Thème : Les nombres premiers

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Thème : Les nombres premiers
Corrigé de l'activité 1. Autour des nombres premiers (6 exercices)
Exercice 1 Nombres croisés
A
B
C
D
E
1
9
6
7
2
1
2
4
9
4
9
3
9
7
3
3
4
4
4
4
2
3
5
9
7
7
8
1)
Emplacement 3b
Le reste de la division euclidienne de 2001 par 9 est égal à 3.
2)
Emplacement Ea
1 est le seul entier positif n'admettant qu'un seul diviseur positif (tous les autres entiers
positifs ont au minimum deux diviseurs positifs : 1 et eux-mêmes).
3)
Emplacement Eb
Le produit de ses chiffres est     et l'emplacement comporte trois cellules.
Donc les seuls produits possibles sont :
     ;      ;      ;     .
La condition "seul son dernier chiffre est pair" impose donc que le chiffre des unités
soit 8 et donc que le nombre soit égal à 338.
4)
Emplacement 5b
Le produit de ses chiffres est     et l'emplacement comporte trois cellules.
Donc le seul produit possible est       .
Le  ayant déjà été placé, on déduit que le nombre est égal à 778.
5)
Emplacement Db
Les cubes parfaits à deux chiffres sont  et . Un  ayant déjà été placé
dans la cellule D5, 27 est la seule possibilité.
6)
Emplacement 4
Le nombre est formé d'une permutation des chiffres 2, 3, 4, 4, 4.
2 et 3 étant déjà placés le nombre est égal à 44423.
7)
Emplacement C
Le nombre est un palindrome. Le nombre finissant par 4 et 7 déjà placés, commence
donc par 74.
8)
Emplacement 2
Les deux premiers chiffres sont respectivement les mêmes que les deux derniers
chiffres. Un  ayant déjà été placé dans la cellule C2, il y a donc aussi un 4 dans la
cellule A2.
9)
Emplacement A
La somme de ses cinq chiffres est . Or, les chiffres  et  ont déjà été placés. La
somme des trois chiffres manquants est égale à       . Donc la seule
possibilité est que les trois chiffres manquants soient tous des .
10)
Emplacement 3a
Il s'agit d'un multiple de  de trois chiffres. Un  ayant déjà été placé dans la cellule
A3, la seule possibilité est     .
11)
Emplacement 1
Le produit des cinq chiffres est     . Les chiffres  ayant déjà été
placés, il reste à placer deux chiffres dont le produit est  . Ces deux chiffres ne
peuvent donc qu'être  ou bien . Le nombre ne peut donc être que 94731
ou 93741 ou 92761 ou 96721. Or ce doit être un carré parfait. Seul 96721 convient.
12)
Emplacement D
C'est un nombre premier à deux chiffres commençant par un . Seuls 23 ou 29 peuvent
convenir.
13)
Emplacement 2
Les cellules A2 et C2 contiennent déjà un . La cellule D2, d'après l'étape précédente,
contient soit un , soit un . Donc seuls 4343 ou 4949 peuvent convenir.
14)
Emplacement B
D'après l'étape précédente, les deux seuls nombres possibles sont 6374 et 6974.
Seul 6974 est divisible par 11. Donc la cellule B2 contient un 9 et le nombre de
l'emplacement Da est 29.
Remarque : l'ordre n'est qu'indicatif. Certaines étapes
peuvent être permutées.

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Exercice 2 Le crible d'Eratosthène
1)
2) Les nombres entourés sont donc : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89 et 97.
3) Chacun de ces nombres possèdent exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Le crible d'Eratosthène
permet donc de générer les nombres premiers. La liste précédente est donc la liste des nombres premiers
inférieurs à 100.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99

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Exercice 3 Tester la primalité (exercice identique à l’exercice 1 de l’activité 2 « Algorithmes sur les nombres
premiers »)
1) 107 n'est pas divisible par 2, 3, 5, …, 103 : c'est donc un nombre premier.
 227 n'est pas divisible par 2, 3, 5, …, 223 : c'est donc un nombre premier.
 375 est divisible par 5, ce n'est donc pas un nombre premier.
 377 est divisible par 13, ce n'est donc pas un nombre premier.
 379 n’est pas divisible par 2, 3, 5, …, 373 : c'est donc un nombre premier.
 571 n'est pas divisible par 2, 3, 5, …, 569 : c'est donc un nombre premier.
2) Pour 107, il n'est pas utile de tester tous les nombres premiers de 2 jusqu'à 103. En effet, il est certes nécessaire
de tester la division par 2, 3, …
Mais par exemple, le test de la division par 73 est inutile : E(107/73) = 1.
Les élèves auront tendance à énoncer le fait qu'il faut "s'arrêter" à 107/2.
Il faudra relancer le débat en demandant si l'on ne peut pas faire mieux…
Et ce jusqu'à obtenir que si  est composé alors son plus petit diviseur noté  est inférieur ou égal à .
 . Donc il faut et il suffit de tester la division par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à 7.
3) On fait fonctionner l'algorithme sur le papier :
Pour   
19
1er tour de boucle Tant que
2
2e tour de boucle Tant que
3
3e tour de boucle Tant que
4
4e tour de boucle Tant que
5
Sortie de boucle car la condition  ne divise pas  est vraie
et la condition    est fausse
L'affichage est PREMIER.
Preuve : On suppose que a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même. On appelle  le plus petit de ces
diviseurs.
Donc      où  est un diviseur de . Alors :
 il existe un second diviseur  tel que   
 Ce second diviseur est tel que   . Donc       

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Pour   ,
21
1er tour de boucle Tant que
2
2e tour de boucle Tant que
3
Sortie de boucle car la condition  ne divise pas  est fausse
et la condition    est vraie
L'affichage est NON PREMIER.
Pour   ,
53
1er tour de boucle Tant que
2
2e tour de boucle Tant que
3
3e tour de boucle Tant que
4
4e tour de boucle Tant que
5
5e tour de boucle Tant que
6
6e tour de boucle Tant que
7
7e tour de boucle Tant que
8
Sortie de boucle car la condition  ne divise pas  est vraie
et la condition    est fausse
L'affichage est PREMIER.
4) a) Programme TESTA
b) En utilisant ce programme, on affiche :
 19 et 53 sont premiers et 21 n'est pas premier.
 2011 et 2017 sont premiers et 2013, 2015 et 2019 ne pas premiers.
Programme TESTA sur TI
Prompt N
If N ≤ 3
Then
If N=2 ou N=3
Then
Disp "N PREMIER"
Else
Disp "N NON PREMIER"
End
Else
2I
While (partEnt(N/I)≠N/I) et
(I≤ partEnt(√(N)))
Programme TESTA sur Casio
"N="?→N
If N≤ 3
Then
If N=2 Or N=3
Then
"N PREMIER"
Else
"N NON PREMIER"
IfEnd
Else
2→I
While (Intg(N÷I)≠N÷I) And
(I≤ Intg(√(N)))

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c)
TI83
TI83 CE Premium
Casio Graph 35+ USB
TESTA : Durée du test de
la primalité de 7 237 031
75 s
58 s
31 s
5) a) Modification de l'algorithme pour tester la division par  et pour ensuite ne pas tester la division par les autres
nombres pairs :
b) Programmation sur calculatrice :
c) L'amélioration du temps d'exécution du programme est très significative. La durée d'exécution du programme
est divisée par 2. C'est une très nette amélioration pour de grandes valeurs de N.
TI83
TI83 CE Premium
Casio Graph 35+ USB
TESTB : Durée du test de
la primalité de 7 237 031
38 s
29 s
16 s
Déclaration des variables : N et I sont des entiers
Début de l'algorithme
Saisir N
Si   
Alors
Si     
Alors
Afficher "N PREMIER"
Sinon
Afficher "N NON PREMIER"
Fin Si
Sinon
Si  divise 
Alors
Afficher " NON PREMIER"
Sinon
 prend pour valeur 
Tant que (I ne divise pas N) et
(I  E)
I prend la valeur I + 2
Fin Tant que
Si I divise N
Alors
Afficher "N NON PREMIER"
Sinon
Afficher "N PREMIER"
Fin Si
Programme TESTB sur TI
Prompt N
If N ≤ 3
Then
If N=2 ou N=3
Then
Disp "N PREMIER"
Else
Disp "N NON PREMIER"
End
Else
If partEnt(N/2)=N/2
Then
Disp "N NON PREMIER"
Else
3I
Programme TESTB sur Casio
"N="?→N
If N≤ 3
Then
If N=2 Or N=3
Then
"N PREMIER"
Else
"N NON PREMIER"
IfEnd
Else
If Intg(N÷2)=N÷2
Then
"N NON PREMIER"
Else
3→I