Interro 2

Exercice 1 – Soit les matrices colonnes : C1 = 
, C2 =   et C3 =  .
1. Calculer le déterminant de la matrice A = (C1 C2 C3).
2. En déduire :
a. que B = { C1, C2, C3} est une base de IR3 ;
b. et le nombre de solutions du système AX = U, où U est une matrice colonne donnée de
IR3 et où X est une matrice colonne inconnue de IR3.
3. Déterminez les coordonnées du vecteur U = 
 dans la base B.
4. Soit la matrice M = 
.
a. Calculer le produit AM. Commentez.
b. Calculez le produit M
. Commentez.
Exercice 2 – Soit l’application linéaire f() définie par f() = NX, où N =   
  .
1. Quelles sont les dimensions des espaces de départ et d’arrivée de cette application ? En
déduire les espaces de départ et d’arrivée de cette application (en supposant qu’ils sont de
type IRn).
2. Calculer le déterminant de la matrice N (en utilisant une méthode de calcul différente de
celle que vous avez utilisée dans l’exercice 1).
3. Déterminer le rang de f().
4. L’application linéaire f() est-elle injective ? surjective ? bijective ?
5. Soit le système NX = Y, où Y est un vecteur donné de IR3. A quelle condition ce système a-t-il
une solution ?
6. Enoncez le théorème des dimensions. Et déterminez la dimension de kerf.
7. Déterminer kerf. (2 points)
8. Déterminer f(C1), f(C2) et f(C3) où C1, C2 et C3 sont les matrices de l’exercice 1.
9. En déduire :
a. les valeurs propres de N
b. et un autre nom pour la matrice A.
10. Donner la matrice de f() par rapport à la base B.
11. La matrice N est-elle diagonalisable ? Le cas échéant, écrire la matrice N sous la forme du
produit PDP – 1, où P est une matrice des vecteurs propres de N, en spécifiant P, D et P – 1. (2
points)

Exercice 1 – Soit les matrices colonnes : C1 = 
, C2 =   et C3 =  .
1. Calculer le déterminant de la matrice A = (C1 C2 C3).
Méthode de Sarrus :
 = 
= 1(1)(1) + 1(2)(1) + 0(1)(0) – 1(1)(0) – 0(2)(1) – 1(1)(1) = 2.
2. En déduire :
a. que B = { C1, C2, C3} est une base de IR3 ;
Tout système libre de trois vecteurs de IR3 est une base de IR3.
B est un système de trois vecteurs de IR3. Il forme donc une base de IR3 s’il est libre,
autrement dit si les colonnes C1, C2 et C3 sont linéairement indépendantes.
Or ceci est le cas puisque dét(C1 C2 C3)  0.
b. et le nombre de solutions du système AX = U, où U est une matrice colonne donnée de
IR3 et où X est une matrice colonne inconnue de IR3.
B est une base de IR3 si et seulement si tout vecteur U de IR3 peut s’écrire sous la
forme d’une combinaison linéaire unique des vecteurs de B, autrement dit si et
seulement si, quel que soit le vecteur U de IR3, il existe un unique vecteur X de IR3
vérifiant : AX = U. Ce système a donc une unique solution.
3. Déterminez les coordonnées du vecteur U = 
 dans la base B.
Les coordonnées du vecteur U = 
 sont données par le vecteur X solution du
système : AX = U.
On résout ce système en appliquant la méthode du pivot à sa matrice élargie : .
=
Le système AX = U est donc équivalent au système :
     dont la solution est  
  .
Les coordonnées du vecteur U = 
 dans la base B sont donc :  .
4. Soit la matrice M = 
.
a. Calculer le produit AM. Commentez.
   = I3.

On a donc M = A – 1.
b. Calculez le produit M
. Commentez.
 = X, la solution du système AX = U.
En effet, la matrice A étant inversible, on a :
AX = U => A – 1AX = A – 1U => IX = A – 1U=> X = MU.
Exercice 2 – Soit l’application linéaire f() définie par f() = NX, où N =   
  .
1. Quelles sont les dimensions des espaces de départ et d’arrivée de cette application ? En
déduire les espaces de départ et d’arrivée de cette application (en supposant qu’ils sont
de type IRn).
Le nombre de lignes de la matrice est égal à la dimension de l’espace de départ de f() et
le nombre de colonnes de la matrice est égal à la dimension de son espace d’arrivée.
En notant E et F les espaces de départ et d’arrivée respectivement, on a donc :
dimE = dimF = 3.
Si E et F sont de type IRn, on a donc E = F = IR3.
2. Calculer le déterminant de la matrice N (en utilisant une méthode de calcul différente de
celle que vous avez utilisée dans l’exercice 1).
Dét(N) = dét  
   = dét  
 car le déterminant d’une matrice
ne change pas si l‘on ajoute à une de ses lignes un homothétique d’une autre ligne de la
même matrice.
D’où dét(N) = 0 car les deux dernières lignes de cette dernière matrice sont
proportionnelles.
3. Déterminer le rang de f().
Rangf = rangN = 2.
En effet, les trois lignes de N étant liées (puisque dét(N) = 0), on a rangN  2.
Et les deux premières lignes de N n’étant pas proportionnelles, on a : rangN  2.
4. L’application linéaire f() est-elle injective ? surjective ? bijective ?
L’application linéaire f() est injective si son rang est égal à la dimension de son espace de
départ, surjective si son rang est égal à la dimension de son espace d’arrivée, et bijective
si ces deux conditions sont vérifiées.
Comme la dimension de l’espace de départ et de l’espace d’arrivée de f() est 3 et comme
le rang de f() est égal à 2, cette application n’est pas injective, ni surjective, ni a fortiori
bijective.

5. Soit le système NX = Y, où Y est un vecteur donné de IR3. A quelle condition ce système a-
t-il une solution ?
Comme l’application f() n’est pas surjective, il existe des vecteurs Y de de IR3 pour
lesquels ce système n’a pas de solution. Pour qu’il ait une solution il faut et il suffit que Y
soit un élément de Imf, autrement dit que Y puisse s’écrire sous la forme d’une
combinaison linéaire des colonnes de N.
6. Enoncez le théorème des dimensions. Et déterminez la dimension de kerf.
Théorème des dimensions : soit f() une application linéaire de E dans F, on a :
dimE = dimImf + dimkerf.
Comme dimImf = rangf = 2, et comme dimE = 3, on a donc : dimkerf = 1.
7. Déterminer kerf.
Kerf = kerN = 
.
C’est donc l’ensemble des solutions du système N
.
On peut résoudre ce système.
Mais on peut aussi remarquer que, en notant X1, X2 et X3 les trois colonnes de N, on a :
X1+X2+X3
.
Ou, ce qui revient au même :
(X1 X2 X3)
.
A savoir :
N
.
Le vecteur 
 est donc un élément de kerf.
Et comme dimkerf = 1, ce vecteur forme une base de kerf (car si E est un espace vectoriel
de dimension n, alors tout ensemble libre de n vecteurs de E forme une base de E). Il
s’ensuit que :
Kerf = 
 .
8. Déterminer f(C1), f(C2) et f(C3) où C1, C2 et C3 sont les matrices de l’exercice 1.
f(C1) = NC1 =   
.

f(C2) = NC2 =   
f(C3) = NC3 =   
.
9. En déduire les valeurs propres de la matrice N… et un autre nom pour A
Comme NC1 = 
 = 0C1, 0 est valeur propre de N et C1, l’un de ses vecteurs propres
associés.
Comme NC2 = 
 = C2,  est valeur propre de N et C2, l’un de ses vecteurs propres
associés.
Comme NC3 = 
 = C3,  est valeur propre de N et C3, l’un de ses vecteurs propres
associés.
Comme C2 et C3 sont linéairement indépendants (non proportionnels), le réel – 2 est une
valeur au moins double de N. Cette matrice étant d’ordre 3, elle a trois valeurs propres
(pas nécessairement distinctes), qui sont donc :  Et la matrice A
est donc une matrice des vecteurs propres de N.
10. Donner la matrice de f() par rapport à la base B.
La matrice de f() par rapport à la base B des vecteurs propres de N est la matrice diagonale
des valeurs propres correspondantes :
D =   
  .
11. La matrice N est-elle diagonalisable ? Le cas échéant, écrire la matrice N sous la forme du
produit PDP – 1, où P est une matrice des vecteurs propres de N, en spécifiant P, D et P – 1.
La matrice N est diagonalisable (cette matrice d’ordre trois a trois vecteurs propres
linéairement indépendants puisque A est régulière). On vient même de donner la matrice
diagonale D semblable à N. On peut donc écrire :
N = PDP – 1
où P = A, et donc P – 1 = M si D =   
  .