ENSEMBLES DE NOMBRES

Chapitre 01 Ensembles de nombres Seconde
ENSEMBLES DE NOMBRES
I- Les différents ensembles de nombres
1. Les entiers naturels
Les entiers naturels sont les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...
On note Nl’ensemble des entiers naturels, N= 0; 1; 2; ....
2∈Nse lit « 2 appartient à N».
L’écriture n∈Nsignifie « nest un entier naturel ».
2. Les entiers relatifs
Les entiers relatifs sont les nombres ...;−2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...
On note Zl’ensemble des entiers relatifs.
Tous les éléments de Nappartiennent aussi à Z, on note N⊂Z, on lit « Ninclus dans
Z».
−2/∈N;−2∈Z; 3 ∈Z.
3. Les nombres décimaux
Exemples
0,03 = 3
100 =3 102= 3 ×10−2
−1,732 = −1732
1000 =−1732 103=−1732 ×10−3
250 = 250
100
Les nombres 0,03 ; −1,732 ; 250 sont des nombres décimaux.
Définition
Un nombre décimal s’écrit comme le quotient d’un entier relatif par une puissance de
10, soit a
10n, avec a∈Zet n∈N.
On note Dl’ensemble des nombres décimaux. On a N⊂Z⊂D.
4. Les nombres rationnels
Exemples
2
3;3 4;−7 5=−7 5=7 −5sont des nombres rationnels.
Définition
Un nombre rationnel est le quotient d’un entier relatif par un entier relatif non nul, il
s’écrit donc a
bavec a∈Zet b∈Z\ {0}=Z∗.
On note Ql’ensemble des nombres rationnels.
Remarque
L’écriture d’un nombre rationnel n’est pas unique.
Par exemple, 2
3=4 6=10 15.
Parmi ces différentes écritures du même nombre, 2
3a un rôle particulier, c’est une
fraction irréductible, son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux
(leur PGCD est égal à 1).
Tout nombre rationnel s’écrit de manière unique sous forme de fraction irréductible.
2
3= 0,666666 . . .,2 3∈Qmais 2 3/∈D.
3
4= 0,75 donc 3 4∈Qet 3 4∈D.
1

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−7
5=−1,4 donc −7 5∈Qet −7 5∈D.
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels mais il existe des nombres
rationnels qui ne sont pas décimaux.
N⊂Z⊂D⊂Q.
5. Les nombres réels
Soit une droite Dmunie d’un repère (O;I). Oest l’origine du repère, OI = 1 (unité
de longueur).
D
0 1 x
O I M
Définition
A chaque point Mde la droite D, on associe le nombre x, appelé abscisse de Mdans
le repère (O;I) de la manière suivante :
•x=OM si M∈[OI)
•x=−OM si M /∈[OI)
L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points de la droite D.
On note Rl’ensemble des nombres réels.
Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, on dit qu’ils sont irrationnels.
Exemples
Diagonale d’un carré de côté 1 : √2, √2/∈Q.
demi-périmètre d’un cercle de rayon 1 : π,π /∈Q.
II- -Intervalles de R
1. Introduction
Résoudre dans Rl’inéquation 2x−765.
2x−765⇔2x≤12 ⇔x≤6.
On représente l’ensemble des solutions Ssur un axe :
S0 1 6
On notera ] − ∞; 6] l’ensemble des nombres réels inférieurs ou égaus à 6.
L’ensemble des solutions de l’inéquation est S=] − ∞; 6].
2. Définitions
(a) Intervalles bornés
Soit aet bdeux nombres réels tels que a6b.
2

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Notation Ensemble des nombres réels xtels que : Représentation
[a;b]a6x6b
ab
]a;b[a < x < b
ab
[a;b[a6x < b
ab
]a;b]a < x 6b
ab
Ces ensembles sont des intervalles bornés,aet bsont les bornes.
[a;b] est un intervalle fermé, ]a;b[ est un intervalle ouvert.
[a;b[ et ]a;b] sont intervalles semi-ouverts respectivement à droite et à gauche.
(b) Intervalles non bornés
Soit un nombre réel a.
Notation Ensemble des nombres réels xtels que : Repésentation
[a; +∞[a6x
a
]a; +∞[a < x
a
]− ∞;a]x6a
a
]− ∞;a[x < a
a
+∞se lit « plus l’infini »et −∞ se lit « moins l’infini ».
Ces ensembles sont des intervalles non bornés.
[a; +∞[ et ] − ∞;a] sont des intervalles fermés.
]a; +∞[ et ] − ∞;a[ sont des intervalles ouverts.
Attention : +∞et −∞ ne sont pas des nombres réels.
Exemples
•3
2∈[1; +∞[
• −4/∈]− ∞;−5]
•1/∈]1; +∞[
•0∈−3
2;3 2
•7/∈−3; 3
2
3. Intersection
Définition
Soit un ensemble Eet A,Bdeux ensembles contenus dans E, on dit que Aet Bsont
des parties de E.
L’intersection des ensembles Aet B, notée A∩B(on lit Ainter B), est l’ensemble
des éléments de Equi appartiennent à Aet àB.
3

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A∩B
A
B
E
Exemples : Déterminer, en utilisant une représentation graphique, les ensembles sui-
vants :
•I= [1; 3] ∩[−3; 2]
0 1−3 2 3
I= [1; 2]
•J=] − ∞; 3] ∩[−2; +∞[
−2013
J= [−2; 3]
•K=] −3; 2[∩[3; +∞[
−30123
K=∅
Propriété (admise)
L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle, ou l’ensemble vide.
4. Réunion
Définition
Soit un ensemble Eet A,Bdeux parties de E.
La réunion des ensembles Aet B, notée A∪B(on lit Aunion B), est l’ensemble
des éléments de Equi appartiennent à Aou àB, c’est-à-dire qui appartiennent à au
moins l’un des deux ensembles Aou B.
Attention : en mathématiques, le « ou »est toujours inclusif, on a A∩B⊂A∪B.
4

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A
B
E
A∪B
Exemples : Déterminer, en utilisant une représentation graphique, les ensembles sui-
vants :
•I= [−3; 2[∪[1; 5]
−3 0 1 2 5
I= [−3; 5]
•J= [−5; 2[∪[3; +∞[
−5230 1
Jn’est pas un intervalle, on ne peut pas simplifier son écriture.
Remarque La réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle.
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