M.7.1. But de la manipulation

Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
Manip.Méca.7.
1
Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
M.7.1. But de la manipulation
Le but de la manipulation est de vérifier l'équation qui régit le mouvement de rotation
d'un solide autour d'un axe fixe, dans le cas simple d'un mouvement uniformément accéléré.
Pour ce faire, vous devrez montrer que l'accélération angulaire du mouvement est
proportionnelle au moment de la force agissante et inversement proportionnelle au moment
d'inertie du solide.
De plus, vous testerez la conservation de l'énergie mécanique dans le dispositif où le
solide est mis en mouvement par la pesanteur agissant sur une masse que vous aurez attachée
au préalable à ce solide.
Enfin, vous vérifierez la loi de conservation du moment cinétique lors d'une collision
entre deux corps en rotation.
M.7.2. Dispositif expérimental
M.7.2.1. Solide en rotation autour d'un axe fixe
Le dispositif expérimental est fait
d’une base fixe, perpendiculairement à
laquelle peut tourner, avec des
frottements réduits, un arbre sur lequel
se fixe un plateau et accessoirement
d’autres pièces (un second plateau, une
barre et un anneau en acier).
La base est montée sur trois
supports que l’on peut régler de manière
à assurer l’horizontalité du dispositif.
Une poulie à trois gorges dont
l’axe coïncide avec l’axe de rotation est
solidaire du plateau principal. Un fil,
fixé à cette poulie et enroulé sur celle-ci,
permet d’appliquer à une distance de
l’axe de rotation fixée par le rayon de la
gorge utilisée, la force mettant en
rotation le plateau; grâce à une autre
poulie cette force peut être celle résultant
du poids d’une masse suspendue au fil.
Les dimensions et autres caractéristiques
intéressantes des différentes pièces
tournantes du dispositif sont indiquées
dans le tableau ci-contre.
Tier of step pulley use
Smallest
Middle
Largest
10-spoke
1.00
0.75
0.60
Rayon des gorges du plateau (en cm)
Petite
= 1.5
Moyenne
= 2.0
Grande
= 2.5
Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
2
M.7.2.2. Dispositif d'enregistrement du mouvement: poulie chronométrique
La rotation du solide est observée au moyen d’une poulie chronométrique (smart
pulley timer). Il s’agit d’une poulie de faible inertie pouvant tourner, avec un frottement réduit
entre les deux montants d’une porte optique (photogate). L’un des montants de la porte émet
un mince faisceau de lumière infrarouge que reçoit un détecteur incorporé à l’autre montant, à
moins que le faisceau n’ait été intercepté par un des dix rayons (spoke) de la poulie. Un signal
indiquant que la porte est ouverte (photogate unblocked) ou fermée (photogate blocked) est
transmis en permanence par le détecteur à un ordinateur. Le programme de ce dernier
(Datastudio) exploite les intervalles séparant les fermetures successives de la porte lorsque la
poulie tourne et fait l’étude cinématique du mouvement de celle-ci (position, vitesse et
accélération angulaire). Les résultats sont présentés sous forme de graphiques et/ou de
tableaux.
Pour lier la rotation de la poulie à celle du plateau on peut faire en sorte que le plateau
entraîne la poulie. Celle-ci sera alors mise en contact horizontalement avec le plateau (Smart
Pulley sur la figure ci-dessus). Une autre méthode, celle que nous utiliserons pour les deux
premières expériences, consiste à se servir de la poulie chronométrique comme poulie de
transmission de la force motrice (Pulley sur la figure); l’angle θ dont tourne alors le plateau
entre deux interruptions successives du faisceau lumineux de la porte optique dépend
évidemment du rayon géométrique de la gorge du plateau que l’on utilise. Dans ce cas, on
enregistre une vitesse/accélération linéaire et on convertira celle-ci en la vitesse/accélération
angulaire du plateau1.
Avant d'entreprendre la manipulation proprement dite, familiarisez-vous avec le
logiciel d’acquisition et de traitement de données Datastudio. Ce programme, dont vous
trouverez un mode d’emploi succinct à proximité, va vous permettre d’enregistrer les
données, de les traiter et de les représenter en graphique.
1
Pour rappel: v = ωr, a = αr (attention aux unités!)
Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
3
M.7.3. Manipulation
M.7.3.1. Loi du mouvement de rotation
Réalisez le montage apparaissant à la figure suivante:
Assurez-vous de l’horizontalité du dispositif, celle de la base mais aussi celle du fil
tendu entre la poulie de transmission et le plateau.
Pour le premier essai, enroulez le fil (1,5 m environ) dans la plus petite gorge et fixez
son extrémité à l’aide de la vis prévue à cet effet.
Après avoir choisi Create Experiment sur l’écran principal du programme Datastudio,
celui-ci va vous demander quel type de senseur vous utilisez. Faites votre choix et justifiez-le.
Ensuite le logiciel vous demandera des précisions sur la poulie chronométrique utilisée.
Justifiez l’utilisation de ces données et introduisez la bonne valeur.
Le support pour masses que vous attacherez à l’autre extrémité du fil est à peser. Vous
y déposerez pour commencer une masse de 50 g. Maintenez les masses qui vont entraîner le
plateau en une position initiale proche de la table de travail et telle que le témoin lumineux de
la porte optique soit allumé. Ce témoin lumineux est reproduit sur le boîtier d’acquisition
permettant de relier deux portes optiques à l’ordinateur. Déclenchez alors l’enregistrement au
moyen du bouton START dans le programme Datastudio, et libérez les masses en même
temps. Avant que ces masses n’atteignent le sol ou que le fil soit complètement déroulé,
arrêtez l’enregistrement des mesures (bouton STOP) et bloquez aussi le plateau. En cas de
problème, effacer la série de mesures (cliquez sur la série correspondante dans la fenêtre Data
à gauche de l’écran et appuyez sur le bouton Delete du clavier) et recommencez. Les tables de
données sont visibles (mais non modifiables ☺) en double-cliquant sur Table dans la fenêtre
Displays à gauche de l’écran.
Si les graphiques obtenus en temps réel sur l’écran de l’ordinateur vous incitent à
croire que la manœuvre a été réussie (pas de contacts intempestifs des masses avec l’un ou
l’autre corps, notamment avec le sol, alors que les mesures sont en cours), déterminez
l’accélération linéaire en ajustant une droite sur le graphique de la vitesse obtenu (clic gauche
sur les mesures de la vitesse pour les sélectionner, ensuite clic droit
Fit
Linear Fit).
Pourquoi est-ce la vitesse qui fournit la meilleure valeur pour l’accélération? Passez ensuite à
l’accélération angulaire au moyen du rayon de la gorge utilisée (pourquoi doit-on faire cela?).
Ajustez les échelles du graphique pour une meilleure visibilité (clic gauche sur un axe et
déplacer la souris dans le sens voulu), imprimez-le et joignez-le à votre rapport.
Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
4
Recommencez l’expérience pour les valeurs de masse suivantes: 100, 150, 200 et 250
g. Les nouvelles séries de mesures vont se superposer sur les graphiques (Run #1, #2,…).
Déterminez chaque fois l’accélération angulaire du mouvement à partir de l’ajustement
linéaire de la vitesse.
Portez les cinq valeurs obtenues en graphique en fonction de la masse pendante. Pour
ceci, cliquez sur le menu Experiment
New empty data table et rentrez les valeurs
correspondantes. Un double clic sur Graph dans la fenêtre Displays (à gauche) vous permettra
ensuite de représenter ces valeurs (double clic sur Editable data) et de les ajuster comme
précédemment. Interprétez le graphique ainsi obtenu et imprimez-le. Sauvegardez ensuite
l’expérience en cours (instructions à côté de l’ordinateur) avec votre numéro de groupe. Il
s’agit de la partie 1 de l’expérience.
Recommencez l’expérience, une masse fixe (100 g) entraînant le plateau, mais en
enroulant le fil successivement dans les trois gorges. Pour ceci, sélectionnez File
New
Activity dans Datastudio. En suivant le même procédé qu’auparavant, tracez le graphique de
l’accélération angulaire en fonction du rayon de la gorge, ajustez et interprétez. Imprimez
également ce graphique. Sauvegardez l’activité (partie 2).
Retournez le plateau principal, superposez-lui le plateau auxiliaire et faites un nouvel
essai (nouvelle activité dans Datastudio!). Poursuivez en déposant sur le plateau principal la
masse puis l’anneau. Tracez le graphique de l’accélération angulaire en fonction du moment
d’inertie (cf. tableau page 1) des solides en rotation, essayez d’ajuster avec une fonction bien
choisie, interprétez et imprimez. Sauvegardez l’activité (partie 3).
M.7.3.2. Energie cinétique de rotation
En utilisant le même montage, mesurez, à partir du sol, la
hauteur h1 (départ), la hauteur h2 jusqu’à laquelle la masse motrice
peut descendre et, lors de chaque essai, la hauteur h3 jusqu’à
laquelle elle remonte ensuite. Travaillez avec une masse de 50 g et
le fil enroulé sur la plus petite gorge.
Ouvrez une nouvelle activité dans Datastudio. Observez le
graphique de la vitesse. Interprétez-le en termes d’énergie
cinétique du plateau. Comment cette énergie varie-t-elle au cours
du mouvement? D’où provient-elle?
Sur le graphique de la vitesse, lisez la valeur maximale de
la vitesse en activant l’option Statistics (symbolisée par ∑).
Calculez ensuite l’énergie cinétique acquise par le plateau et, au
même instant, celle de la masse qui l’a mis en mouvement. Mettez
l’énergie cinétique ainsi calculée en rapport avec la variation de
l’énergie potentielle de pesanteur depuis la mise en mouvement. Vos calculs montrent-ils que
l’énergie mécanique est conservée? Sauvegardez également cette activité (partie 4).
Manip.Méca.7. Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe
5
M.7.3.3.Collisions rotationnelles
Réalisez le montage apparaissant sur la figure suivante:
Démarrez une nouvelle activité dans Datastudio. Puisque vous enregistrerez
maintenant une vitesse angulaire, il faudra faire le bon choix dans la fenêtre Choose Timer au
début de l’activité. Retournez le plateau (gorges vers le bas), retirez la poulie chronométrique
et fixez-la en position horizontale, en la maintenant contre le plateau au moyen d’un élastique.
Maintenez le plateau auxiliaire au-dessus du plateau principal de telle manière que, si vous le
laissiez tomber, il se fixerait sur l’arbre de rotation. De la main, imprimez un mouvement de
rotation au plateau principal et déclenchez l’acquisition de données. Après quelques secondes
d’enregistrement, laissez tomber le plateau auxiliaire et arrêtez l’enregistrement après
quelques mesures supplémentaires.
Interprétez le graphique de la vitesse. Dans le tableau de valeurs qui lui est associé,
lisez d’une part la vitesse qui est celle de la poulie (solidaire du plateau principal) avant la
collision et lisez d’autre part la vitesse qui est celle de la poulie (avec les deux plateaux) après
la collision. Déduisez-en les vitesses de rotation des plateaux avant et après (voir tableau page
1). Calculez le moment cinétique du système constitué par les deux plateaux avant et après
leur rencontre et vérifiez dans quelle mesure cette grandeur est conservée. Pourquoi s’attendon à ce qu’elle le soit? Enregistrez l’activité (partie 5).
M.7.4. Questions préparatoires à la manipulation
a) Quelle est l'équation régissant le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe?
b) Qu'appelle-t-on moment d'inertie?
c) Donnez l'équation du mouvement uniformément accéléré.
d) Comment convertir des vitesses/accélérations angulaires en leurs pendants linéaires?