215 Applications différentiables. Exemples et

Leçon 215: Applications différentiables sur un ouvert de Rn
Exemples et applications.
Adrien Fontaine
2 décembre 2012
1

Table des matières
1 Généralités 3
1.1 Différentielle....................................... 3
1.2 Dérivéespartielles.................................... 4
1.3 Plantangentàunesurface............................... 5
2 Le théorème des accroissements finis 6
3 Théorèmes d’inversion 6
4 Dérivées d’ordre supérieur 10
4.1 Définitions........................................ 10
4.2 FormulesdeTaylor ................................... 11
5 Problèmes d’extremum 13
2

1 GÉNÉRALITÉS 3
Objectif : Il s’agit de généraliser à des applications de Rndans Rpla dérivée usuelle des fonc-
tions de Rdans R. On approche l’accroissement d’une fonction "quelconque" par une application
linéaire. C’est la "grande idée" du calcul différentiel.
Dans toute la leçon, Udésigne un ouvert de Rn.
1 Généralités
1.1 Différentielle
Définition 1
Une application f:U→Rpest dite différentiable en a∈Us’il existe ϕ∈ L(Rn,Rp)telle
que :
f(a+h) = f(a) + ϕ(h) + ◦(khk)lorsque h→0
Si une telle application ϕexiste, elle est unique et s’appelle la différentielle de fen a, notée
Df(a).
Si fest différentiable en tout point de U, on dit que fest différentiable sur U, et l’application
Df :a7→ Df(a)est appelée application différentielle de f.
Si Df est continue, on dit que fest de classe C1.
Exemple 1
–f:I→Roù Iest un intervalle de Rest différentiable en a∈I, si et seulement si, elle
est dérivable en a, et Df (a) : h7→ f0(a)h. Ainsi, la notion de différentielle prolonge bien
la notion de dérivée.
– Si f:Rn→Rpest linéaire, alors elle est différentiable et ∀a, Df(a) = f.
– Si fdésigne l’application inverse sur l’espace des matrices Rn×n, alors pour tout X
inversible, et H∈Rn×n,
Df(X)H=−X−1HX−1
– Si det désigne la fonction déterminant sur l’espace Rn×ndes matrices de taille net tr la
fonction trace, alors on a pour tout X, H ∈Rn×n,
Ddet(X)H=tr(t˜ XH)
où ˜ Xest la comatrice de X.1
Proposition 1
Soit f:U→Rnet g:V→Rpdeux applications telles que f(U)⊂V. On suppose que fest
différentiable en a∈Uet gdifférentiable en f(a). Alors g◦fest différentiable en aet :
Dg ◦f(a) = Dg(f(a)) ◦Df(a)
Démonstration : Gourdon, Proposition 3p304

1 GÉNÉRALITÉS 4
1.2 Dérivées partielles
Définition 2
Soit f:U→Rp,a∈Uet v∈Rn.fest dite dérivable selon le vecteur vsi
lim
t→0,t6=0
f(a+tv)−f(a)
texiste
On note alors cette limite f0
v(a).
Proposition 2
Si fest différentiable en a, alors fadmet une dérivée selon tout vecteur et on a f0
v(a) = Df(a)v
pour tout v∈Rn.
Démonstration : Gourdon, proposition 4p304
Remarque 1
La réciproque est fausse. La dérivabilité selon tout vecteur en an’entraîne pas forcément la
différentiabilité de fen a. En effet, la fonction f:R2→Rdéfinie par
f(x, y) = 
y2
xsi x6= 0
ysinon
est dérivable selon tout vecteur au point (0,0) mais n’est même pas continue en (0,0).
Démonstration : Gourdon, exercice 1p309
Définition 3
Soit (e1, ..., en)la base canonique de Rn. On appelle (lorsqu’elle existe) dérivée partielle d’indice
ide fen a, le vecteur :
f0
ei=∂f
∂xi
(a)
Définition 4
Si f:U→Rest une application différentiable en a∈U, alors Df(a)est une forme linéaire
continue sur Rn, qui est donc caractérisée par un unique, vecteur appelé gradient de fen aet
noté ∇f(a). On a alors :
∀h∈Rn, Df(a)h=<∇f(a), h >
où <, > est le produit scalaire usuel sur Rn. Les composantes de ∇f(a)dans la base canonique
sont les dérivées partielles ∂f
∂x1(a), ..., ∂f ∂xn(a).
Remarque 2
L’hypothèse d’existence de dérivées partielles ne suffit pas à assurer la différentiabilité : plus
de régularité sur la fonction est nécessaire.
Théorème 1
Soit f:U→Rp. Si toutes les dérivées partielles de fsur Uexistent et si elles sont continues

1 GÉNÉRALITÉS 5
en un point ade U, alors fest différentiable en aet on a :
Df(a) =
n
X
i=1
∂f
∂xi
(a)dxi
Démonstration : Gourdon, théorème 1p305
Remarque 3
La réciproque est fausse. Par exemple, l’application f:R→Rdéfinie par f(x) = x2sin( 1
x)si
x6= 0 et f(0) = 0, est différentiable en 0 mais f0n’est pas continue en 0.
Définition 5
Soit f:U→Rmdifférentiable en a∈U. Soient (f1, ..., fn)les composantes de fdans la base
canonique. Alors, la matrice de Df(a)dans les bases canoniques de Rnet Rmest :
Ja="∂fi
∂xj
(a)#1≤i≤m,1≤j≤n ∈Mm,n(R)
On l’appelle matrice jacobienne de fen a. Lorsque m=n,Jaest une matrice carrée et son
déterminant est appelé jacobien de fen a.
Proposition 3
Soient deux applications f:U→Ret ϕ:V⊂Rm→Rntelle que ϕ(V)⊂U. On écrit ϕsous
la forme ϕ= (ϕ1, ..., ϕn)où ϕi:V→R. Soit a∈Vtel que ϕest différentiable en aet fest
différentiable en ϕ(a). Alors l’application F=f◦ϕ:V→Rest différentiable en aet :
∀j∈ {1, ..., m},∂F
∂uj
(a) =
n
X
i=1
∂f
∂xi
(ϕ(a)).∂ϕi
∂uj
(a)
Application : Calcul du Laplacien en coordonnées polaires
4f=∂2f
∂x2+∂2f ∂y2=∂2F ∂r2+1 r
∂F
∂r +1 r2
∂2F
∂θ2
1.3 Plan tangent à une surface
2voir Rouvière, exemple 5p52 et exemple 6p53
2. Cette partie est optionnelle... Cependant, il est important d’en connaître son contenu.