eleve-nombres entiers et rationnels - Cahier2texte

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
I.
Diviseurs de nombres entiers
a) Diviseurs d’UN nombre entier
Def : Un nombre entier k est un diviseur du nombre entier a si
k
a
est un nombre entier
Exemple : 3 est un diviseur de 27 car 9
3
27 =
On dit aussi 3 divise 27, ou 27 est un multiple de 3,ou 27 est divisible par 3
Rappels : Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair,
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
- par 10, si son chiffre des unités est 0,
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Def : Un nombre premier est un nombre qui a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Ex : 7, 11
b) Diviseurs communs à deux nombres entiers
Def : Un diviseur commun à deux nombres entiers a et b est un nombre entier qui est
un diviseur du nombre a ET du nombre b.
Exemple :
Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Def : Le Plus Grand Diviseur Commun à deux ou plusieurs nombres entiers est appelé PGCD
de ces nombres.
(In english : greatest common divisor)
Exemple : le PGCD de 24 et 18
Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24
Les diviseurs de 18 sont :1, 2,3,6,9 et 18
Les diviseurs communs à 24 et 18 sont : 1,2,3,6.
6 est le plus grand d’entre eux donc 6 est le PGCD de 24 et 18.
Def : Deux nombres dont le PGCD est égal à 1 sont appelés nombres premiers entre eux.
Leur seul diviseur commun est 1.
Exemple : 28 et 15 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 28 sont : 1,2, 4, 7, 14 et 28
Les diviseurs de 15 sont :1, 3, 5 et 15
Le PGCD de 28 et 15 est 1, ils sont donc premiers entre eux.

Théorème : Si a ≥ b, alors PGCD(a ;b)= PGCD ( b ; a-b)
Exercice-Méthode : Méthode des Soustractions successives
Déterminons PGCD(252,360) :
- on soustraie le plus grand par le plus petit :
360 – 252 = 108
- on soustraie les plus petits entre eux :
252 – 108 = 144
- on soustraie les plus petits entre eux :
144 – 108 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
108 – 36 = 72
- on soustraie les plus petits entre eux :
72 – 36 = 36
- on soustraie les plus petits entre eux :
36 – 36 = 0
- la différence est nulle, on arrête.
PGCD(252,360) = 36 (dernière différence non nulle)
Théorème : Si a ≥ b, alors PGCD(a ;b)= PGCD ( b ; r) où r est le reste de la division Euclidienne
de a par b.
Exercice-Méthode : L’algorithme d’Euclide
Déterminons PGCD(252,360)
- on divise le plus grand par le plus petit :
360 252
108 1
- on divise le diviseur précédent par le reste précédent
252 108
36 2
- on divise le diviseur précédent par le reste précédent
108 36
0 3
- le reste est nul, on arrête.
PGCD(252 , 360) = 36 (dernier reste non nul)

II. Application aux fractions
Def : Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible.
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers, avec b différent de zéro.
Si a et b sont premiers entre eux alors
b
a
est une fraction irréductible.
Ex : 22 et 25 sont premiers entre eux donc
25
22
est une fraction irréductible
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers, avec b différent de zéro.
Si on simplifie la fraction
b
a par le PGCD de a et b alors on obtient une fraction
irréductible.
Méthode:
Les fractions
7
10
et
360
252
sont-elles irréductibles ? Dans le cas contraire, les
rendre irréductibles.