5e Utiliser des propriétés d`un triangle

5e
Utiliser des propriétés d’un triangle
(inégalité triangulaire, somme des angles)
Objectif 05
Livre 23.1
Mots clefs.
 Triangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle
 Inégalité triangulaire
 Angles.
I. Inégalité triangulaire.
1. Propriété. Construction de triangles.
On peut construire un triangle dont les côtés ont pour longueur trois nombres donnés, à condition
que le plus grand des trois nombres soit strictement inférieur à la somme des deux autres.
Dans le cas où le plus grand des trois nombres est égal à la somme des deux autres, les points
seront alignés.
2. Propriété. Inégalité triangulaire.
Soient A, B et C trois points quelconques. Alors AB  AC + CB.
Autrement dit, si A et B sont deux points quelconques, alors le trajet le plus court entre A et B est la
ligne droite.
Autrement dit, si A et B sont deux points quelconques, alors tout trajet de A à B qui passe par un
troisième point C est au moins aussi long que le trajet de A à B.
3. Propriété. Inégalité triangulaire et points alignés.
Si le point C appartient au segment [AB], alors AB = AC + CB.
Réciproquement, si AB = AC + CB, alors le point C appartient au segment [AB].
Exemples.
 Si R  [ST] et si SR = 4 cm et ST = 12 cm, alors ST = SR + RT, c’est-à-dire 12 = 4 + RT,
soit RT = 12 – 4 = 8 cm.
 Si EF = 5 cm ; EG = 2 cm et GF = 3 cm, alors G  [EF].
4. Conséquence.
Si le point C n’appartient pas au segment [AB], alors AB < AC + CB (et réciproquement.)
Autrement dit, chaque côté d’un triangle non aplati a une longueur strictement inférieure à la
somme des longueurs de ses deux autres côtés.
5. Utilisation de l’inégalité triangulaire pour la construction de triangles.
Longueurs des
trois côtés
Plus grand
côté
Comparaison
Somme des longueurs des
deux plus petits côtés
Conclusion
Représentation
25 ; 30 ; 33
33
<
25 + 30
Le triangle peut être
construit
11 ; 22 ; 33
33
=
11 + 22
Les points sont alignés
10 ; 15 ; 33
33
>
10 + 15
Le triangle ne peut pas
être construit
A
B
C
B
CA
B
CA1
A2

Exemple.
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 1 ; 2 et 4 cm ?
+ Le plus grand côté mesure 4 cm ;
+ La somme des longueurs des deux plus petits côtés est 1 + 2 = 3 cm ;
+ Comparons : comme 4 > 1 + 2, alors on ne peut pas construire un tel triangle.
II. Angles dans le triangle.
1. Propriété. Angles d’un triangle.
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à
180°.
Autrement dit, dans un triangle, les trois angles sont
supplémentaires.
Démonstration apportée lors du thème « Utiliser les propriétés des angles avec des droites
parallèles ».
2. Corollaire. Angles d’un triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90°. Autrement
dit, dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
3. Propriétés. Triangle isocèle.
 Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles de même mesure.
 Réciproquement, si un triangle a deux angles de même mesure, alors c’est un triangle
isocèle.
4. Propriété. Cas particulier.
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle isocèle mesurent 45°.
Démonstration.
C’est l’axe de symétrie d’un triangle isocèle et la conservation de la mesure des angles dans une
symétrie axiale qui permettent de justifier cette propriété.
4. Propriétés. Triangle équilatéral.
 Dans un triangle équilatéral tous les angles mesurent 60°.
 Si un triangle a trois angles de même mesure (60°), alors il est équilatéral.
 Si un triangle est isocèle et a un angle mesurant 60°, alors il est équilatéral.
Démonstration.
Ce sont les trois axes de symétrie d’un triangle équilatéral et la conservation de la mesure des
angles dans une symétrie axiale qui permettent de justifier cette propriété.