Nombres entiers – rationnels - PGCD

Classe de Troisième Marc Bizet
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Nombres entiers – rationnels - PGCD - Exercices
Exercice 1
a. Ecrire la liste par ordre croissant :
• Des diviseurs de
36
• Des diviseurs de
60
b. Quels sont les diviseurs communs à
36
et
60
?
c. Quel est le PGCD de
36
et
60
?
Exercice 2
Expliquer, sans faire de calculs, pourquoi les nombres suivants ne sont pas premiers entre eux :
a.
218
et
162
b.
21
et
18
c.
175
et
190
Exercice 3
Dans la division euclidienne d’un nombre entier
n
par
5
, le quotient est
14
et le reste est
4
. Quel
est ce nombre
n
?
Exercice 4
Effectuer la division euclidienne :
a. de
915
par
12
à la main.
b. de
23 534
par
1 257
à la calculatrice.
Exercice 5
Un nombre est dit premier s’il n’a pour diviseurs
1
et lui-même.
Donner la liste de tous les nombres de
15
à
30
premiers.
Exercice 6
Trouver, si possible (sans justifier) :
a. Deux nombres pairs dont le PGCD est
1
.
b. Deux multiples de 5 ont le PGCD est
1
c. Deux nombres dont le PGCD est
20
.
d. Deux nombres impairs supérieurs à
20
dont le PGCD est
3
.
Exercice 7
Dans chaque cas, déterminer en indiquant la propriété utilisée :
a.
(
)
PGCD 50 ;100
b.
(
)
PGCD 1 ; 35
c.
(
)
PGCD 48 ; 48

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Exercice 8
Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant la méthode indiquée :
a.
11 592
et
9 936
(divisions successives - méthode d’Euclide)
b.
357
et
721
(divisions successives - méthode d’Euclide)
c.
1 312
et
2 536
(divisions successives)
d.
1 634
et
602
(soustractions successives)
Exercice 9
Grâce à un tableur, déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Voici une capture d’écran, vous devez réaliser toutes les actions permettant de l’obtenir.
Aide :
• partie entière d’un quotient : =ENT(A1/B1)
• reste d’une division euclidienne : =MOD(A1 ;B1)
Exercice 10
Calculer le PGCD des deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :
a.
846
et
1 044
b.
9 615
et
5 128
c.
1 515
et
1 789
d.
1 569 872
et
16 448
Exercice 11
a. Calculer le PGCD
d
de
118 404
et
13 884
.
b. Calculer
118 404
d
et
13 884
d
.
c. Vérifier que ces quotients sont premiers entre eux.

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Exercice 12
Grâce à un tableur, déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l’algorithme des soustractions
successives.
Voici une capture d’écran, vous devez réaliser toutes les actions permettant de l’obtenir.
Aide :
• obtenir le minimum de 2
nombres : =min(A1 ;B1)
• obtenir le maximum de deux
nombres : =max(A1 ;B1)
Exercice 13
Effectuer, par soustractions successives, la recherche du PGCD des nombres :
a.
192
et
120
b.
1 071
et
1 764
Exercice 14
a. Calculer le PGCD de
114 400
et
60 775
.
b. Expliquer comment, sans utiliser la touche « fraction » d’une calculatrice, qui simplifie
automatiquement, rendre irréductible la fraction
60 775
114 400
Exercice 15
Écrire sous forme irréductible la fraction
630
924
en donnant le détail du calcul.
Exercice 16
Soient les nombres :
117
A
63
= et
8
B
7
= −
.
a. Expliquer pourquoi la fraction
A
n’est pas irréductible.
b. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.
c. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que
A B
−
est un nombre entier.

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Exercice 17
a. Démontrer que les nombres
65
et
42
sont premiers entre eux.
b. Démontrer que
520 65
336 42
=.
Exercice 18
Rendre irréductible les fractions :
a.
262 080
34 398
b.
109 891 236
1 797 523
Exercice 19
Les fractions
2 682
2 831
et
12 762
13 471
sont-elles égales ?
Exercice 20
Un philatéliste possède
1 631
timbres français et
932
timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa
collection en réalisant des lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la
même répartition de timbres français et étrangers.
a. Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b. Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots ?
Exercice 21
Un collège décide d’organiser une épreuve sportive pour tous les élèves.
Les professeurs composent le plus grand nombre possible d’équipes. Chaque équipe doit
comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
a. Sachant qu’il y a
294
garçons et
210
filles, quel est le plus grand nombre d’équipes que l’on
peut composer ?
b. Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe ?
Exercice 22
Deux livres ont respectivement
480
et
608
pages. Chacun de ces livres est formé de fascicules, ou
« cahiers », qui ont tous un même nombre de pages, compris entre 30 et 50.
a. Quel est le nombre de pages d’un cahier ?
b. Quel est le nombre de cahiers qui composent chacun des deux livres ?
Exercice 23
Un fleuriste dispose de
98
roses rouges et
70
roses blanches. Il veut composer le plus grand
nombre de bouquets contenant le même nombre de fleurs de chaque sorte en les utilisant toutes.
a. Combien de bouquets peut-il composer ?
b. Combien de fleurs de chaque sorte contient chaque bouquet ?
Exercice 24
Les côtés d’un terrain triangulaire mesurent
330
m,
270
m et
255
m. On plante des arbres le long
des côtés, également espacés, avec un arbre à chaque sommet. La distance qui sépare deux arbres
consécutifs est mesurée par un nombre entier de mètres. Quel est le nombre minimum d’arbres qu’il
faut acheter ?
Conseil : calculer le PGCD de deux premiers nombres et vérifier qu’il divise le troisième nombre.

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Exercice 25
Un chocolatier vient de fabriquer
2 668
œufs de Pâques et
2484
poissons en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de poissons de façon que :
• tous les paquets aient la même composition ;
• après la mise en paquet, il ne reste ni œufs, ni poissons.
Aider ce chocolatier à choisir la composition de chaque paquet : donner toutes les possibilités.
Exercice 26
Dire qu’un nombre est abondant signifie qu’il est inférieur à la somme de ses diviseurs propres, c’est-
à-dire ses diviseurs différents de lui-même.
Dire qu’un nombre entier est déficient signifie qu’il est supérieur à la somme de ses diviseurs
propres.
Par exemple, considérons le nombre
10
: ses diviseurs propres sont 1, 2 et 5. La somme de ses
diviseurs propres est
1 2 5 8
+ + =
et
8 10
<
donc
10
est déficient.
Parmi les nombres compris entre
16
et
25
, quels sont ceux qui sont abondants, quels sont ceux qui
sont déficients ?
Exercice 27
Un artisan doit réaliser le carrelage d’une pièce dont les
dimensions et la forme sont données par la figure ci-contre.
L’artisan souhaite utiliser des carreaux de forme carrée
dont le côté soit un nombre entier de centimètres.
a. Quel est le plus grand carreau possible ?
b. Combien de carreaux dont le côté est le plus grand
possible, l’artisan doit-il utiliser ?
Exercice 28
Dans un grand hôtel, on répartit en paquets,
552
serviettes blanches et
782
serviettes bleues. Tous
les paquets de serviettes sont identiques, et contiennent les deux couleurs de serviettes. On veut
constituer un maximum de paquets, et ne pas laisser une seule serviette seule.
a. Combien y a-t-il de paquets ?
b. Quel est le nombre de serviettes blanches et bleues ?
Exercice 29
On pose
20 755 3
M
9 488 8
= −
.
a. Calculer le PGCD de
20 755
et
9 488
.
b. Écrire, en détaillant les calculs, le nombre M sous la forme d’une fraction irréductible.
c.
M
est-il décimal ? Rationnel ? Justifier.