NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I. Diviseurs de nombres entiers a) Diviseurs d’UN nombre entier Def : Un nombre entier k est un diviseur du nombre entier a si a est un nombre entier k 27 =9 3 On dit aussi 3 divise 27, ou 27 est un multiple de 3,ou 27 est divisible par 3 Exemple : 3 est un diviseur de 27 car Rappels : Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Def : Un nombre premier est un nombre qui a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Ex : 7, 11 b) Diviseurs communs à deux nombres entiers Def : Un diviseur commun à deux nombres entiers a et b est un nombre entier qui est un diviseur du nombre a ET du nombre b. Exemple : Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Def : Le Plus Grand Diviseur Commun à deux ou plusieurs nombres entiers est appelé PGCD de ces nombres. (In english : greatest common divisor) Exemple : le PGCD de 24 et 18 Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24 Les diviseurs de 18 sont :1, 2,3,6,9 et 18 Les diviseurs communs à 24 et 18 sont : 1,2,3,6. 6 est le plus grand d’entre eux donc 6 est le PGCD de 24 et 18. Def : Deux nombres dont le PGCD est égal à 1 sont appelés nombres premiers entre eux. Leur seul diviseur commun est 1. Exemple : 28 et 15 sont-ils premiers entre eux ? Les diviseurs de 28 sont : 1,2, 4, 7, 14 et 28 Les diviseurs de 15 sont :1, 3, 5 et 15 Le PGCD de 28 et 15 est 1, ils sont donc premiers entre eux. Théorème : Si a ≥ b, alors PGCD(a ;b)= PGCD ( b ; a-b) Exercice-Méthode : Méthode des Soustractions successives Déterminons PGCD(252,360) : - on soustraie le plus grand par le plus petit : 360 – 252 = 108 - on soustraie les plus petits entre eux : 252 – 108 = 144 - on soustraie les plus petits entre eux : 144 – 108 = 36 - on soustraie les plus petits entre eux : 108 – 36 = 72 - on soustraie les plus petits entre eux : 72 – 36 = 36 - on soustraie les plus petits entre eux : 36 – 36 = 0 - la différence est nulle, on arrête. PGCD(252,360) = 36 (dernière différence non nulle) Théorème : Si a ≥ b, alors PGCD(a ;b)= PGCD ( b ; r) où r est le reste de la division Euclidienne de a par b. Exercice-Méthode : L’algorithme d’Euclide Déterminons PGCD(252,360) - on divise le plus grand par le plus petit : 360 252 108 1 - on divise le diviseur précédent par le reste précédent 252 108 36 2 - on divise le diviseur précédent par le reste précédent 108 36 0 3 - le reste est nul, on arrête. PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul) II. Application aux fractions Def : Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible. Propriété : Soit a et b deux nombres entiers, avec b différent de zéro. a Si a et b sont premiers entre eux alors est une fraction irréductible. b 22 Ex : 22 et 25 sont premiers entre eux donc est une fraction irréductible 25 Propriété : Soit a et b deux nombres entiers, avec b différent de zéro. a Si on simplifie la fraction par le PGCD de a et b alors on obtient une fraction b irréductible. Méthode: Les fractions 10 252 et sont-elles irréductibles ? Dans le cas contraire, les 7 360 rendre irréductibles.