L`hypothèse de Riemann pour les corps de fonctions

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
C LAUDE C HEVALLEY
L’hypothèse de Riemann pour les corps de fonctions
algébriques de caractéristique p, I
Séminaire N. Bourbaki, 1948-1951, exp. no 3, p. 17-19
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Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1948)
L’HYPOTHÈSE
POUR LES CORPS DE FONCTIONS
DE RIEMANN
ALGÉBRIQUES
CARACTÉRISTIQUE
DE
p , I.
par Claude CHEVALIEY
R
On dit que
est
corps de constantes
a)
est
corps de fonctions
K
lorsque
sous-corps de
un
est dans
K
à
K
un
.algébriques (d’une variable )
les conditions suivantes sont satisfaites :
et tout élément de
R~
anneau
P
dans
algébrique
de la
(donc
une
variable
seule
manière,
dépend que de
et où
est
u
sous
est
algébrique
sur
un
de
élément de
rapport
tranacendant par
contenant
R~
R
non
K,
situé dans
A
soit
qui
P;
place
ce
P
le nombre
sur
corps c ontient K et
s’appelle le degré
est
(non
P
X) ,
"
la forme
élément de
A
de
non
t)~
dans
les diviseurs. Un diviseur
v(P ;3 x)
où
et
qui s’appelle
P. On pose
Les combinaisons linéaires formelles de
places
est
entier
un
l’ ordre de
y)(P ~ 0) =
+00
à coefficienta entiera
x
et
qui
en
ne
P,
on ar
s’appellent
é.tant des entiers presque tous nuls. Le
f orme ~ a (P) P ~ lea a(P)
nombre F a(P)d(P) s’appelle le degré
du diviseur a
Oc et
+
est
Û:
ce Si
b
x
et
b ) = d(à)
un
d(b )
est
positif,
un
le diviseur de
on
et
si
.Si les nombres
ou
positif.
dit que
élément / 0
x
s’écrit donc
d(û) ~
note
se
+
«
diviseur entier
soit
un
d(P)
K ;
un
principal ;
générateur t de cet idéal est
uniformisante en P ; tout x ~ 0 de R se met, et d’une
d(P)
fini
et de
x
A
un sous-anneau
le c orps de s rés idus de la
degré.
de
A
P . L’idéal
place
appelé
qui
n’ont pas d’inverse dans A forment alors un
est appelé la place de l’anneau A . L’anneau A/P est
A ~ qui
qu’on appelle
corps
est
est
et tel que l’inverse de tout
R
A . Les éléments de
idéal
R
de valuation dans
distinct de
dans
R
K ;3
b) R contient un élément x non situé dans K
K ) et est algébrique de degré fini sur K(x) .
Un
sur un
qu’on
de
sous
la
b
sont des
a (P)
Si a et
b
R~~
le
x)P
degré
eat
b .
un
diviseur
qu’on appelle
toujours 0 ~
de ce diviseur est
mais le diviseur lui-même n’est le diviseur nul que si
17
que
sont des diviseurs tels que
0~ est multiple de
note (x) ;3
diviseurs, on a
0 , on dit
sont tous à
x
est dans
K. On a
C. CHEVALLEY
~ (xy) ~ c~ (x)
0 (y) . Deux diviseurs
+
est le diviseur d’un élément de
ble des diviseurs
ont le même
qu’un élément x
multiple de 03B1 (ou
est
vectoriel ( Oc )
~( 4~ ) ;
elle
de
de l’ensem-
de la classe.
R
est
que de la olasse de
le
reste borné,
ble des diviseurs de
décomposition
multiple du diviseur 0( si le diviseur de
si x = 0 ). Les multiples de 0( forment un espace
dimension finie sur K ; la dimension de cet espace se note
dépend
ne
de
une
tous les diviseurs d’une même classe
diviseurs3
degré, appelé degré.
On dit
x
R. On obtient ainsi
classes de
en
sont dits équivalents si leur différence
R ;
si
R ; c’est
un
~t
Le théorème de Riemann affirme que
.
intérieurement quand
Oc décrit l’ensem-
désigne
entier ~
;
cet entier est donc toujours ~ 0 . Le théorème de Riemann-Roch affirme
qu’il
existe une classe de diviseurs, dite classe canonique, telle que, si c est un
diviseur de cette classe, on ait, pour tout diviseur ~ ,
~(~ - C) . Les.
diviseurs de la classe canonique sont de degré 2g-2 .
genre
du corps
minimum par-g ~ g~ est appelé le
0 . On pose S ( pc) ~ .~ (- ~Cj +d(-a) + g-1
on
son
=
Supposona maintenant que
quelconque de K. On peut
K
soit
un
et soit
parfait,
corps
L
un
sur-corps.
alors f ormer un corpa R(L) de fonctions algébriques
dont le corps des constantes soit L et qui s’obtienne par adjonction à L des
éléments de R. La structure de ce corps est uniquement déterminée quand R et
L
sont
donnés ;3
de
R
de
R(L)
les
places
au
A
et
degré
le genre de
son anneau
dont les
de
places. Soit
par la somme
anneaux
R(L)
de
de valuation contiennent
P. La
places
R(L) qu’on
un
diviseur de
R(L) qui
de
se
des
somme
variable uniformisante
~P a(P)P
des
à celui de
égal
est
au-dessus de
P , toute
(~ _
R(L)
R. Soient
P
place
un nombre fini de places
Q
on
dit
c.es
A ;
que
places sont
de
ces
degrés
places est égale
une
de valuation. Il existe alors
R ;
l’est aussi
F
en
si
on
y
chacune de
en
ces
remplace chaque place
P
obtient
un
trouvent au-dessus
d’elle,
on
lui-même. Cette identification
préserve les degrés et identifie le diviseur d’un élément x de R avec le diviseur du même
x
dans R(L) . les éléments de R(L) qui s ont multiple s de CL
diviseur de
identifie souvent
avec
ex
aont les combinaisons, linéaires à coefficients dans
de
ex . La
dans
R
ou
est le
dans,
R (L) .
En
Supposons
de
R
L
si
il y
a
est
a
R
comme un
multiples.
diviseur
algébriquement fermé, on voit
d(P) places de R(L) ,
exactement
1 .
maintenant que K s oit un corps fini, dont
q. Si une classe de diviseurs contient
d’éléments par
d’éléments de
même que l’on considère
particulier,
qu’au-dessus de toute place P
qui sont naturellement de degré
L
on
désignera
un
diviseur entier
le nombre
et ,
L’HYPOTHÈSE
DE RIEMANN, 1
(q " -l)/(q-
le nombre des diviseurs entiers de cette classe est
de diviseurs
a par ailleurs qu’un nombre fini de places (et donc aussi
degré donné.
En
s’appuyant
sur ces
faits et
sur
l) .
n’y
entiers) de
théorème de Riemann,
le
on
Il
trouve
que la série
(la somme étant étendue
représente une f onction
q1.
entiers) converge pour ~u‘,~ q 1
qui possède un pôle simple au point
à tous les diviseurs
rationnelle de
Cette fonction est
appelée
u
et
R. L’hypothèse de
la fonction dzêta du corps
q* ~ ’
Riemann est que tous les zéros de cette fonction sont de valeur absolue
En comparant les f onctions dzêta de R et de R (L) , où L est un sur-corps fini
convenable de
K,
on
trouve
qu’il
existe
au
moins
un
degré 1,
diviseur de
d’où
q-l
et 1. En faisant
déduit que les seuls pôles de la f onction dzêta sont
à
usage du théorème de Riemann-Roch, on montre que la fonction dzêta satisfait
on
l’équation
en
f oncti onne lle suivante :
aussi
peut
représenter (pour (u~ C
q 1)
la fonction dzêta par
un
produit
infini
~/~B
le
produit étant étendu
où
cn
degré
à toutes les
~.
places.
On
places de degré 1 de
indiquera dans la suite de
en
déduit :
si
est le nombre des
n
de
K. On
laquelle A. WEIL est parvenu à démontrer
l’hypothèse de Riemann résulte immédiatement de
de par
entrame que la série qui
converge pour
représente
la dérivée
~u) ~
19
K~
est l’extension de
exposé le principe
l’még*lité
cet
cette
inégalité,
logarithmique
de
car
de la métho-
cette dernière
Z (u)
(1-qu)