CC 2017 et corrigé

L3 GSI ME
Contrôle continu, le 2 mars 2017 Université de Rouen
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Phénomènes vibratoires et optique
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Exercice I. Principe du spectromètre numérique
Le spectromètre est un outil courant en énergétique. On se propose d’étudier le principe d’un
spectromètre numérique utilisant un réseau de diffraction.
Partie A. Interférence de deux ondes
Deux ondes sont décrites par les équations suivantes :
1 1 0 1 1
( , ) cosS r t A kr t
2 2 0 2 2
( , ) cosS r t A kr t
1. Que représentent
0 1 2
, , , and Ak
dans ces équations ?
2. Exprimer la période T et la longueur d’onde en fonction  et k.
3. Ces deux ondes arrivent au même point et elles interfèrent. Montrer, par une méthode de votre
préférence, que l’amplitude
A
de la vibration résultante vaut :
2 1 2 1
0
2 cos 2
kr kr
AA
4. Représenter
2
A
en fonction de la différence
21
r r r  
en supposant
12
0
. Etudier les cas
particuliers :
3
0, , , et 2
22
r
et conclure.
Partie B. Réseau de diffraction et spectromètre
On considère un réseau plan de diffraction par transmission de 300 traits/mm. Il est éclairé par une onde
plane de longueur d’onde sous incidence normale (voir Figure).
1. On appelle
p
le pas du réseau (la distance entre les deux traits consécutifs). Déterminer la différence
de marche entre les rayons diffractés par deux traits consécutifs du réseau en fonction de et
p
.
2. Pour quelles valeurs de l’interférence est constructive ? En déduire les angles
m
d’ordre
m
dans
lesquels on observe des maxima de lumière pour une longueur d’onde donnée.
3. Quels sont les angles de diffraction d’ordre 1 des deux longueurs d’onde extrêmes (0,4 µm et
0,8 µm) du visible?
4. Une barrette CCD linéaire de 5 mm de large, composée de 2048 pixels est installé devant le réseau
de diffraction pour recevoir la lumière diffractée d’ordre 1. La surface du détecteur étant
perpendiculaire à la direction de l’onde lumineuse incidente, déterminer la distance entre le réseau et
le détecteur pour que celui-ci reçoive toute la lumière diffractée du visible. Quelle est la résolution
spectrale du système ?

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Exercice 2. Correction de l’œil myope
Prenons le modèle de l’œil réduit et considérons un œil tel que la distance lentille-rétine soit égale à
15 mm (voir la figure ci-dessous).
1. Le PP (punctum proximum) et le PR (punctum remotum) d’un œil normale sont respectivement
25 cm et infini. Donner les valeurs extrêmes de la distance focale de la lentille équivalente.
2. Un individu est myope. Le PR est à 0.25 m et le PP est à 0.11 m. L’écriture sur un tableau situé à 5 m
de l’œil est donc trop loin pour être vue nettement. Un opticien lui propose une paire de lunettes.
a. A quelle distance de l’œil (lentille équivalente) devra se trouver l’image du tableau fournie par les
lunettes pour que l'œil la voie nettement?
b. Si l’on suppose que les centres optiques des yeux et des lunettes sont confondus, quelles doivent
être la distance focale et la nature des lunettes utilisées? Quelle est sa vergence ?
c. En fait, la distance œil-lunettes est de 1 cm, déterminer de nouveau la distance focale et la vergence
de lunettes utilisées ? Quel est alors le nouveau PP ?
Formule mathématique
cos cos 2cos( )cos( )
22
PR (punctum remotum)
PP (punctum proximum)
Dm
dm
Plage d’accommodation
Domaine de « vision » nette d’un œil
Plan de
la rétine
Schéma de l’œil réduit
Lentille équivalente

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Corrigé type
Exercice 1 : Spectromètre (7+6 pts)
Partie A : (7 pts)
1. (2 pts) A0 : amplitude, k : nombre d’onde,  : pulsation, 1 et
2 phases initiales.
2. (1 pt) La période :T=, la longueur d’onde : /k.
3. (2 pts) Selon la formule mathématique, la somme des deux onde est
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 0
2 cos cos
22
kr kr kr kr
S S S A t
L’amplitude de la vibration résultante vaut donc :
2 1 2 1
0
2 cos 2
kr kr
AA
4. (2 pts) Voir la figure pour la représentation de A2(r).
A2=4A02 pour
0, et 2r
et A2=0 pour
3
,
22
r
.
Conclusion : A2 est maximal pour r=m, m : entier.
Partie B : (6 pts)
1. (1 pt) La différence de marche :
sinp
2. (2 pts) L’interférence est constructive lorsque
m
où
m
est entier, c’est-à-dire :
sinmp
,
D’où les maxima ont lieu pour
arcsin( / )
mmp
.
3. (1 pt) L’angle de diffraction pour la longueur d’onde=0,4 µm:
arcsin(0,4 0,3) 6,892
et l’angle pour =0,4 µm :
13,887
.
4. (2 pt) La distance :
( / 2)/ tan ( )/ 2 0,25/ tan(6,995/ 2) 4,1Dd
cm
La résolution est (800-400)/2048=0.2 nm.
Exercice 2 : Correction de l’œil (7 pts)
Distance image sur la rétine :
' 15 mmOA 
1. (2 pts) Lorsque un objet à PP :
250 mmOA 
,
'
' 14.15 mm
'
OA OA
fOA OA
Lorsque un objet à PR :
OA 
,
' 15 mmf
2. Lunettes de correction :
a. (1 pt) L’image du tableau doit se trouver à 0.25 m devant l’œil :
' 0.25 mOA 
b. (2pt) La distance de l’objet est
5 mOA 
et la distance image donnée par les lunettes est
' 0.25 mOA 
. La distance focale des lunettes de correction :
'
' 0.2632 m
'
OA OA
fOA OA
,
f’ est négative, donc la lentille est divergente.
La vergence : =1/f’=3.80
c. (2 pts) Lorsque les lunettes sont à 1 cm de l’œil, la distance image :
'OA 
–0.24 m,
La distance objet devient
0.499 mOA 
,
'
''
OA OA
fOA OA
–0.2521 m,
La vergence :  =1/f’=3.97
L’image d’un objet au plus que l’œil voit net doit se situer à:
' (0.11 0.01) 10 mOA     
,
La distance focale des lunettes correctrices étant de –0.2521 m,
La distance objet PP avec les lunettes :
''
''
f OA
OA f OA
=16.57 m,
donc le PP=16.6 cm (ceci est éloigné).
4A02
r