formula théorème -fait

NANOPHYSIQUE
INTRODUCTION PHYSIQUE AUX NANOSCIENCES
4. NANOTUBES DE CARBONE
(partie 2)
James Lutsko
2016­2017
Nanotubes de carbone
• Introduction
– Histoire
– Carbone
– Hybridization
• Tight­binding calculations
– Principe
– Example: trans – Graphene liens
– Graphene liens
•
•
•
•
•
Structure de carbone nanotubes
Structure Electronique
Synthesis
Transport
Multi­walled nanotubes
Histoire de synthesis
• La découverte de nanotubes de carbone – Nanotubes Multifeuillets (Iijima, Nature, 1991)
– Nanotubes Monofeuillets (Iijima & Ichihashi Nature 1993, Bethune et al Nature 1993)
• La découverte de méthodes efficaces de production des nanotubes monofeuillets (quantité de 1 gramme).
– Laser vaporisation (Thess et al, Science, 1996).
– Carbon arc method (Journet et al, Nature 1997).
Je présente seulement deux méthodes ­ il ya beaucoup d'autres.
Laser vaporisation
Cible: graphite + catalyseur métallique à base de Ni, Co et Fe (pour produit des nanotubes monofeuillets).
R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes
(Imperial College Press, London, 1998)
Température élevée empêche crystallziation
Le gaz inerte agit pour transporter les tubes au collecteur.
Propriétés très spécifiques: par exemple, presque seulement les nanotubes (10,10), (9,9) et (12,8)
Arc vaporisation
Le graphite se sublime à 3200C
Arc electrique: ~30V, 50­120A
avec deux electrode de graphite
(plus catalyseur pour faire les nanotubes monofeuillet).
R. Saito, G. Dresselhaus & M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes
(Imperial College Press, London, 1998)
L'anode se consume pour former un plasma.
Le plasma se condense sur la cathode.
Le gaz inerte fonction seulement pour contrôle la température.
Un method qui n'est pas cher, qui est flexible, et qui produit le grand quantitie.
Nanotubes de carbone
• Introduction
– Histoire
– Carbone
– Hybridization
• Tight­binding calculations
– Principe
– Example: trans – Graphene liens
– Graphene liens
•
•
•
•
•
Structure de carbone nanotubes
Structure Electronique
Synthesis
Transport
Multi­walled nanotubes
Transport: les échelles
• La moyenne parcours libre:
Lm
– La distance moyenne un électron se déplace avant qu'il répand à partir d'un centre de diffusion.
• La longueur d'onde Fermi:
λ F =2 π/ k F
– La longueur d'onde de de Broglie pour les électrons à le niveau Fermi. • La longueur de relaxation de phase:
Lϕ
– La distance dans laquelle la phase d'un électron est préservée. Les collisions élastiques ne change pas le phase: seules les collisions qui changent l'énergie de l'électron. Donc, c'est la longueur moyenne entre des collisions inélastiques.
Pour transport, c'est seul les électrons près de l'énergie Fermi qui participes. Donc, on introduit les éschelles de temps
L m=v F t m ,
L ϕ =v F t ϕ
Le temps de relaxation de la quantité de mouvement et le temps de relaxation de phase: ce sont les ℏkF
temps pour un changement cumulatif de la quantité de mouvement de et de phase de 
Vitesse dans l'etats Bloch
États de Bloch sont des états étendus et ont une vitesse typique. En effet,
−1 ∂ E
⟨v ⟩=ℏ
∂k
Preuve:
L'action de la Hamiltonian sur un état de Bloch est
H ψ=E ψ∧ψ(r)=e
i k⋅r
u(r)→ H (k) u(r )=E (k)u (r )
On demande le développement de l'énergie comme:
2
∂E 1
∂ E
E (k+ q)=E (k)+q⋅
+ qq⋅
+...
∂k 2
∂k∂k
Notez que la Hamiltonian peut être écrit comme
ℏ2 1
ℏ2 2
H (k +q)= H (k)+ q⋅ ∇ + k +
q
m
i
2m
(
)
Donc, on peut developper l'effet de “q” avec la theorie de perturbation
Vitesse dans l'etats Bloch
Alors, il suit que
2
( (
))
ℏ 1
2
E (k+ q)=E (k)+∫ ̄u (r) q⋅
∇ + k u(r )d r +O (q )
m i
On prende la limite de sorte que
q→0
∂ E (k +q)
∂E
ℏ2 1
=lim q → 0
=∫ ̄u (r )
∇ + k u(r ) d r
∂k
∂q
m i
( (
ℏ2 1
̄ (r ; k)
=∫ ψ
∇
m i
( ( ))
))
ψ(r ; k) d r
2
ℏ
=⟨ ψ∣
∇ ∣ψ⟩
im
Mais, l'opérateur de vitesse est défini par
v=
Donc, on voit que
dr
=(1/i ℏ)[r , H ]= p / m=ℏ ∇ /mi
dt
∂E
=ℏ ⟨v ⟩
∂k
Ballistic transport
L
L≪ L m , L ϕ


μ 2 −μ 1=eV
Ballistic transport ↔ pas le diffusion des électrons; le libre mouvement des électrons.
Le courant est transporté par des électrons ayant des énergies entre les deux resevoirs: μ1 > E q (k )>μ 2
Ballistic transport
L
L≪ L m , L ϕ

μ 2 −μ 1=eV

Prob. Que il y a un electron d'energie E_{q} I=
∑
μ 1 > E q (k )>μ 2
e
t (q , k )
(
f ( E (k )−μ )(1− f (E (k )−μ )) −⏟
f ( E (k )−μ )(1− f (E (k )−μ ))
⏟
q
1
q
2
prob. qu'il y a un electron dans 1 et un trou dans 2 avec E q (k )
=
∑
μ 1 > E q (k )>μ 2
=
q
2
prob. pour la courant inverse
e
( f (E q (k )−μ1 )− f ( E q (k )−μ 2 ))
L / v(q , k )
e
∑
v (q , k ) ( f (E q (k )−μ1 )− f ( E q (k )−μ 2 ) )
L μ > E (k )>μ
1
q
2
q
1
)
Ballistic transport
L
L≪ L m , L ϕ


μ 2 −μ 1=eV
e
∑ v(q , k ) ( f ( E q (k )−μ 1)− f ( E q ( k )−μ 2))
L μ > E ( k )>μ
e
−1 ∂ E q (k )
=
ℏ
( f ( E q (k )−μ1)− f (E q (k )−μ 2 ))
∑
L μ > E ( k )>μ
∂k
I=
1
1
q
q
2
2
Repellez­vous que
e
I= ×
2⏟
L dégénérescence
×
spin
Δk=
2π
L
donc
L
−1 ∂ E q (k )
×∑q ∫k > 0 ℏ
f ( E q (k )−μ 1 )− f ( E q ( k )−μ 2 ) ) dk
(
2π
∂k
=
2e
∫ ( f ( E−μ 1)− f ( E −μ 2 )) M ( E ) dE
h
Nombre des états (somme sur q, k) avec l'énergie E
Ballistic transport
L
L≪ L m , L ϕ

M

μ 2 −μ 1=eV
2e
∫ ( f ( E−μ1)− f ( E −μ 2)) M ( E) dE
h
2e
∼
M (μ 1 −μ 2 )
h
2 e2
∼
M VC
h
I=
h 1
1 12.9
≡R
=
kΩ
0
2
M
M
M
2e
−6 −1
G C =G 0 M = M ×77.5×10 Ω
RC =
“Contact resistence”: resistence sans diffuseur
“Contact conductance”
Classique transport
L
Lϕ ≪ Lm ≪ L
Limite incohérentes: grande changement de phase dans le moyenne parcours libre M


μ 2 −μ 1=eV
Avec un seul diffuseur
2
2
2e
2e M 2
G=
MT≡
∑∣t ∣
h
h ij ij
R= R0
1
MT
(L∼L m )
"Landauer formula"
R fil =R−Rc =R 0
1−T
R
= R0
MT
MT
T =transmission probability
R =1−T =reflection probability
Classique transport
L
Lϕ ≪ Lm ≪ L
M

μ 2 −μ 1=eV

Avec deux diffuseur
( L≫ L m)
T2
T1
+
T1
R
R1
T2
2
+
T 1T 2
1−R 1 R 2
1−T 12 1−T 1 1−T 2
=
+
T 12
T1
T2
T 12 =
R fil =Rc
1−T
T
T 12 =T 1 T 2 ( 1+R 1 R 2 +(R 1 R 2 )2 +... )
T1
R
2
R1
R
2
R1
T2
Limite incohérentes: pas d'interférence donc, les probabilités somme.
Classique transport
L
Lϕ ≪ Lm ≪ L

M
μ 2 −μ 1=eV

Avec deux diffuseur ( L≫ L m)
1−T 12 1−T 1 1−T 2
=
+
T 12
T1
T2
1−T
R fil =R0
MT
R N = R0
R2 scatterers =R scatterer + R scatterer
1
2
(M constante)
N
1−T j
1
1 L 1−T
× ∑ j=1
=R0
,
M
M
L
T j
T
m
(N diffuseur)
T =transmission probabilite per Lm
Classique transport
L
Lϕ ≪ Lm ≪ L

M
R fil =
R 0 1−T
L,
M Lm T

μ 2 −μ 1=eV
T =transmission probabilite per L m
Résultat classique: constante résistance pour unité de longueur
Localization
L
Lm ≪ Lϕ ≪ L

M

Limite cohérentes: l'interférence est importante donc, les amplitudes somme.
μ 2 −μ 1=eV
t 12 =
t1t2
1−r 1 r 2 e
iθ
ou  est le décalage de phase T T
T 12 =∣t 12∣2 = 1 2
1−2 √ R 1 R 2 cos θ+R 1 R 2
R 0 1−T 12
R 0 1+R 1 R 2 −T 1 T 2
R12 = ⟨
⟩=
M T 12 θ M
T 1T 2
R12 =R1 + R 2 + 2R 1 R 2 ( M / R0 )
Localization
L
Lm ≪ Lϕ ≪ L

M

Limite cohérentes: l'interférence est importante donc, les amplitudes somme.
μ 2 −μ 1=eV
R12=R1 + R 2 +2R 1 R2 ( M / R0 )
Soit partie 1 a longueur L
est partie 2 longueur R ( L+Δ L)=R (L)+ R (Δ L)+2R ( L) R (Δ L)( M / R 0 )
dR( L)
→Δ L
=R(Δ L)+2 R( L) R (Δ L)( M / R 0 )
dL
dR
→Δ L
=(R 0 / M )+2 R
dL
→ R ( L)=(R 0 /2 M ) ( e 2 L/Δ L −1 )
lim L→ ∞
Δ L∼L m≪ Lϕ
R ( L)
→∞
L
“Localization”
Résumé: Types de Transport
L≪ L m , L ϕ
Ballistique
Lϕ ≪ Lm ≪ L
Classique
Lm ≪ Lϕ ≪ L
Localization
Lm
Lϕ
diminue par rapport de la concentration d'impurities.
diminue par rapport de la concentration de phonons (e g la température).
DOUBLES NANOTUBES DE CARBONE
Feuillets de graphène enroulés sur eux­mêmes
Deux exemples de nanotubes à double paroi (DWNT):
6.1 nm
armchair­armchair DWNT:
(4,4)@(9,9)
N1 = 400 N2 = 900
zigzag­armchair DWNT:
(7,0)@(9,9)
N1 = 406 N2 = 900
Moteur à axe en nanotubes de carbone
A. M. Fennimore, T. D. Yuzvinsky, Wei­Qiang Han, M. S. Fuhrer, J. Cumings & A. Zettl, Nature 424 (2003) 410.
Fréquence de rotation ~ Hertz
300 nm
Zettl, Berkeley, USA
But: détermination des propriétés mécaniques des nanotubes multifeuillets.
Problème: pour un system si petit, on ne peut pas négliger l'effet de fluctuations thermique.
Solution: nous devons formuler une dynamique qui comprend l'effet déterministe et stochastique.
Plan: Un petit résumé de la théorie de la dynamique stochastique suivie par une présentation du projet de Servantes et Gaspard.
Frequence > 1 Ghz
Mouvement Brownien : Processus de Langevin
Particule brownienne en suspension dans un liquide: rayon a = 1 m.
équation de Newton pour son mouvement:
2
d r
m 2 =F ext +F liq
dt
1) force due à un potentiel extérieur:
∂U ext
F ext =−
∂r
2) force due aux collisions avec les molécules environnantes:
N
F liq =∑i=1 −
∂U (r −r i )
∂r
001
3) Approximation: Le liquide a deux effets : la particule donne énergie au liquide (friction visqueuse) et le liquide donne énergie à la particule (fluctuations) :
101
D'apres Stokes: 111
011
F liq =F visc + F fluc
F visc =−mz
dr
dt
La force des flucutations est aléatoire.
mz=6 π a η
Mouvement Brownien : Processus de Langevin
∂ U ext
d2 r
dr
m 2 =−
−mz
+ F fluc
∂
r
dt
dt
L’équation de Newton avec cette force aléatoire ou stochastique est appelée équation de Langevin. 4) La nature de la force stochastique Pour décrire la force stochasique, on peut invoquer le théorème central limite selon lequel une somme de nombreuses variables est une distribution gaussienne. En particulier, sa moyenne statistique s’annule:
001
⟨ F fluc ⟩=0
Par ailleurs, les molécules se déplacent si vite que la force à un instant donné est essentiellement indépendante de celle à un instant suivant. Ceci se traduit en disant 101
011
que la fonction de corrélation statistique de la force est égale à zéro dès que t ≠ t’
111
⟨ F fluc (t) F fluc (t ')⟩=0,
t ≠t '
Mouvement Brownien : Processus de Langevin
4) La nature de la force stochastique: pour élucider la nature de la force stochasique, nous étudions un système sans force exterior pour laquelle nous nous attendons le comportement diffusif.
d2 r
dr
m 2 =−mz
+F fluc (t)
dt
dt
t
dr
zt d r
m e zt
−m e
=∫t e zs F fluc (s)ds
dt
dt 0
1 t − zs s zs '
−z(t −t )
−1
r (t )−r (t 0 )=z (1−e
)v (t 0 )+ ∫t e ∫t e F fluc (s ' )ds '
m
1 t
−z (t−t )
−1
=z (1−e
) v(t 0 )+ ∫t (1−e z (s−t) ) F fluc (s)ds
mz
0
( )
0
0
0
0
0
0
2
⟨ ( r (t )−r (0) ) ⟩=z−2 (1−e−z(t −t ))2 ⟨ v (t 0 ) v(t 0 )⟩
001
t
2
+ 2 (1−e−z (t−t ) )∫t (1−e z ( s−t ))⟨ F fluc (s) v (t 0 )⟩ ds
mz
t
1011 t
z (s−t )
z (s ' −t)
101
+
ds
ds
'
(1−e
)(1−e
)⟨ F fluc (s) F fluc (s ' )⟩
∫
∫
0
(mz)2 0
0
0
0
111
besoin de ⟨v (t 0 ) v(t 0 )⟩ , ⟨ F fluc (s) v (t 0 )⟩
Mouvement Brownien : Processus de Langevin
4) La nature de la force stochastique t
v (t)−e− z (t−t ) v (t 0 )=m−1 e−zt ∫t e zs F fluc (s) ds
0
0
r (t )−r (t 0 )=z−1 (1−e−z(t −t ) )v (t 0 )+
0
t≥t 1 >t 0 :
⟨ v(t) F fluc (t 1 )⟩−e
−z(t −t 0 )
1 t
z (s−t )
(1−e
) F fluc ( s) ds
∫
mz t
0
−1 −zt
⟨⏟
v (t 0 ) F fluc (t 1 )⟩ =m e
t
∫t
0
e zs ⟨ F fluc (s) F fluc (t 1)⟩ ds
=0
⟨v (t ) v(t 1 )⟩−e
t 0 →−∞ :
−z (t −t 0 )
−1 −zt
⟨ v (t 0) v (t 1 )⟩=m e
t
∫t
0
e zs ⟨ F fluc ( s) v (t 1 )⟩ ds
t
−1 −zt
⟨ v (t ) F fluc
∫−∞ e zs ⟨ Ffluc (s) Ffluc (t 1)⟩ ds
001(t 1 )⟩=m e
t
t1
⟨ v (t ) v (t 1 )⟩=m−1 e−zt ∫−∞ e zs ⟨ F fluc (s) v (t 1 )⟩ ds=m−1 e− zt ∫−∞ e zs ⟨ F fluc (s) v (t 1)⟩ ds
101
011
111
Mouvement Brownien : Processus de Langevin
4) La nature de la force stochastique − z (t−t 0 ) 2
−2
⟨ ( r (t )−r (t 0 ) )( r (t)−r (t 0 ) ) ⟩=z (1−e
) ⟨ v(t 0 ) v (t 0 )⟩
t
t
1
z( s−t )
z (s '−t )
+
ds ∫t ds ' (1−e
)(1−e
)⟨ F fluc (s) F fluc (s ' )⟩
2 ∫t
(mz)
0
0
t
∫−∞ e zs ⟨ Ffluc (s) Ffluc (t 1)⟩ ds
t
−1 −zt
zs
⟨ v (t )v (t 1 )⟩=m e ∫−∞ e ⟨ F fluc (s) v (t 1 )⟩ ds
−1 −zt
⟨ v (t ) F fluc (t 1 )⟩=m e
1
Le modèle le plus simple:
⟨ F fluc (t ) F fluc (t ')⟩= γ δ(t−t ')
−z (t −t 1 )
⟨ v (t ) F fluc (t 1 )⟩= γ m−1 e
001
1 −z (t−t )
⟨v (t) v(t 1 )⟩= γ
e
2zm 2
1
101
011γ
t
γ
z (s−t) 2
(1−e
) ds
∫
3
2
t
2z m
(mz)
111
γ
γ
2
1
−z (t−t ) 2
−z(t −t )
−2 z(t −t )
= 3 2 (1−e
)+
)+ (1−e
))
2 (t−t 0 − (1−e
z
2
z
2z m
(mz)
⟨ ( r (t)−r (t 0 ) )( r (t)−r (t 0 )) ⟩=
− z(t−t ) 2
(1−e
)+
2
0
0
0
0
0
Mouvement Brownien : Processus de Langevin
4) La nature de la force stochastique ∂⟨r i r j ⟩
∂P
2
2
= D ∇ P→
=∫ r i r j D ∇ P d r=2D δ ij
∂t
dt
Diffusion:
2D δ ij =lim t −t ≫1/ z
0
⟨ ( ri (t)−r i (t 0 ) )( r j (t )−r j (t 0 ) ) ⟩
γ
= ij 2
t −t 0
(mz)
“Fluctuation­dissipation relation”
d2 r
dr
m 2 =−mz
+ F fluc (t ) ,
dt
dt
⟨ F fluc (t) F fluc (t ' )⟩=2D(mz)2 1 δ(t −t ' )
001
Aussi,
101
011
m
1
m
1
1
⟨ v i (t ) v j (t)⟩= k B T δij → γij
=
k B T δij → γij =2zmk B T δ ij →mzD=k B T
2
2
2 111
2
2
2zm
“Einstein relation”
Equations de Langevin et de Fokker­Planck
d xi
m
=b i ( x)+ F i (t ), ⟨ F i (t) F j (t ')⟩=2Dij δ(t−t ')
dt
t →t k =k τ
x i (t )→ x i (t k )≡x ik
xik +1 −x ki
δ kk '
K
k
k
k'
=b
(
x
)+
F
,
⟨
F
(t
)
F
(t
'
)⟩=2D
i
i
i
j
ij τ
τ
Equation de Langevin:
Discrétisé:
Distribution:
p ( y ; t)≡⟨δ(x (t)− y)⟩→ p( y ; k)≡⟨δ(x k − y)⟩
Equation de Fokker­Planck:
p ( y ; k +1)− p( y ; k ) δ( x k + 1− y )−δ( x k − y)
=⟨
⟩
τ
τ
k +1
k
k+1
k
2
x ki +1 −x ki ∂001
(x
−x
)(
x
−x
k
i
i
j
j)
∂
=⟨
δ( x − y)+
δ( x k − y)+...⟩
τ
k
k
k
2τ
∂ xi
∂ xi ∂ x j
2
x ki + 1−x ki
( x ki + 1−x ik )( x kj +1 −x kj )
k
k
∂
∂
011
=− 101⟨
δ(
x
−
y)⟩+
⟨
δ(
x
− y)⟩+...
τ
∂ yi
∂ yi ∂ y j
2τ
2
1
k111 k
k
∂
∂
=−
⟨ ( bi ( x )+ F i ) δ( x − y)⟩+
⟨ ( b i ( x k )+ F ki )( b j (x k )+F kj ) τ δ(x k − y)⟩+...
∂ yi
2 ∂ yi ∂ y j
Equations de Langevin et de Fokker­Planck
xik +1 −x ki
k
k
=b
(
x
)+
F
i
i ,
τ
Equation de Langevin:
δ
⟨ F ki F kj ' ⟩=2Dij τkk '
Equation de Fokker­Planck:
p ( y ; k +1)− p( y ; k )
∂ ⟨ ( b ( x k )+ F k ) δ( x k − y)⟩
=−
i
i
τ
∂y
i
1 ∂2
+
τ ⟨ ( b i (x k )+F ik )( b j ( x k )+ F kj ) δ( x k − y )⟩+...
2 ∂ yi ∂ y j
k
k
k
=− ∂ bi ( y)⟨δ( x − y)⟩− ∂ ⟨ F i δ( x − y)⟩
∂ yi
∂ yi
1 ∂2
+
τ ⟨ F ki F kj δ( x k − y)⟩+...
2 ∂ yi ∂ y j
k
k
001
k
k
k
k
F et x sont non corrélés à cause de causalité, ainsi ⟨ F x ⟩=⟨ F ⟩⟨ x ⟩ , etc.
2
p ( y ; k +1)− p( y ; k)
∂
∂
=−
b ( y ) p( y ; k )+
D p ( y ; k )+O( τ)
τ
101
011
∂y i
∂ y ∂ y ij
i
111
i
j
dp( y ; t)
=− ∂ b i ( y) p( y ;t )− ∂ Dij p ( y ; t)
dt
∂ yi
∂ yj
(
)
Equations de Langevin et de Fokker­Planck
Equation de Langevin:
d xi
m
=b i ( x)+ F i (t ),
dt
⟨ F i (t) F j (t ')⟩=2Dij δ(t −t ')
Equation de Fokker­Planck:
dp( y ; t )
=− ∂ b i ( y ) p( y ;t )− ∂ Dij p ( y ; t)
dt
∂ yi
∂ yj
(
)
Notez: Si la dynamique déterminée est conservatrice b i (x)=−K ij
∂V (x)
∂xj
et s'il y a un relation fluctation­dissipation 001
il y a un état stationnaire.: 101
011
111
K ij=ϵ D ij
(
)
∂V
0=− ∂ −ϵ Dij
p( y ;t )− ∂ D ij p( y ; t )
∂ yi
∂ yj
∂yj
∂ D e ϵV p ( y ; t)
= ∂
∂ y i ∂ y j ij
(
)
→ p= Ae −ϵV
Equations de Langevin et de Fokker­Planck
Equation de Langevin:
dr
=v
dt
∂ U ext
dv
m
=−mz v−
+ F fluc (t),
dt
∂r
Equation de Fokker­Planck:
⟨ F fluc (t ) F fluc (t ' )⟩=2D(mz)2 1 δ(t −t ' )
p (r , v ; t)
[
]
v
0
∂p
+ ∇⋅J=0 avec J= 1 ∂ U ext
p−
∂t
0
−
−z v
m ∂r
001
101
[(
]
[
2
∂p ∂
1 ∂u ext
2 ∂ p
∂
+ ⋅v p+ ⋅ −
−z v p = Dz 2
∂t ∂r
∂v
m ∂r
∂ v
011
111
)
[]
∂p
0
∂r
2 ⋅
Dz 1 ∂ p
∂v
]
Equation de Langevin et de Fokker­Planck : le cas de grand frottement
Equation de Langevin:
∂ U ext
d2 r
dr
m 2 =−
−mz
+ F fluc (t)
∂r
dt
dt
⟨ F fluc ⟩=0, ⟨ F fluc (t ) F fluc (t ')⟩=2D(mz)2 1 δ(t −t ' )
Relation d’Einstein entre diffusion et friction (ou mobilité):
D=
k BT
z
Cas limite avec grand frottement: typiquement r (t )→ r̃ (t / z) donc, si s≡t / z :
∂U ext
m d 2 r̃
d r̃ ̃
̃ fluc ⟩=0, ⟨ F̃ fluc (t ) F
̃ fluc (t ')⟩=2k B Tm2 1δ(s−s ')
=−
−m
+ F fluc (t ), ⟨ F
2
2
∂ r̃
ds
z ds
et le terme de deuxième ordre est négligeable. Dans ce cas
001
101
dr
1 ∂U ext 1
=−
+
F (t )
dt
mz ∂ r
mz fluc
011
111
dp(r ; t )
=− ∂ V i (r ) p (r ;t )− ∂ D p (r ;t )
dt
∂ ri
∂ ri
(
)
Equation de Fokker­Planck
[(
]
2
Equation de Fokker­Planck: ∂ p + ∂ ⋅v p+ ∂ ⋅ − 1 ∂U ext −z v p = Dz 2 ∂ p
∂t ∂r
∂v
m ∂r
∂2 v
solution stationnaire d’équilibre:
)
[
2
U (r )
mv
p eq (r , v ; t )=N exp −
− ext
2k B T
kBT
]
vérification:
∂2 p
v
Dzm
Dz 2 =Dz 2 ∂ ⋅ −m
p = ∂ ⋅−
z v p = ∂ ⋅(−z v p ) Einstein relation
∂v
kB T
∂v
kB T
∂v
∂ v
2
[(
∂ ⋅ − 1 ∂ U ext
∂v
m ∂r
(
) (
)
∂U
1 ∂U
∂p ∂
v
∂ ⋅( z v p )
−z v ) p =(−
⋅
+
⋅
[
−z
v
p
]
=
⋅
p
−
] m ∂r ) ∂ v ∂v ( ∂r k T ) ∂v
ext
ext
B
∂ ⋅v p= ∂ U ext⋅ v p
∂r
∂ r kB T
001
101
111
Equation de Fokker­Planck:
011
[(
]
zk B T ∂2 p
∂p ∂
1 ∂U ext
∂
+ ⋅v p+ ⋅ −
−z v p =
∂t ∂r
∂v
m ∂r
m ∂2 v
)
PENDULE
Equation de Langevin:
d2 r
dr
m 2 =−k r−mz
+ F fluc (t )
dt
dt
⟨ F fluc ⟩=0
2
⟨ F fluc (t ) F fluc (t ')⟩=2D(mz) 1 δ(t−t ' )
Période des oscillations:
Temps de relaxation:
ω=
t relax =
√
1
z
k
m
k 2
U ext = r
2
F ext =−k r
√
2π
m
T = ω =2 π
k
Pendule sous­amorti: effets inertiaux dominants: oscillations amorties
T << t relax
001
Pendule sur­amorti: effets inertiaux négligeables: oscillations absentes dr
k
1
=− r +
F (t)
dt
mz
mz fluc
T >> t relax
101
011
111
(systèmes biologiques)
Role des fonctions de correlation temporelle
Mouvement brownien: friction et diffusion
Friction: formule de Kirkwood [J. G. Kirkwood, J. Chem. Phys. 14 (1946) 180] entre le coefficient de friction et la fonction d’autocorrelation de la force fluctuante:
1
∞
∫−∞
dt ⟨ F fluc (0)⋅F fluc (t )⟩
6kB T
1
∞
mz=
∫−∞
dt ⟨ F fluc , x (0) F fluc , x (t)⟩
2 kBT
mz=
Diffusion: formule de Green­Kubo [M. S. Green, J. Chem. Phys. 20 (1952) 1281; 22 (1954) 398;
R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn 12 (1957) 570]
entre le coefficient de diffusion et la fonction d’autocorrelation de la vitesse:
001
1 ∞
dt ⟨ v(0)⋅v (t)⟩
∫
−∞
6
101
011
1 ∞
D= ∫−∞ dt ⟨v x (0)v x (t )⟩
2
111
D=
Formules d’Einstein­Helfand et de Green­Kubo: Diffusion
Formule d’Einstein­Helfand:
D=lim t →∞
1
⟨ ( x t −x 0 )2 ⟩
2t
1 ∞
∫ dt ⟨v x (0)v x (t)⟩
D= −∞
2
Formule de Green­Kubo:
1
⟨ ( x t −x 0 )2 ⟩
2t
t
t
1
=lim t → ∞ ⟨∫ v x (s1 )ds1 ∫ v x (s2 )ds2 ⟩
2t 0
0
D=lim t →∞
Connection:
t
t
1
=lim t → ∞ ∫ ∫ ⟨v x (s1 ) v x (s2 )⟩ ds1 ds2
2t 0 0
t
=lim t → ∞ ∫ ⟨ v x (t ) v x (s)⟩ ds
" l'Hospital's rule"
0
t
001
=lim t → ∞ ∫ ⟨ v x (t −s) v x (0)⟩ ds "stationnarité"
101
011
0
t
∞
=lim t → ∞ ∫ ⟨ v x (u) v x (0)⟩ du=∫ ⟨v x (u) v x (0)⟩ du
111
∞
0
1
= ∫ ⟨v x (u) v x (0)⟩ du
2 −∞
0
"stationnarité"
dx
v x=
dt