombres relatifs - dounamou.com, le N°1 du web en guinée
publicité
1 - Nombres relatifs Nombres positifs, nombres négatifs Si on prolonge une demi-droite graduée à gauche, on obtient une droite graduée. Les nombres qui sont à droite de zéro sont des nombres positifs et ceux qui sont à gauche sont des nombres négatifs. Les nombres relatifs regroupent les nombres négatifs et les nombres positifs. Pour comparer deux nombres relatifs, tu peux les placer sur une droite graduée : le plus grand est toujours celui qui est le plus à droite. Addition et soustraction de nombres relatifs Pour additionner ou soustraire deux nombres relatifs, tu dois d'abord positionner le premier nombre sur la droite graduée. Puis: - Si tu dois réaliser une addition, tu avances à droite du deuxième nombre. Par exemple pour calculer -2+3: Donc -2+3=+1. - Si tu dois réaliser une soustraction, tu te déplaces vers la gauche du deuxième nombre. Par exemple pour calculer +1-4: Donc +1-4=-3. Quand il y a des grands nombres, on ne peut pas toujours tracer la droite graduée : tu dois alors l'imaginer dans ta tête et c'est plus compliqué. Attention aux erreurs classiques, 7-10 n'est pas égal à 3 et -5+6 n'est pas égal à -11! Il est important de bien t'entraîner avec les additions et les soustractions de nombres relatifs, cela te sera utile dans toutes les classes futures. Beaucoup d'élèves de 4ème et de 3ème font des erreurs avec ce type de calcul et c'est très pénalisant! Remarque : pour écrire le nombre +20, on peut aussi écrire 20. De même 50 est égal à +50. 2 - Les fractions Nous avons vu précédemment comment calculer la valeur d'une fraction, et comment utiliser une fraction dans un problème. Voyons maintenant comment simplifier une fraction et comment additionner ou soustraire des fractions entre elles. Simplifier une fraction Simplifier une fraction, c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres. Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre: en effet cela ne change pas sa valeur. Lorsqu'on ne peut plus simplifier une fraction, on dit que la fraction est irréductible. Exemple Pour simplifier la fraction on peut diviser son numérateur et son dénominateur par 8. On obtient toutes deux 1,5 donc on a bien . La fraction . Les deux fractions valent est irréductible car on ne peut pas la simplifier d'avantage. Additionner des fractions, soustraire des fractions Nous allons voir comment écrire directement sous forme de fraction la somme ou la différence de deux fractions. Règle Pour additionner deux fractions, on transforme leur écriture de manière à ce qu'elles soient toutes deux écrites avec des dénominateurs identiques, puis on additionne les numérateurs. En effet, de la même manière que l'on ne peut pas additionner des choux avec des carottes, on ne peut pas additionner des sixièmes avec des cinquièmes. Exemple Additionnons et . On doit d'abord transformer les écritures de ces deux fractions de manière à ce qu'elles soient écrites sous un même dénominateur. Pour cela on peut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction valeur de la fraction. On obtient: par 2, cela ne changera pas la D'une manière générale, pour écrire deux fractions sous le même dénominateur tu peux multiplier le numérateur et le dénominateur de la première par le dénominateur de la deuxième et le numérateur et le dénominateur de la deuxième par le dénominateur de la première. Autre exemple Remarques - Pour soustraire deux fractions, c'est exactement la même chose. Par exemple : - Pour additionner un nombre entier avec une fraction, il faut d'abord écrire le nombre entier sous la forme d'une fraction sur 1. Par exemple : 3 - Calcul Dans un calcul lorsqu'il y a plusieurs opérations, on n'effectue pas les opérations dans l'ordre que l'on veut. En effet 1+2×3 est égal à 9 si on commence par effectuer l'addition, et à 7 si on commence par effectuer la multiplication. Pour que tout le monde obtienne les mêmes résultats dans les calculs, il faut respecter les règles de priorités entre les opérations! Priorités dans les calculs Lors d'un long calcul, on effectue d'abord les parenthèses, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. Quand il n'y a plus que des additions et des soustractions, on réalise le calcul final en allant de la gauche vers la droite. Pour t'aider, tu peux souligner dans le calcul les opérations que tu vas effectuer en premier. Exemples Règle des signes Si deux signes + se suivent on peut les remplacer par un seul +, si un + et - se suivent (ou un - et un +) on peut les remplacer par un et si deux signes - se suivent, on peut les remplacer par un +. Exemples 4 - Proportionnalité Junior achète 3 roses dans un magasin, elle paie 4,5 francs. Combien aurait-elle payé si elle avait acheté 2 roses, ou 7 roses? On dit que le prix payé est proportionnel au nombre de roses achetées. Lorsque deux grandeurs (ici le nombre de roses et le prix payé) sont proportionnelles, alors on peut dessiner un tableau de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité le nombre par lequel on doit multiplier les valeurs prises par la première ligne pour obtenir les valeurs prises par la deuxième est appelé le coefficient de proportionnalité. Autre exemple La petite soeur de Junior aime le vélo. Elle roule à vitesse constante de 20 km/h. Produit en croix On peut calculer une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité en réalisant un produit en croix. Pour cela on dessine dans le tableau une croix flèchée en direction de la valeur manquante. On multiplie les deux nombres qui sont sur la diagonale connue et on divise par le 3ème nombre. Ici le nombre de la case 1 est égal à 40×10÷5 et le nombre de la case 2 est égal à 320×31÷248. Il existe aussi d'autres méthodes: passage à l'unité (on calcule déjà pour 1 avant de faire pour 10), addition ou soustraction de colonnes, recherche du coefficient de proportionnalité...Tu dois utiliser prioritairement ces autres méthodes si tu es élève en classe de 5ème en France. Exemple d'utilisation Si 27 vaches produisent 300 litres de lait, quelle quantité de lait produisent 15 vaches? La quantité de lait est proportionnelle au nombre de vaches, on peut donc dessiner un tableau de proportionnalité. Avec un produit en croix, on peut calculer le nombre manquant, il est égal à 300×15÷27. 15 vaches produisent donc environ 167 litres de lait. 5 - Les angles Angles Notation Un angle formé par deux demi-droites passant par 3 points A, B, C (figure ci-dessous à gauche) se note de quel angle il s'agit dans le cas où le point B est l'origine de plusieurs angles. , ou si on veut préciser Mesure La grandeur d'un angle se mesure avec un outil gradué appelé "rapporteur". On obtient des degrés, notés °. Un angle droit mesure toujours 90° et un angle plat 180°. Angles et triangles La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°. Si on connaît les mesures de deux angles d'un triangle, on peut toujours calculer la mesure du 3ème angle. Cas particuliers : - Les angles d'un triangle équilatéral mesurent tous 60° (180÷3). - Si on connaît la mesure d'un seul angle d'un triangle isocèle, on peut connaître la mesure des deux autres (un triangle isocèle possède deux angles égaux). - Comme un triangle rectangle possède un angle mesurant 90°, la somme de ses deux autres angles vaut également 90° (180-90). Vocabulaire sur les angles Ce paragraphe n'est pas très important, tu peux le zapper si tu n'as pas beaucoup de temps. Si la somme des mesures de deux angles vaut 90° alors on dit que ces deux angles sont complémentaires. Si la somme vaut 180° on dit qu'ils sont supplémentaires. Encore un peu de vocabulaire, quelques dessins valent mieux que de longs discours: Angles opposés par le sommet Angles correspondants Angles alternes-internes Angles alternes-externes Les mesures de deux angles opposés par le sommet sont toujours égales. Si , alors les angles correspondants sont égaux, les angles alternes-internes sont égaux et les angles alternes-externes sont également égaux. 6 - Triangles et quadrilatères Droites particulières Attention à ne pas tout confondre! Bissectrice La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui divise l'angle en deux angles égaux. Médiatrice La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Il est possible de construire une bissectrice et une médiatrice sans utiliser de rapporteur ni d'équerre. Une règle et un compas sont suffisants. Hauteur Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe son côté opposé en formant un angle droit. Médiane Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe le côté opposé en son milieu. Points particuliers d'un triangle Dans un triangle, les 3 bissectrices issues des angles se coupent toujours en un même point (on dit qu'elles sont concourantes). De même les 3 hauteurs, les 3 médianes, et les 3 médiatrices d'un triangle sont également concourantes. - Le point d'intersection des médianes s'appelle le centre de gravité du triangle. Il est situé exactement aux 2 tiers des médianes lorsque l'on part des sommets. - Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre du triangle. - Le point d'intersection des médiatrices n'a pas de nom. C'est sur ce point que l'on doit placer la pointe du compas pour tracer l'unique cercle qui passe par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle. - Le point d'intersection des bissectrices n'a pas de nom non plus. Il permet de construire le cercle inscrit dans le triangle, c'est à dire le plus grand cercle inclus dans le triangle. Propriétés des quadrilatères Le tableau ci-dessous donne les principales propriétés des quadrilatères particuliers. Tu dois connaître ces propriétés, mais inutile de les apprendre par coeur, un petit dessin suffit généralement à les retrouver. Nom Côtés Diagonales Parallélogramme Côtés opposés parallèles et de même longueur Les diagonales se coupent en leur milieu. Losange Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Rectangle Côtés opposés parallèles et de même longueur Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. Carré Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur. Figure Les propriétés sur les diagonales sont utiles pour réaliser des démonstrations. Par exemple si tu dois démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, tu peux simplement démontrer que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu (le milieu de la première diagonale est confondu avec le milieu de la deuxième).
