Les entiers (numération, divisibilité): exercices

Les entiers (numération, divisibilité): exercices
Les entiers (numération, divisibilité): exercices
Exercice 1:
Un nombre de trois chiffres augmente de 540 lorsque l'on permute les deux chiffres de gauche et
diminue de 27 lorsqu'on permute les deux chiffres de droite. La somme des chiffres de ce nombre
est 15. Quel est ce nombre ?
Exercice 2:
Sans effectuer de division, comment peut-on prévoir que 36054 est divisible par 18?
Exercice 3:
Un nombre N a pour écriture décimale
72a83b
1. N est divisible par 6 et par 45. Quel est le chiffre b?
2. Déterminer N
Exercice 4:
1. Chercher les restes dans la division par 13 des nombres suivants:
100 ; 1001 ; 26001 ; 45689 ; 1 456 795 ; 145 × 2489 :
5378
2. Soient
r1
et
r2
les restes respectifs des divisions par 13 de deux nombres entiers
quelconques a et b.
Montrer que les nombres ab et
r1×r2
ont le même reste dans la division euclidienne par 13.
Application : Déduire de ce qui précède le reste de la division euclidienne par 13 du nombre:
1 456 795 × 13 011
Exercice 5:
1) Ecrire l’égalité caractéristique traduisant la division euclidienne de 1001 par 11.
2) Soit
mcdu
un nombre à 4 chiffres écrit en base dix. Vérifier que
mcdu
= 1001×m + 99 × c +11× d − m + c − d + u .
3) a. À partir de la question précédente, énoncer et démontrer un critère de divisibilité par 11 pour
les nombres inférieurs à 9999 (condition nécessaire et suffisante).
b. Utiliser ce critère pour trouver trois nombres de quatre chiffres multiples de 11 ayant 38
centaines.
4) a. Montrer que le critère de la question précédente s’applique aussi aux nombres à 6 chiffres
qu’on notera
abmcdu
.
b. Utiliser alors ce critère pour déterminer si le nombre 1,2452 ×
1011
est divisible par 11.
Justifier la réponse.
Exercice 6:
Un nombre entier naturel N est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs
autres que lui-même. Par exemple, 28 est un nombre parfait. En effet les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ;
4 ; 7 ; 14 ; 28 et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
1) Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits.
2) 120 est-il un nombre parfait ? Justifier votre réponse.
3) On admet qu’un nombre entier pair N est parfait si et seulement si il est de la forme :
N =
2n2n1−1
, n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que
2n1−1
soit un nombre
premier.
a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats retrouve-t-on ?
b) On donne ci- dessous la liste des nombres premiers compris entre 100 et 150:
101 ; 103 ; 107 ;109 ; 113 ;127 ;131 ;137 ;139 ;149
En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur
au nombre 496.

Exercice 7:
a, b, c désignent trois chiffres distincts et différents de 0.
A cet ensemble de trois chiffres, on associe la famille des six nombres à trois chiffres qui
s’écrivent en utilisant une fois le chiffre a, une fois le chiffre b et une fois le chiffre c.
Par exemple, aux trois chiffres 2, 5 et 7, on associe la famille constituée des six nombres
suivants : 257, 275, 527, 572, 725 et 752.
On appelle S la somme des six nombres de la famille et M leur moyenne.
1) Calculer S et M correspondant à la famille donnée dans l’exemple ci-dessus.
2) Montrer que dans le cas général on a : M = 37(a + b + c).
3) Trouver tous les ensembles de trois chiffres distincts et différents de 0 qui permettent de
former une famille dont la moyenne M des six nombres vaut 370.
Exercice 8:
1) Soit ABC un triangle rectangle en A tel que : AC = 3,5 cm et BC = 12,5 cm.
Calculer la longueur AB.
2) a et b étant deux nombres entiers, résoudre le système suivant :
{
a+b= 36
a-b= 4
Calculer
a2−b2
puis
a2−b2
.
Déduire des réponses obtenues les dimensions d’un triangle ABC, rectangle en A, tel que
AB = 12 cm et tel que AC et BC s’expriment à l’aide de nombres entiers. Justifier.
3) a. Donner toutes les décompositions possibles de 144 sous la forme d’un produit de deux
entiers naturels.
b. En déduire quatre couples d’entiers naturels non nuls, solutions de l’équation
a² −b² = 144. Justifier.
Question complémentaire
A) Première situation
Un enseignant donne à ses élèves la consigne suivante : « Trouvez deux nombres entiers tels que
leur somme soit égale à 49 et leur différence soit égale à 3. »
Les élèves peuvent disposer de leur calculatrice mais doivent écrire les calculs avant de les
effectuer.
1) Selon la typologie proposée par les documents d’accompagnement des programmes, où classer
ce problème ? Justifier la réponse.
2) Citer deux compétences que les élèves peuvent travailler dans ce problème.
3) Citer deux difficultés que les élèves peuvent rencontrer en essayant de résoudre ce problème.
Pour chacune d’elles, quelle aide peut envisager l’enseignant ?
B) Deuxième situation
Après une première phase de mise en commun, l’enseignant propose un nouvel énoncé :
« Trouvez deux nombres entiers tels que leur somme soit égale à 43 et leur différence soit égale à
17. »
Il précise : « Vous devez expliquer par écrit comment vous faites pour trouver les deux nombres.
Vous chercherez d’abord seul puis avec votre voisin.»
1) En quoi ce deuxième problème diffère-t-il du premier ?
2) Quel est le rôle de la phase individuelle ? De la phase en groupe de deux ?
3) Dans quel but l’enseignant demande t-il aux élèves d’« expliquer par écrit » ?