Université de Marne-La-Vallée Th`ese de Doctorat Spécialité

Universit´e de Marne-La-Vall´ee
Th`ese de Doctorat
Sp´ecialit´e : Informatique Fondamentale
pr´esent´ee par
Fr´ed´erique Bassino
pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universit´e de Marne-La-Vall´ee
sur le sujet
S´eries rationnelles et distributions de longueurs
Soutenue le 22 Novembre 1996 devant le jury compos´e de :
Jean-Paul Allouche
Jean Berstel
V´eronique Bruy`ere
Michel Fliess
Dominique Perrin

Remerciements
Je tiens `a remercier
– Dominique Perrin, qui a dirig´e cette th`ese, pour ses encou-
ragements, son enthousiasme, enfin pour tout ce qu’il m’a
appris.
– V´eronique Bruy`ere pour son accueil si chaleureux `a Mons,
pour ses remarques pertinentes, ses conseils et pour le temps
et le soin qu’elle a mis `a s’acquitter de son lourd travail de
rapporteur,
– Jean Berstel d’avoir accept´e la tˆache longue et d´elicate de
rapporteur,
– Jean-Paul Allouche et Michel Fliess de m’avoir fait l’honneur
de participer au jury,
– Maxime Crochemore de m’avoir accueillie durant ces trois
ann´ees `a l’Institut Gaspard Monge,
– Mike Boyle pour l’int´erˆet qu’il a manifest´e pour ce travail,
pour son accueil `a l’Universit´e du Maryland `a College Park,
pour les discussions enrichissantes que nous avons eues,
– Doug Lind de m’avoir permis de travailler durant l’´et´e 95 `a
l’Universit´e de Washington `a Seattle,
– Marie-Pierre B´eal et Olivier Carton pour leurs conseils,
– Line Fonfr`ede pour sa gentillesse et son efficacit´e `a r´egler
toutes les questions pratiques,
– Enfin, tous ceux qui contribuent `a faire r´egner la bonne hu-
meur au sein de l’Institut Gaspard Monge.
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R´esum´e
Ce travail porte sur les s´eries `a coefficients entiers positifs, sur les s´eries IN-rationnelles
et est centr´e autour de deux types de questions : le probl`eme de la hauteur d’´etoile et
l’´etude des propri´et´es des distributions de longueurs des codes.
On ´etudie le probl`eme de la hauteur d’´etoile de s´eries rationnelles particuli`eres : les
s´eries IN-rationnelles en une variable. On caract´erise de diff´erentes fa¸cons les s´eries IN-
rationnelles qui sont de hauteur d’´etoile 1, et on donne un crit`ere permettant de d´ecider
de la hauteur d’´etoile d’une classe importante de s´eries IN-rationnelles en une variable.
L’´etude de la hauteur d’´etoile des s´eries IN-rationnelles en une variable repose sur l’uti-
lisation des propri´et´es de leurs repr´esentations par des matrices. On ´etablit, en particulier,
`a partir d’un r´esultat d’Handelman, une caract´erisation du rayon spectral d’une matrice
compagnon irr´eductible `a coefficients entiers positifs.
On ´etudie, ensuite, les distributions de longueurs des codes circulaires et des codes
pr´efixes. On prouve trois nouveaux r´esultats concernant les codes circulaires. On g´en´era-
lise, dans plusieurs directions, la caract´erisation des distributions de longueurs des codes
circulaires ´etablie dans le cas d’un alphabet fini par Sch¨utzenberger. D’une part, on rem-
place l’alphabet fini par un alphabet quelconque dont les ´el´ements ont des poids, ce qui
permet d’´etendre le r´esultat `a deux distributions de longueurs. D’autre part, on restreint
les conditions, ce qui permet d’´etablir la d´ecidabilit´e dans le cas d’une distribution finie.
On donne une nouvelle formulation de cette caract´erisation. Ce r´esultat, ´etabli par des
m´ethodes combinatoires, met en ´evidence la d´ecidabilit´e dans le cas d’une distribution
finie. On ´etablit une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une suite d’entiers positifs
soit la distribution de longueur d’un code circulaire maximal sur un alphabet fini.
Enfin, on met en ´evidence les liens entre les s´eries g´en´eratrices des codes pr´efixes
rationnels et une classe de s´eries IN-rationnelles : les DOL-s´eries. On donne une condition
suffisante pour qu’une suite IN-rationnelle soit la distribution de longueurs d’un code
rationnel pr´efixe maximal sur un alphabet `a klettres.
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