Question de TP - Enseignement des Sciences Physiques en CPGE

Mouvement dans un champ de force centrale :
Chute d’un arbre :
On assimile un arbre à une tige longue et homogène de longueur L et de masse m. On le scie à sa
base et l’arbre bascule en tournant autour de son point d’appui au sol. On suppose que le point d’appui
reste fixe et ne glisse par et on repère la position de l’arbre par l’angle θ qu’il fait avec la verticale. A t =
0, l’arbre fait un angle θ0 = 5° avec la verticale et est immobile. On donne le moment d’inertie par
rapport à son extrémité I = 1/3.m.L².
a. Etablir l’équation du mouvement de chute de l’arbre.
b. Montrer que, lorsque l’arbre fait un angle θ avec la verticale, sa vitesse angulaire vaut :
̇
√
c. Montrer que cette relation peut être réécrite :
√
√
g = 10 m.s-2
d. Déterminer le temps de chute d’un arbre de 30 m.
∫
√
= 5,1 pour θ0 = 5°
Caractéristique d’une météorite :
On repère un météorite très éloigné du Soleil et on mesure sa vitesse ⃗⃗⃗⃗ .
On observe que ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ est portée par une droite Δ qui est située à une distance b du centre O du
Soleil. On suppose qu’à l’instant où on la repère (t = 0), le météorite est si éloigné que son énergie
potentielle d’interaction gravitationnelle avec le Soleil est négligeable.
On note m la masse du météorite, MS la masse du Soleil et RS son rayon. G est la constante de
gravitation universelle.
a. Faire un schéma de la situation initiale.
b. Montrer que l’énergie mécanique du météorite est une intégrale première du mouvement.
Déterminer sa valeur.
c. Montrer que le moment cinétique par rapport à O du météorite est une intégrale première du
mouvement. Déterminer sa valeur.
d. Rappeler les conséquences de la conservation du moment cinétique.
e. Définir les coordonnées polaires adaptées et établir l’expression du moment cinétique à un instant
t quelconque.
f. Etablir l’expression de l’énergie potentielle effective.
g. Exprimer cette énergie potentielle effective en fonction de m, v0, b, du produit G.MS et de la
distance r.
h. Tracer l’allure de la courbe d’énergie potentielle effective et en déduire la nature bornée ou non de
la trajectoire du météorite.
i. Déterminer la distance minimale d’approche rmin en fonction de v0, b, du produit G.MS.
j. A quelle condition su rmin le météorite n’ira pas toucher la surface du Soleil ?