Sur les métriques riemanniennes compatibles avec une

Séminaire Ehresmann.
Topologie et géométrie
différentielle
S HIING -S HEN C HERN
Sur les métriques riemanniennes compatibles avec une
réduction du groupe structural
Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle, tome
exp. no 8, p. 1-2
2 (1958-1960),
<http://www.numdam.org/item?id=SE_1958-1960__2__A8_0>
© Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle
(Secrétariat mathématique, Paris), 1958-1960, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation
(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de
ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Faculté des Sciences de Paris
SEMINAIRE DE TOPOLOGIE
ET DE GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
C. EHRESMANN
Janvier I960
SUR LES
METRIQUES RIEMANNIENNES
COMPATIBLES AVEC UNE REDUCTION DU GROUPE STRUCTURAL
Shiing-shen
Soit M
variété différentiable de dimension
une
de M
tangentiel
espace fibré à fibre
est un
à groupe structural GL(n, R). On dit que M
à
sous-groupe r de
un
des
l’espace
Soit W
n.
àr. Alors
peut définir
on
et
n
l’espace
de
classe =
3.
L’espace
r -structure, si le dernier
a une
sur une
un
dual T* de T
fibré
vectoriel réel T à n dimensions
est
GL(n, R). Le groupe ~’ opère dans la fibre typique T
linéaires dans
opérations
CHERN
et
dans les espaces des
qui
sous-espace
est
et
et
réduit
induit
covecteurs
stable par rapport
variété M munie d’une r-structure la notion de forme
différentielle extérieure de
degré q et du type W. Si f est de plus un sous-groupe du
groupe orthogonal O( n), l’espace W C :1~ (T*), qui est orthogonal à W, est aussi stable.
On peut alors définir sur les formes de degré q de M l’opérateur de projection
P~.
Prenons un repère dans T et appelons repères admissibles tous ceux qui s’en déduisent par les opérations de f. ’Jn corepère admissible est par définition le dual d’un
repère admissible. Si
repères
A
ou
une
les
r
M
r -structure,
a une
corepères admissibles
-structure sur
M,
sur
on
M.
O(n),
avec
peut, d’une manière évidente définir les
associée
est
une
métrique
Nous considérons les variétés M munies d’une
des trois conditions suivantes,
qui
sont
riemannienne.
satisfaisant à
d’ailleurs
équivalentes
entre
une
elles :
1) Le groupe d’holonomie homogène de la connexion de Levi-Civita (de la métrique
riemannienne associée)
est
2) par le transport par
tent
r
ou un
sous-groupe de r.
parallélisme
de Levi-Civita les
repères admissibles
res-
admissibles.
3) Il existe
linéaire
non
Nous
une
connexion de torsion nulle, dont le groupe structural
homogène dont r
appellerons
riemannienne
classique
est
la
est
le groupe
Bien entendu, la
géométrie
partie homogène.
telle r
holonome
une
est un cas
particulier,
-structure.
avec
r
=
2
FONDAMENTAL, Soit M
THEOREME
L’opérateur Pw défini
c’est-à-dire : A
riante par r
J
Dans le
ci-dessus
commute
plus,
l’opérateur multiplication
P~
cas
où M
est
variété
compact
et
avec
-structure
holonome.
l’opérateur
Laplace-de Rham
forme différentielle extérieure inva-
une
extérieure par r~
orienté
r
une
de
avec
si r~ est
De
=
une
ce
commute aussi avec
théorème donne
une
analyse
IIodge).
~.
fine de la
cohomologie à coefficients réels de M (via les formes harmoniques de
Voici quelques exemples :
Z~n, ~ = U~m~, considéré comme un sous-groupe de SO ~2m~. C’ est la
Exemple 1. n
formulation réelle de la géométrie kâhlerienne. On peut déduire du théorème fondamental
les conséquences topologiques connues sur les variétés kâhleriennes compactes.
=
Exemple 2. r SO(q) X SO (n-q). Géométriquement cela signifie qu’ il existe un champ
de q-plans orientés sur M, qui sont parallèles par rapport au parallélisme de Levi-Civita.
On déduit du théorème fondamental une analyse de la cohomologie réelle de M. En
particulier, il s’en suit que le q-ième nombre de Betti b q de M est = 1. L’analyse du
donne l’inégalité suivante ~2 = b 1- 1.
cas
L’utilisation des formes harmoniques donne aussi des conséquences concernant la
structure multiplicative de cohomologie de M, et en particulier l’indice (au sens topologique). En effet, soit n - 4k. L’opérateur * définit un endomorphisme linéaire dans
où W1 (resp. W2) est le sous-espace de tous les
et on a
éléments de A21t.(T*) invariants par * (resp. transformés en éléments opposés par * ).
Soit ~~ la dimension de l’espace des formes harmoniques de degré 2k et du type
De ce théorème on déduit par une
W., i 1, 2. Alors l’indice de M est égal à
voie purement algébrique le théorème d’indice de Hodge pour les variétés kâhleriennes
=
=
=
compactes.
Mentionnons
dimension 4k
dants
M
qui
est
l’application
une
variété compacte
et
orientée de
propriété qu’il existe 2k champs de vecteurs linéairement indépenparallèles par rapport à une métrique riemannienne. Alors l’indice de
avec
sont
suivante : Soit M
la
nul.
Référence :
CHERN S., On a generalization of Kähler geometry, Lefschetz
autre
article qui
sera
publié prochainement.
Jubilee Volume, 103-121, Princeton,
et un