complexes, nombres - mathématiques. - Devoir-de

complexes, nombres - mathématiques.
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PRÉSENTATION
complexes, nombres, nombres de la forme x + iy, où x et y sont des nombres réels, et i un « nombre imaginaire » tel que i2 = - 1.
Les nombres complexes, qui interviennent dans presque tous les domaines des mathématiques, sont également très employés en physique, notamment dans l’étude des circuits électriques et des ondes électromagnétiques (voir électromagnétique,
rayonnement).
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HISTORIQUE
Les nombres complexes sont issus de l’étude d’équations du type x2 = - 1, qui n’admettent pas de solutions en nombres réels. Au
XVIe
siècle, Jérôme Cardan et ses confrères italiens découvrent que des solutions réelles d’équations peuvent faire
intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Par exemple, le nombre réel 40 peut s’exprimer sous la forme de (5 + √- 15) (5 - √- 15). Ces racines carrées de nombres négatifs, que Descartes nomme « racines imaginaires », sont utilisées par
la plupart des mathématiciens du
XVIe
siècle. En 1722, le Britannique Abraham de Moivre découvre la formule qui porte depuis son nom : (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
Cette relation, qui relie fonction exponentielle et fonctions trigonométriques, est à rapprocher des formules établies par Euler au XVIIIe siècle : cos x = 1/2 (eix + e-ix) sin x = 1/2i (eix - e-ix)
De ces formules découle la célèbre identité eip = - 1, qui relie trois nombres fondamentaux en mathématiques.
C’est à l’aide des nombres complexes que Gauss, dans sa thèse de doctorat parue en 1799, donne la première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, selon lequel tout polynôme de degré n possède exactement n racines, non
nécessairement distinctes. Il est également le premier à établir la correspondance entre les nombres complexes et les points du plan. Cauchy poursuit l’étude des nombres complexes en introduisant les fonctions à une variable complexe en 1814. Les
nombres complexes ont de nombreuses applications en physique ; le nombre i apparaît ainsi de manière explicite dans l’équation fondamentale de Schrödinger qui décrit la nature ondulatoire des particules (voir quantique, théorie).
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OPÉRATIONS SUR LES COMPLEXES
Tout élément z de l’ensemble
des nombres complexes s’écrit de manière unique : z = x + iy, où x est la partie réelle du nombre complexe et y sa partie imaginaire. Un nombre imaginaire ne possède pas de partie réelle, il s’écrit donc sous la
forme z = iy.
L’addition des nombres complexes s’effectue en ajoutant séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Ainsi, pour ajouter 1 + 4i à 2 - 2i, il faut ajouter les parties réelles 1 et 2, et les parties imaginaires 4i et - 2i. On obtient ainsi le nombre
complexe 3 + 2i. La règle générale pour l’addition est donc la suivante : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i
La multiplication des nombres complexes est fondée sur la relation i.i = - 1 et sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Par conséquent, la règle générale pour la multiplication est la suivante : (a + ib) (c + id) = (ac bd) + (ad + bc)i
Ainsi, (1 + 4i) (2 - 2i) = 10 + 6i
On démontre que l’ensemble des nombres complexes, muni des lois d’addition et de multiplication, est un corps (voir arithmétique).
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MODULE ET CONJUGUÉ
Soit un nombre complexe z = x + iy. On appelle module de z le réel noté |z| tel que |z| = √(x2 + y2). On nomme conjugué de z le complexe de symbole
tel que
= x - iy. Par exemple, le module de 1 + 4i est : √(12 + 42) = √17 et son
conjugué est 1 - 4i.
Il faut noter qu’un nombre complexe z et son conjugué sont reliés par la relation z.
= |z|2.
5 REPRÉSENTATION DANS LE PLAN
5.1 Coordonnées cartésiennes
De même que les nombres réels peuvent être représentés par les points d’une droite, on peut associer les nombres complexes aux points d’un plan. Ainsi, au complexe x + iy, on associe le point M du plan ayant x pour abscisse et y pour ordonnée. On
dit alors que x + iy est l’affixe du point M. Le Suisse Argand fut l’un des premiers mathématiciens à définir en 1806 les nombres complexes par des coordonnées cartésiennes. C’est pourquoi une telle représentation est parfois appelée diagramme
d’Argand.
Si on représente les nombres complexes à l’aide de vecteurs du plan, alors l’addition des nombres complexes correspond à la somme des vecteurs.
5.2
Coordonnées polaires
Les points du plan pouvant être repérés à l’aide de coordonnées polaires r et θ, tout nombre complexe z peut donc aussi s’écrire sous la forme : z = r (cos θ + i sin θ) = r eiθ
Ici, r est égal au module du complexe, et correspond à la distance du point M d’affixe z à l’origine du repère. θ est appelé argument de z, et représente l’angle orienté formé par l’axe des abscisses et la droite (OM).
Soient z = r (cos θ + i sin θ) et w = s (cos Φ + i sin Φ) deux nombres complexes. On montre que le produit de ces deux complexes a pour valeur : zw = rs (cos (θ + Φ) + i sin (θ + Φ))
Cela donne lieu à une interprétation géométrique simple sur un diagramme d’Argand : multiplication des modules (correspondant à une homothétie de centre O) suivie de l’addition des arguments (correspondant à une rotation de centre O).
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RACINES D’ÉQUATIONS
Il existe de nombreuses équations polynomiales qui n’ont pas de solutions réelles, comme x2 - 2x + 2 = 0. Néanmoins, si l’on cherche des solutions complexes, x2 - 2x + 2 = 0 admet pour solutions x = 1 ± i. Gauss a démontré que tout polynôme de
degré n à coefficients complexes possède exactement n racines, non nécessairement distinctes. En conséquence, tout polynôme à coefficients complexes et de degré n peut s’écrire comme un produit d’exactement n facteurs du premier degré. Ainsi,
on a : x2 - 2x + 2 = (x - 1 - i) (x - 1 + i)
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