CC 2017 et corrigé

L3 GSI ME
Contrôle continu, le 2 mars 2017
Université de Rouen
Phénomènes vibratoires et optique
La calculatrice est autorisée, tout document est en revanche interdit.
Exercice I. Principe du spectromètre numérique
Le spectromètre est un outil courant en énergétique. On se propose d’étudier le principe d’un
spectromètre numérique utilisant un réseau de diffraction.
Partie A. Interférence de deux ondes
Deux ondes sont décrites par les équations suivantes :
S1 (r1 , t )  A0 cos  kr1   t  1 
S2 (r2 , t )  A0 cos  kr2   t  2 
1. Que représentent A0 , k , , 1 and 2 dans ces équations ?
2. Exprimer la période T et la longueur d’onde en fonction  et k.
3. Ces deux ondes arrivent au même point et elles interfèrent. Montrer, par une méthode de votre
préférence, que l’amplitude A de la vibration résultante vaut :
 kr  kr1  2  1 
A  2 A0 cos  2

2


4. Représenter A2 en fonction de la différence r  r2  r1 en supposant 1  2  0 . Etudier les cas
particuliers : r  0,  ,  , 3 et 2 et conclure.
2
2
Partie B. Réseau de diffraction et spectromètre
On considère un réseau plan de diffraction par transmission de 300 traits/mm. Il est éclairé par une onde
plane de longueur d’onde  sous incidence normale (voir Figure).
1. On appelle p le pas du réseau (la distance entre les deux traits consécutifs). Déterminer la différence
de marche  entre les rayons diffractés par deux traits consécutifs du réseau en fonction de  et p .
2. Pour quelles valeurs de  l’interférence est constructive ? En déduire les angles  m d’ordre m dans
lesquels on observe des maxima de lumière pour une longueur d’onde donnée.
3. Quels sont les angles de diffraction d’ordre 1 des deux longueurs d’onde extrêmes (0,4 µm et
0,8 µm) du visible?
4. Une barrette CCD linéaire de 5 mm de large, composée de 2048 pixels est installé devant le réseau
de diffraction pour recevoir la lumière diffractée d’ordre 1. La surface du détecteur étant
perpendiculaire à la direction de l’onde lumineuse incidente, déterminer la distance entre le réseau et
le détecteur pour que celui-ci reçoive toute la lumière diffractée du visible. Quelle est la résolution
spectrale du système ?
1
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Exercice 2. Correction de l’œil myope
Prenons le modèle de l’œil réduit et considérons un œil tel que la distance lentille-rétine soit égale à
15 mm (voir la figure ci-dessous).
1. Le PP (punctum proximum) et le PR (punctum remotum) d’un œil normale sont respectivement
25 cm et infini. Donner les valeurs extrêmes de la distance focale de la lentille équivalente.
2. Un individu est myope. Le PR est à 0.25 m et le PP est à 0.11 m. L’écriture sur un tableau situé à 5 m
de l’œil est donc trop loin pour être vue nettement. Un opticien lui propose une paire de lunettes.
a. A quelle distance de l’œil (lentille équivalente) devra se trouver l’image du tableau fournie par les
lunettes pour que l'œil la voie nettement?
b. Si l’on suppose que les centres optiques des yeux et des lunettes sont confondus, quelles doivent
être la distance focale et la nature des lunettes utilisées? Quelle est sa vergence ?
c. En fait, la distance œil-lunettes est de 1 cm, déterminer de nouveau la distance focale et la vergence
de lunettes utilisées ? Quel est alors le nouveau PP ?
Lentille équivalente
Plan de
PP (punctum proximum)
PR (punctum remotum)
Plage d’accommodation
la rétine
dm
Dm
Domaine de « vision » nette d’un œil
Schéma de l’œil réduit
Formule mathématique
cos   cos   2cos(
 
2
) cos(
 
2
)
2
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Corrigé type
Exercice 1 : Spectromètre (7+6 pts)
Partie A : (7 pts)
1. (2 pts) A0 : amplitude, k : nombre d’onde,  : pulsation, 1 et 2 phases initiales.
2. (1 pt) La période :T=,
la longueur d’onde : /k.
3. (2 pts) Selon la formule mathématique, la somme des deux onde est
 kr  kr1  2  1 
 kr2  kr1  2  1

S  S1  S2  2 A0 cos  2
 t 
 cos 
2
2




L’amplitude de la vibration résultante vaut donc :
 kr  kr1  2  1 
A  2 A0 cos  2

2


4. (2 pts) Voir la figure pour la représentation de A2(r).
A2=4A02 pour r  0,  et 2 et A2=0 pour r   , 3 .
2
Conclusion : A2 est maximal pour r=m, m : entier.
Partie B : (6 pts)
4A02
2
r
1. (1 pt) La différence de marche :   p sin 
2. (2 pts) L’interférence est constructive lorsque   m où m est entier, c’est-à-dire : m  p sin  ,
D’où les maxima ont lieu pour m  arcsin(m / p) .
3. (1 pt) L’angle de diffraction pour la longueur d’onde=0,4 µm:   arcsin(0, 4 0,3)  6,892
et l’angle pour =0,4 µm :   13,887 .
4. (2 pt) La distance : D  (d / 2) / tan  (   ) / 2  0, 25 / tan(6,995 / 2)  4,1cm
La résolution est (800-400)/2048=0.2 nm.
Exercice 2 : Correction de l’œil (7 pts)
Distance image sur la rétine : OA '  15 mm
1. (2 pts) Lorsque un objet à PP : OA  250 mm , f ' 
Lorsque un objet à PR : OA   , f '  15 mm
OA  OA '
 14.15 mm
OA  OA '
2. Lunettes de correction :
a. (1 pt) L’image du tableau doit se trouver à 0.25 m devant l’œil : OA '  0.25 m
b. (2pt) La distance de l’objet est OA  5 m et la distance image donnée par les lunettes est
OA '  0.25 m . La distance focale des lunettes de correction : f '  OA  OA '  0.2632 m ,
OA  OA '
f’ est négative, donc la lentille est divergente.
La vergence : =1/f’=3.80
c. (2 pts) Lorsque les lunettes sont à 1 cm de l’œil, la distance image : OA '  –0.24 m,
La distance objet devient OA  0.499 m , f '  OA  OA '  –0.2521 m,
OA  OA '
La vergence :  =1/f’=3.97
L’image d’un objet au plus que l’œil voit net doit se situer à: OA '  (0.11  0.01)  10 m ,
La distance focale des lunettes correctrices étant de –0.2521 m,
La distance objet PP avec les lunettes : OA 
f ' OA '
=16.57 m,
f ' OA '
donc le PP=16.6 cm (ceci est éloigné).
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