www.kholaweb.com M7.3. Chute d`un météorite. Enoncé. Un

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M7.3. Chute d’un météorite.
Enoncé.

Un météorite, de masse m, a, très loin de la Terre, une vitesse v o de module vo portée par une droite 
située à une distance b du centre O de la Terre. On suppose que le météorite est soumis uniquement au
champ gravitationnel terrestre et qu’il n’y a jamais de forces de frottement. Soit A le point de la trajectoire
tel que la distance Terre-météorite soit minimale. On note OA = d. On supposera que la Terre reste
immobile dans un référentiel galiléen.
m
o
c
.
b
e
w
a
l
o
h
On veut déterminer à partir de quelle valeur de b le météorite s’écrasera sur la Terre.
On notera G la constante de gravitation, M la masse de la Terre, supposée sphérique, homogène, de masse
volumique , de rayon R.
k
.
w
1. Donner l’expression de la force de gravitation en un point P de la trajectoire tel que OP= r. Calculer
l’énergie potentielle Ep (r) du météorite en ce point. On prendra Ep( ) = 0.
w
w
2. Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du mouvement? On donnera une
justification. En déduire que la trajectoire est plane.
3. Donner l’expression de la vitesse en coordonnées polaires. Montrer qu'en A, point de la trajectoire le


plus proche de O, la vitesse v1 (de norme v1 ) est orthogonale à OA .
4. En explicitant la question 2), trouver deux relations liant b, d, G, M, vo, v1 .
En déduire l'expression de d en fonction de G, M, b, vo.
Soit R le rayon de la Terre. Quelle condition doit satisfaire b pour que le météorite de vitesse initiale vo
rencontre la Terre ?
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M7.3. Chute d’un météorite.
Corrigé.
m
o
1. Force. Energie potentielle.
La force de gravitation s’exerçant sur le météorite en un point P de sa trajectoire a pour expression :

Mm 
Mm 
F  G
uOP  G 2 u r
OP 2
r

Remarque : Dans cette expression de la force de gravitation le vecteur u r est a priori celui de la base
sphérique et non celui de la base cylindro-polaire car on ne sait si le mouvement du météorite est plan ou
pas.
c
.
b
e
w
a
l
o
h
Si la force de gravitation dérive d’une énergie potentielle son travail élémentaire doit être égale à l’opposé
de la différentielle d’une fonction appelée énergie potentielle (ce qui revient à dire que le travail de cette
force entre deux points donnés de l’espace ne dépend pas du chemin suivi par le point P entre ces deux
points) :
 

Mm 
W  F .dOP  G 2 u r .d ru r
r


Mm 
W  G 2 u r . dru r  rdu r
r


Mm 
Mm 
W  G 2 u r .dru r  G 2 u r .rdu r
r
r

 
Comme le vecteur u r est unitaire, le produit scalaire u r .du r est nul. On a ainsi :

GMm 
Mm 
Mm

W  G 2 u r .dru r  G 2 dr  d 
r
r
 r 
k
.
w

w
w
 

On peut donc écrire le travail élémentaire de la force de gravitation sous la forme :
GMm 
  dE P
W  d 
 r 
GMm 
 
dE P  d 
 r 
EP  
GMm
 Cste
r
Si l’on prend E P r    0 on a alors Cste = 0. On obtient :
EP  
GMm
r
2. Grandeurs conservées.
Le météorite n’étant soumis qu’à la force gravitationnelle qui est conservative (car dérivant d’une énergie
potentielle), il y a conservation de son énergie mécanique :
Em 
1
GMm
mv 2 
 Cte
2
r
Comme le champ de force est central, le moment cinétique se conserve au cours du temps, en effet :



LO  OP  mv












dLO
dOP
dv
dv

 mv  OP  m
 v
 mv  OP  m
0

dt
dt
dt
dt

0
 
Mm   
r u r G
u r 0


r2
m
o


 
Le vecteur moment cinétique st donc une constante vectorielle du mouvement LO  OP  mv  Cte
c
.
b
e
w
Ce vecteur garde une direction fixe dans l’espace au cours du temps et donc au cours du mouvement du


météorite. Or le vecteur position OP du météorite est orthogonal au vecteur moment cinétique LO , il


s’ensuit que le vecteur OP est donc toujours contenu dans un plan orthogonal à LO : le mouvement du

météorite est donc plan défini par le point O et le vecteur vitesse initial v o .

On peut donc maintenant poser que le vecteur u r introduit à la première question est celui de la base
cylindro-polaire.
a
l
o
h
3. Orthogonalité.
Comme le mouvement du point étudié est plan on peut écrire en coordonnées polaires que :





OP  ru r
;
v  ru r  r u 
k
.
w
Au point A, r est minimum donc r  0 d’où :




v A  v 1  OAu   d u 




Le vecteur vitesse v 1 est colinéaire au vecteur u  et donc orthogonal au vecteur OA  du r 1
w
w
4. Relations.
La conservation de l’énergie mécanique permet d’écrire que :
Em   Em A
1
1
GMm
mvo2  mv12 
2
2
d
GMm
vo2  v12  2
1
d
On utilise maintenant la conservation du moment cinétique :


LO   LO A




OP  mv o  OA  mv 1
Soit H le projeté orthogonal de O sur  :
 


 



OP  mv o  OH  HP  mvo  OH  mvo car les vecteurs HP et v o sont colinéaires.


 
 
Comme OH  vO et OA  v 1 on obtient :
bvo  dv1
2
5. Expression de D.
De l’équation (2) on tire que v1 
b
v .
d o
On introduit cette expression de la vitesse v1 dans l’équation (1) :
vo2  vo2
b2
GMm
2
2
d
d
GMm
d  2 2 d  b2  0
vo
2
On ne conserve que la racine positive de cette équation :
1
2

 2
GM GM 
2
d   2   2   b 

 vo 
vo


1


2
2


2  


bv  
GM 
d  2 1   o    1

GM  
vo 





a
l
o
h
k
.
w
6. Condition sur b.
Le météorite rencontre la Terre lorsque r ≤ R or rmin  d . Il y a donc rencontre si :
w
w
d R
En reprenant l’équation du second degré portant sur d on dans le cas où d  R :
R2  2
GMm
R  b2
2
vo

GM 
b  R 1  2 2 

vo R 
1
m
o
c
.
b
e
w
On obtient ainsi une équation du second degré en d :
2
Dans le cas où vo  11 km.s1 on obtient pour b  9, 09.106 m  1, 43R