TD physique ondulatoire 2

PHYSIQUE DES ONDES
EXERCICES 2
 PO21 Etats de polarisation d’une onde
On considère une onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale se propageant dans le vide
dans la direction et le sens d’un axe zz’. Ecrire l’expression du champ électromagnétique en notation
complexe lorsqu’elle possède les polarisations suivantes :
la polarisation est rectiligne suivant la direction xx’.
la polarisation est rectiligne suivant la direction de la bissectrice du plan xOy.
- la polarisation est circulaire droite.
- Que devient l’état de polarisation de cette dernière après réflexion sur un métal parfait ?
 PO22 Amplitudes des champs d’une onde
Un laser émet en continu, avec une puissance de 10 W, une OPPM en un faisceau cylindrique de
diamètre 1 mm. Calculer les amplitudes des champs E et B . Même question pour une ampoule électrique de
100 W à 3 m de la lampe.
 PO23 Onde dans un câble coaxial
! !
On considère une ligne électrique coaxiale, de rayons intérieur a et extérieur b, aux parois
parfaitement conductrices . On cherche à associer à une onde de tension et de courant se propageant dans la
ligne, une onde électromagnétique E,B se propageant entre les deux armatures du câble. Le champ
( )
électrique E de l’onde sera cherché sous la forme :
E = E(r)exp j(kz " #t )e r en coordonnées cylindriques
!
1) Montrer que ce champ est compatible avec les symétries du problème et que l’une des équations de
!
Maxwell impose la forme de la fonction E(r). Déterminer complètement cette fonction sachant que E(a) = E0.
2) Quelle est la forme du champ B associé ?
!
3) Quelle relation lie E , B et k ?
4) Quelle relation lie k et ω ?
5) Montrer que des densités
surfaciques de courant et de charge apparaissent sur les armatures du
!
câble.
! ! !
6) Déterminer l’intensité i(z, t) se propageant dans la ligne, ainsi que la tension V(z, t) entre les
armatures du câble.
7) Que pourrait-on appeler impédance caractéristique du câble ? Déterminer ses capacité et
inductance linéiques. Calculer numériquement ces dernières avec b = 4a
8) Déterminer de deux façons la puissance transportée par l’onde dans le câble.
z
2a 2b
 PO24 Résonateur électromagnétique
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale de pulsation ω se propage dans le vide selon la
direction de l’axe Oz. Elle est polarisée rectilignement suivant la direction de l’axe Ox.
On constitue un résonateur électromagnétique en plaçant deux surfaces planes parfaitement
λ
conductrices, perpendiculaires à Oz et distantes de d = n 2 , où n est un entier et λ la longueur d’onde de
l’onde dans le vide.
1°) Montrer que le système renferme alors une onde plane effectuant indéfiniment des allers et
retours entre les deux surfaces. Que se passerait-il si d était différente ?
2°) Quel est le spectre de pulsations d’une onde plane présente entre les deux surfaces pour d
donnée ?
3°) Les deux surfaces conductrices ont même aire S et on négligera les effets de bord. Calculer
l’énergie électromagnétique moyenne contenue dans le volume V qu’elles définissent.
4°) Du fait de la conductivité non rigoureusement infinie, il y a des pertes d’énergie par effet Joule
2" 2
dans les deux conducteurs. On montre que la puissance dissipée a pour valeur moyenne P = 2S! 0
E .
µ 0# 0
Expliquer comment est établie cette expression.
5°) Déterminer la durée caractéristique τ d’amortissement de l’onde stationnaire pour d = 10 cm et
γ = 107 S.m-1. L’amortissement est-il rapide ou lent à l’échelle de l’onde ? (rép : τ = 2,6.10-6s)
 PO26 Propagation d’une onde dans une corde horizontale dispersive
On étudie les petits mouvements dans la direction verticale z’z d’une corde métallique de masse
linéique µ, de longueur L, tendue selon l’axe horizontal x’x par une force constante F appliquée à son
extrémité droite. Cette corde baigne dans un fluide, de sorte qu’une force de frottement visqueux st présente,
de cœfficient h par unité de longueur. On néglige par ailleurs les effets de la pesanteur.
1°) Établir l’équation de propagation des petites élongations le long de la corde en supposant que
chaque point ne se déplace que selon la verticale.
2°) On considère seulement une solution définie par une onde plane progressive sinusoïdale (pas
d’onde stationnaire malgré la valeur finie de L) :
2-1 Ecrire sa forme générale. Définir sa pulsation ω, son nombre d’onde k et sa longueur d’onde
associée.
2-2 Déterminer la relation de dispersion entre ω et k.
2-3 Déterminer le nombre d’onde et la longueur d’onde associés à une pulsation donnée pour une
propagation dans le sens de l’axe x’x. Écrire la forme de la solution et conclure quant à la possibilité de
propagation le long de cette corde.
2-4 La corde trempe dans un fluide très visqueux tel que h >> µω. Que devient l’équation de
propagation ? Pour répondre, on comparera les ordres de grandeur de ses deux dérivées temporelles.
Déterminer la solution et définir une distance caractéristique d’amortissement le long de la corde.
 PO23 Réflexion et transmission d’une onde sur un conducteur réel
Une OPPM dans le vide, polarisée rectilignement, tombe en incidence normale sur un bon
conducteur (γ >> ε0ω).Déterminer les coefficients de réflexion et de transmission de l'onde. Déterminer la
structure de l'onde résultante dans le vide.
 PO25 Corde vibrante verticale
Une corde vibrante de masse linéïque µ et de longueur L = 10m est suspendue par une de ses
extrémités A, l’autre extrémité B étant libre.
Lorsqu’on impose à l’extrémité A un déplacement xA(t) = aMcos(ωt), on constate que la corde se
déforme avec un déplacement x(z,t) de pulsation ω dont l’amplitude augmente quand on s’éloigne de A. Le
champ de pesanteur g = guz est supposé uniforme.
1°) Etablir l’expression de la tension T(z) en tout point de la corde et montrer que :
! 2x
!x
!2 x
= "g
+ g(L " z) 2
!t 2
!z
!z
2°) On se place au « début » de la corde. Etablir la relation de dispersion des ondes proportionnelles à
exp(jωt - jkz) et interpréter l’observation.
 PO25 Propagation d’une onde dans une chaîne d’oscillateurs dispersive
On considère la chaîne de pendules couplés illimitée représentée sur la figure ci-dessous, composée
de pendules simples reliés entre eux par des ressorts tous identiques.
Chaque pendule est constitué d’une masse m accrochée à l’extrémité inférieure d’une tige de masse
négligeable et de longueur l. Les ressorts ont des constantes de raideur K et des longueurs à vide l0 (qui est
également la distance entre deux points d’attache consécutifs des pendules). On supposera les angles θn
faibles.
!n
g
K
et "12 = .
l
m
2 – En faisant l’approximation des milieux continus (θn = θ(x,t) ; θn+1 = θ(x+l0,t) avec l0 très faible
devant une longueur que l’on précisera plus tard), trouver l ‘équation différentielle vérifiée par θ(x,t).
3 – On cherche des solutions de la forme :
!
"(x,t) = "m exp j(#t $ kx)!avec " réel
Déterminer la relation entre k et ω.
4 − A quelle condition sur la pulsation une onde peut-elle se propager dans ce milieu ? Qu’en est-il
sinon ?
!
!
5 – Définir et déterminer les vitesses de phase et de groupe d’une onde se propageant dans ce milieu.
1 – Déterminer l’équation différentielle vérifiée par θn. On posera " 20 =
 PO24 Propagation d’une onde sonore dans un pavillon exponentiel
S(x)
x
On s’intéresse à la propagation d’ondes
sonores unidimensionnelles dans un pavillon
exponentiel de section variable S(x) = S0e"x .
Effectuer un bilan de masse dans le volume
élémentaire compris entre les abscisses x et x + dx.
On cherche des ondes de la forme ae j(kx"#t) .
!
Établir la relation de dispersion de ces ondes.
Montrer l’existence d’une pulsation critique ωc et
décrire les différentes ondes possibles.
!
 PO22 Onde guidée TM
On considère deux plans conducteurs parfaits P et P', infinis, parallèles, distants de 2d. On envisage
la propagation d'une onde électromagnétique entre les plans, (onde guidée), suivant une direction parallèle à
ceux-ci . Le champ B sera cherché sous la forme :
B = B(z)e j( "t#ky ) u x
1°) Ce champ est-il celui d’une onde
z
plane ? !
2°) Déduire de B la forme du champ E
!
O
associé et justifier pour cette onde l'appellation
y
d'onde transversale magnétique (onde TM).
x
2°) Établir et résoudre l'équation
!
!
différentielle vérifiée par B(z).
3°) Déterminer les vitesses de phase et de groupe.
 PO24 Couche antireflet
Un verre d’indice n (réel) est recouvert d’une mince couche transparente d’épaisseur a et d’indice
N (réel).
Une OPPM (1) de pulsation ω à polarisation rectiligne (E0 réel), de champ E 1 = E 0e j( "t#kz) e x
(indice de l’air égal 1, kc = ω) arrive sur la couche transparente sous incidence normale. Cette onde donne
naissance, par réflexion et transmission, aux ondes notées (2), (3), (4) et (5) de même pulsation ω.
1°) Donner l’expression générale des champs
électromagnétiques de !ces ondes (en notation
complexe).
air (1)
couche(N)
verre (n)
2°) Ecrire, pour ces champs, les conditions aux
2
4
limites en z = 0 et z = a. En déduire l’amplitude
complexe E02 du champ électrique réfléchi par la
5
couche en fonction de n, N, a, k et E0.
1
3°) A quelles conditions doivent satisfaire N et n
3
d’une part, a d’autre part, pour qu’il n’y ait pas
d’onde réfléchie dans l’air ? On exprimera a en
fonction de la longueur d’onde dans le vide et N.
z
0
a