Devoir no 01 Sept. 201

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DM
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sept. 2016
Devoir no 01
. . ./. . .
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation. Faites des phrases claires et précises.
L’utilisation de logiciels est autorisée.
Exercice 1
Le glacier d’Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes.
En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de 128km2 .
Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.
On émet l’hypothèse que la longueur du glacier d’Aletsch diminue de 2 % tous les 10 ans à partir de 2010.
On note un la longueur en kilomètres du glacier d’Aletsch n dizaines d’années après 2010. Ainsi, u0 = 22, 7.
1 Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.
La longueur du glacier d’Aletsch diminue de 2 % tous les 10 ans d’où :
u1 = u0 − 2%u0 = 0, 98u0 = 0, 98× = 22, 246
En 2020, la longueur du glacier d’Aletsch serait de 22,246 km.
2
a. Justifier que pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 98un .
Pour tout entier n on a :
= un − 2%un
2
u
= un −
100 n
= ucn − 0, 02un
= 0, 98un
un+1
Ayant pour tout entier n, un+1 = 098un , la suite (cn ) est géométrique de raison 0,98 de premier terme u0 = 22, 7.
b. Quelle est la nature de la suite (un ) ?
Pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 98un donc (un ) est une suite géométrique de raison 0,98.
c. Exprimer un en fonction de n.
Comme la suite (un ) est géométrique, on a un = qn × u0 ;
un = 0, 98n × 22, 7
3 Selon ce modèle, le glacier d’Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?
u0 − u10 = 22, 7 − 22, 7 × 0, 9810 ≈ 4, 152
En un siècle, le glacier d’Aletsch aura perdu plus de quatre kilomètres.
4 On souhaite écrire un algorithme qui permette d’afficher dans combien d’années le glacier d’Aletsch aura perdu
au moins la moitié de sa longueur.
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer
pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
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Algorithme 1
Algorithme 2
Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 22,7
Tant que U > 11, 35
Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 22,7
Tant que U > 11, 35
Affecter à U la valeur 22, 7 × 0, 98n
Affecter à U la valeur 0, 98 × U
Affecter à n la valeur n + 1
Affecter à n la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher 10 × n
Fin Tant que
Afficher 10 × n
Algorithme 3
Affecter à n la valeur 0
Affecter à U la valeur 22,7
Tant que U 6 11, 35
Affecter à U la valeur 0, 98 × U
Affecter à n la valeur n + 10
Fin Tant que
Afficher n
• L’algorithme 2 convient.
• L’algorithme 1 ne convient pas car on incrémente n après le calcul de U :
Au premier passage dans la boucle Tant que, U prend la valeur 22, 7 × 0, 980 = 22, 7 et ensuite n prend la
valeur 1 soit u1 = 22, 7.
• L’algorithme 3 ne convient pas. En effet, dès le début, la condition U ≤ 11, 35 est fausse, la boucle Tant que
n’est pas exécutée et cet algoritme affiche 0.
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