corrigés séance 2

P20 - Pompage d’un liquide par entraı̂nement
(1) Le régime étant établi, l’écoulement ne dépend donc pas de la coordonnée spatiale z : @v/@z = 0. Le
champ de vitesse v = (u, w) de l’écoulement stationnaire ne dépend donc que de la coordonnée x :
u = u(x)
w = w(x)
Rien n’étant spécifié sur le champ de pression, elle est a priori fonction des deux coordonnées de l’espace :
p = p(x, z)
Bilan de masse :
Pour un fluide incompressible, dans un système ne comprenant ni source ni puits de masse, l’équation de
continuité (ou bilan de masse) s’écrit :
r·v =0
L’écoulement étant bidimensionnel et établi, on a donc: du/dx = 0. D’après cette expression, la composante de vitesse selon x est constante. Les conditions d’adhérence imposent: u(0) = u(h) = 0 et par
conséquent la vitesse selon x est nulle: u = 0.
Bilan de quantité de mouvement :
@
@
⇢vi +
⇢vi vj =
@t
@xj
@p
@
+ ⇢gi +
⌧ij
@xi
@xj
Pour un fluide incompressible newtonien à viscosité constante, le terme visqueux prend la forme :
@
⌧ij = µr2 vi
@xj
Les projections du bilan de quantité de mouvement selon les axes x et z prennent les formes générales :
 2
@u
@u
@u
@p
@ u @2u
⇢
+ ⇢u
+ ⇢w
=
+µ
+ 2 + ⇢gx
@t
@x
@z
@x
@x2
@z
 2
@w
@w
@w
@p
@ w @2w
⇢
+ ⇢u
+ ⇢w
=
+µ
+
+ ⇢gz
@t
@x
@z
@z
@x2
@z 2
L’écoulement étant stationnaire, @/@t = 0, les forces de volume g = (0, g) et le champ de vitesse
unidirectionnel u = 0 w = w(x), les expressions précédentes se simplifient :
0=
@p
@x
(1)
@p
@2w
+ ⇢( g) + µ 2
(2)
@z
@x
D’après l’expression (1) la pression doit être indépendante de x: p = p(z). La projection sur z peut donc
s’écrire:
dp
@2w
= ⇢g + µ 2
(3)
dz
@x
Le membre de gauche est une fonction de z, celui de droite est une fonction de x. On a donc:
0=
dp
=
dz
⇢g + µ
d2 w
= cte = C
dx2
(4)
On peut intégrer l’expression (1) et obtenir p = Cz + C0 . Comme p(0) = p(H) = pa , on a donc p = pa .
Le gradient de pression est nul.
1
(2) En l’absence de gradient de pression, l’équation(4) peut être récrite:
µ
d2 w
= ⇢g
dx2
L’intégration directe de cette équation donne une expression pour la vitesse verticale w. En appliquant les
conditions d’adhérence aux parois, w(0) = W et w(h) = 0, on obtient en coordonnées adimensionnées:
✓
◆
w
1 gh2 ⇣ x ⌘2
1 gh2 ⇣ x ⌘
=
1+
+1
(5)
W
2 ⌫W h
2 ⌫W
h
Dans cette expression on note ⌫ = µ/⇢ la viscosité cinématique.
Si on pose N = (gh2 )/(2⌫W ), on peut faire apparaı̂tre les nombres de Reynolds et de Froude:
Re =
Wh
,
⌫
Fr =
W2
,
gh
N=
1 Re
2 Fr
Ainsi, N caractérise le rapport des forces de gravité aux forces visqueuses.
Le débit du fluide dans le canal peut être calculé en intégrant le débit masse élémentaire sur la largeur du
canal (on considère ici une profondeur unité):
✓
◆
Z h
⇢hW
N
ṁ = ⇢
wdx =
1
2
3
0
Le système remplit son rôle de pompe si N < 3. Pour N
3, une grande partie du fluide circule vers le
bas. C’est ce qu’illustre la représentation du profil des vitesses pour différentes valeurs de N (figure 1).
w/W
1
N= 0
N= 1
x/h
0
1
N> 1
Figure 1: Profils de vitesse correspondant à diverses valeurs de N.
(3) Le tenseur des contraintes est représenté en coordonnées cartésiennes par la matrice:
0
1
⌧xx ⌧xy ⌧xy
⌧ = @ ⌧xy ⌧yy ⌧yz A
⌧xz ⌧yz ⌧zz
Pour un fluide newtonien, on peut exprimer les contraintes visqueuses ⌧ij en fonction des taux de déformation
✓
◆
@vj
1 @vi
dij =
+
2 @xj
@xi
2
On a dans ce cas:
2
µr · v ij
3
Dans notre problème, seule la composante selon z de la vitesse est non nulle et elle ne dépend que de x. On
a donc:
0
1
0 0 ⌧xz
⌧ =@ 0 0 0 A
⌧xz 0 0
avec
⌧ij = 2µdij
dw
1 @w
=µ
2 @x
dx
µW
= ⇢gx
(1 + N )
h
⌧xz = 2µ
La pression étant uniforme dans le domaine, la résultante des forces de pression sur la surface fermée
entourant le fluide est identiquement nulle. Seules les forces visqueuses nous intéressent ici. Pour une
profondeur unité on a:
Z M2
RM =
(⌧ · n)dA
M1
où n est la normale extérieure au fluide, donc n = ex . Sous forme explicite la résultante RM s’écrit:
10
1
0
Z M2
1
0 0 ⌧xz
@ 0 0 0 A @ 0 A dA = ⌧xz|x=0 Hez
RM =
M1
⌧xz 0 0
0
µW H
=
(1 + N )ez
h
On peut déterminer de la même manière RF :
10 1
0
Z F2
0 0 ⌧xz
1
RF =
(⌧ · n) dA = @ 0 0 0 A @ 0 A dA = ⌧xz|x=h Hez
F1
⌧xz 0 0
0
µW H
=
(N 1)ez
h
La somme de ces deux forces s’écrit:
RM + RF = 2
µW H
N ez = ⇢gHhez
h
Ainsi, les forces visqueuses qui s’exercent sur les limites du canal équilibrent exactement le poids du fluide.
(4) Tous les calculs énergétiques des questions 4 et 5 sont effectués pour un système de profondeur unité
normalement au plan de la figure 1.
La paroi mobile exerce sur la masse fluide la puissance
Z
P=
(⌧ · n) · vdA
M 1 M2
L’intégrale est prise sur l’ensemble de la paroi mobile, où la vitesse du fluide est constante et s’identifie à
celle de la paroi (condition d’adhérence). On a donc:
✓
◆
µW 2 H
⇢gHW
1
(1 + N ) =
P = RM · wez =
1+
h
2
N
3
Le bilan d’énergie mécanique s’exprime pour un fluide incompressible en écoulement stationnaire par une
relation faisant intervenir la puissance des forces extérieures qui s’exercent sur le fluide et la puissance des
contraintes visqueuses (M F chap. VIII, annexe A). Avec les notations du problème, cette relation s’écrit
ici:
Z
Z
⇥
⇤
⇥
⇤
2
(p/⇢) + w /2 + gz ⇢wdx
(p/⇢) + w2 /2 + gz ⇢wdx = P Ėv
(6)
A2
A1
Les intégrales du premier membre de l’équation (6) sont les débits à travers les sections A1 et A2 de la
quantité
p 1
em = + v · v + gz
⇢ 2
Cette quantité peut être interprétée comme l’“énergie mécanique” de l’unité de masse du fluide incompressible (énergie de pression+énergie cinétique+énergie potentielle des forces de volume). Au second membre
figurent la puissance P fournie par la paroi mobile et la puissance Ėv dissipée par les forces visqueuses.
On peut dire en résumé que l’énergie mécanique gagnée par le fluide traversant le dispositif est égale au
travail des parois mobiles amputée de la dissipation visqueuse. Rappelons pour éviter tout équivoque que
la relation précédente découle uniquement des principes de la mécanique (bilan de masse et de quantité
de mouvement) et doit être soigneusement distinguée du bilan d’énergie (premier principe de la thermodynamique). Le lecteur est invité pour approfondir ce point à écrire le bilan d’énergie sur le même volume de
contrôle (M F , chap VII).
La pression et l’énergie cinétique ne dépendent que de x et seule l’énergie potentielle varie entre l’entrée et
la sortie. Le premier membre du bilan d’énergie mécanique est donc calculable sans difficulté:
Z
Z
⇢ghHW
(1 N/3)
Pf =
gz⇢wdx
gz⇢wdx = ṁgH =
2
A2
A1
Avec ces notations le bilan d’énergie mécanique prend la forme
Ėv = P
Pf =
⇢ghHW
(1/N + N/3)
2
(5) Comme on pouvait s’y attendre, Ėv est toujours positive: l’énergie fournie par les parois mobiles est
toujours supérieure à l’énergie gagnée par le fluide à sa traversée du dispositif. On peut maintenant rappeler
le lien qui existe entre Ėv et la fonction de dissipation ˆ. On montre que (M F , chap. VIII, annexe A):
Z
Z
ˆdV =
Ėv =
⌧ : rvdV
V
V
La fonction de dissipation visqueuse peut être exprimée en fonction des taux de déformation (M F , chap.
VI). On a ici:
i2
2 h
ˆ = µ(dw/dx)2 = µ W 2N x (1 + N )
h2
h
d’où:
Z h
Z
i2
W 2H h h
x
ˆ
Ėv = H
dx = µ 2
2N
(1 + N ) dx
h
h
0
0
Pour le calcul de cette intégrale, il est commode de faire le changement de variable ⇠ = 2N x/h
Tous calculs faits, on obtient finalement:
Ėv =
(1 + N ).
⇢ghHW
(1/N + N/3)
2
(6) Sur la base de cette analyse, il est naturel de définir un rendement comme le quotient de la puissance
récupérée par le fluide à la puissance nécessaire pour l’entraı̂nement de la paroi mobile :
⌘=
Pf
=1
P
Ėv
N3 N
=
P
3 1+N
4
Ce rendement est nul pour N = 3 (car le débit de fluide est alors nul) et tend vers 0 pour N ! 0 (le débit
est alors celui de la couche de Couette classique, mais le gain d’énergie potentielle est très faible par rapport
à la puissance dissipée). Entre ces deux limites, ⌘ passe par un maximum ⌘max = 1/3 pour N = 1. On
peut noter que cette valeur de N correspond à un frottement nul le long de la paroi fixe. On peut s’attendre
à ce que la mise en mouvement des deux parois parallèles améliore le rendement du dispositif (le lecteur
est invité à effectuer le calcul pour ce cas).
(7) Ce modèle suppose l’écoulement établi sur toute la longueur du canal et néglige les effets d’extrémité
(pression égales à la pression ambiante en entrée et en sortie). Il est évident que ces hypothèses ne sont
vraisemblables que pour un canal suffisamment étroit (h/H ⌧ 1). Rappelons également que l’hypothèse
d’un écoulement laminaire suppose un nombre de Reynolds assez faible.
L’intérêt de ce dispositif de pompage par frottement est plus didactique que pratique. Signalons cependant
que ce principe a connu quelques applications industrielles pour le pompage de faibles débits de fluides
très visqueux, dans le cas où le rendement avait peu d’importance. Pour des raisons pratiques évidentes, on
utilisait dans ces applications un système de deux disques parallèles en rotation.
5
P21 - Pompe électromagnétique
Le calcul de la vitesse débitante U = q/(2ab) donne
U = 4.167 m/s
(1)
Les nombres de Reynolds et de Hartmann correspondants valent
Ua
= 76450
⌫
r
Ha = B0
a = 163.8
µ
Re =
(2)
(3)
En présence d’un champ électromagnétique intense, la transition vers un écoulement turbulent a lieu pour
Re/Ha > 300. On trouve ici Re/Ha = 467, l’hypothèse d’un écoulement laminaire n’est donc pas tout à fait
exacte.
Pour un fluide incompressible, le bilan local de masse s’écrit
@u @v @w
+
+
= 0.
@x @y
@z
(4)
Le profil de vitesse étant établi, il ne dépend donc que de y. D’autre part, on a w = 0. On obtient donc
@v
= 0.
@y
(5)
La fonction v(y) est donc constante. Les conditions d’adhérence à la paroi imposent v(y) = 0. Le champ
de vitesse v se réduit donc à (u(y), 0, 0). La densité de courant s’écrit alors
j = ( E0 ez + (u(y)ex ) ⇥ (B0 ey )) = ( E0 + u(y)B0 )ez
(6)
et la force de Laplace correspondante qui s’applique en tout point du canal est
u(y)B02 )ex
f L = j ⇥ B = ( E0 B 0
(7)
Avec des composantes nulles du champ de vitesse suivant les directions y et z, la projection du bilan de
quantité de mouvement sur ces directions donne
@p
@p
=
= 0.
@y
@z
(8)
Le champ de pression ne dépend donc que de la direction x. La bilan de quantité de mouvement selon cette
direction s’écrit
✓ 2
◆
@u
@u
@u
@u
dp
@ u @2u @2u
⇢
+ ⇢u
+ ⇢v
+ ⇢w
=
+µ
+ 2 + 2 + E0 B 0
u(y)B02
(9)
@t
@x
@y
@z
dx
@x2
@y
@z
Après simplification, on obtient
d2 u
dy 2
B02
u(y) =
µ
E0 B 0
1 dp
+
µ
µ dx
(10)
Le membre de gauche dépend de y tandis que le membre de droite dépend de x. Chaque membre est donc
constant, et on a:
1 dp
E0 B 0
+
= cte
(11)
µ
µ dx
1
Le gradient de pression dp/dx = µ ⇥ cte + E0 B0 est alors constant. Le champ de vitesse u(y) vérifie:
d2 u
dy 2
B02
u(y) = cte
µ
(12)
Pour les conditions aux limites u(±a) = 0, on trouve:
u(y) = C
ch(Ha)
ch(Ha)
ch(Ha y/a)
sh(Ha)/Ha
La vitesse débitante moyenne au sein de la pompe s’écrit
Z
ṁ
1
U=
=
2⇢ab
2a
On a donc
U
=
=
=
=
(13)
a
(14)
u(y)dy
a
Z a
C/(2a)
(ch(Ha) ch(Ha y/a))dy
ch(Ha) sh(Ha)/Ha a
h
ia
C/(2a)
a
ch(Ha)y
sh(Ha y/a))
ch(Ha) sh(Ha)/Ha
Ha
a
⇣
⌘
C/(2a)
a
2ch(Ha)a 2 sh(Ha)
ch(Ha) sh(Ha)/Ha
Ha
C
(15)
(16)
(17)
(18)
On a alors le profil de vitesse suivant
u(y) = U
ch(Ha)
ch(Ha)
ch(Ha y/a)
sh(Ha)/Ha
Pour un faible nombre de Hartmann, le profil de vitesse devient
⇣
⌘ ⇣
⌘
2
2 2
✓
1 + Ha2 + ...
1 + Ha2 ay2 + ...
3
⇣
⌘
⇣
⌘
u(y) = U
= U 1
2
2
2
1 + Ha2 + ...
1 + Ha6 + ...
(19)
y2
a2
◆
(20)
Le profil de vitesse est alors parabolique, identique au profil de Poiseuille déterminé par les effets visqueux
lorsqu’il n’y a pas de force de Laplace. Le nombre de Hartmann quantifie donc l’effet du champ électromagnétique
sur u(y) par rapport aux effets visqueux. En effet, le rapport des forces de Laplace et des forces visqueuses
s’écrit
Forces Laplace
U B02
⇠
= Ha2
(21)
Forces visqueuses
µ aU2
La figure ci-dessous représente des profils de vitesse pour plusieurs valeurs de Ha.
Par symétrie, la force totale F v exercée par l’écoulement sur les parois est égale à deux fois celle exercée
par l’une des parois, soit
Z
Fv = 2
⌃
⌧ · ndS
(22)
avec n = ey la normale à la paroi orientée vers l’extérieur. On trouve alors
du
ex
dy y=a
2bLµU Ha
a sh(Ha)
ex
ch(Ha) sh(Ha)/Ha
2bLµU Ha
a th(Ha)
ex
1 th(Ha)/Ha
F v = 2bLµ
=
=
2
(23)
(24)
(25)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
1.0
0.5
0.5
0.0
1.0
L’application numérique donne
Fv =
17.78 N
(26)
La force de Laplace totale s’écrit
FL =
Z
= b
f L dV
Z LZ a
(27)
V
0
E0 B 0
a
= 2abL B0 (E0
u(y)B02 dx dy ex
U B0 ) ex
(28)
(29)
L’application numérique donne
FL = 347.4 N
(30)
En négligeant les effets de bord suivant la direction z, un bilan macroscopique de quantité de mouvement
donne:
Z
Z
⇢v(v · n)dA =
( pn + ⌧ · n)dA + F L
(31)
S1 +S2 +⌃+⌃0
S1 +S2 +⌃+⌃0
Les conditions d’adhérence sur ⌃ et ⌃0 y rendent les forces d’inertie nulles. D’autre part, le régime étant
établi, le flux de quantité de mouvement ⇢u(y)2 est identique en entrée et sortie du canal. L’ensemble des
forces d’interne est donc nul.
La pression ne dépend que de x, elle est donc la même sur les deux parois ⌃ et ⌃0 . Par conséquent, les
forces de pression des deux parois se compensent. Les forces visqueuses sur les parois forment la force
F v précédemment calculée. Enfin, les forces visqueuses en entrée et sortie se compensent car, le profil
de vitesse étant établi, la distribution du tenseur des contraintes visqueuses est identique sur les sections
3
d’entrée et de sortie tandis que les normales extérieures ont une direction opposées 1 . Il reste donc
0 = (p1 S1
(32)
p2 S2 )ex + F v + F L
On a alors
FL =
p1 )2ab = 347.4 N
Fv + (p2
On peut calculer le travail des forces de Laplace:
Z
Z
ẆL =
f L · vdV = bL
V
a
( E0 B0 u(y)
a
(33)
B02 u(y)2 )dy
(34)
On a alors
ẆL = 2abL E0 B0 U
bLB02 U 2
(ch(Ha) sh(Ha)/Ha)2
Z
|
a
(ch(Ha)
a
ch(Ha y/a))2 dy ,
{z
}
I
où le calcul de l’intégrale intermédiaire I donne
Z a
I =
(ch(Ha)2 + ch(Ha y/a)2 2ch(Ha)ch(Ha y/a))dy
a
Z a
a
= 2ach(Ha)2 +
ch(Ha y/a)2 dy 2ch(Ha) [sh(Ha y/a)]a a
Ha
Za a
1
a
= 2ach(Ha)2 +
(ch(2Ha y/a) + 1)dy 4ch(Ha) sh(Ha)
2 a
Ha
⇣ a
⌘ 2a
1
= 2ach(Ha)2 +
sh(2Ha) + 2a
sh(2Ha)
2 Ha
Ha
3 a
= a + 2ach(Ha)2
sh(2Ha)
2 Ha
Sans davantage de simplification, l’expression du travail des forces de Laplace est
"
#
1/2 + ch(Ha)2 34 sh(2Ha)/Ha
ẆL = 2abL B0 U E0 B0 U
(ch(Ha) sh(Ha)/Ha)2
Pour Ha
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
1, on obtient une relation approchée plus compacte :
ẆL ⇡ 2abL B0 U (E0
B 0 U ) = FL U
(42)
L’application numérique pour Ha = 163.8 donne
ẆL = 1.410 kW
(43)
La formule approchée donne 1.447 kW.
Un bilan d’énergie mécanique macroscopique s’écrit

Z
P
|v|2
+
⇢(v · n)dA = ẆL
2
S1 +S2 ⇢
1
Ėv
(44)
On pouvait aussi faire intervenir la composante ⌧xx du tenseur des contraintes visqueuses qui est nulle puis projeter le bilan
de quantité de mouvement sur la direction x.
4
Le profil de vitesse étant établi, il reste
ṁ
p2
p1
⇢
= ẆL
Ėv
p2
p1
On a donc
Ėv = ẆL
ṁ
(45)
(46)
⇢
L’application numérique donne
Ėv = 37.27 W
(47)
On en déduit le rendement hydraulique de la pompe :
⌘h =
ẆL Ėv
= 0.9736
ẆL
(48)
Remarque : Pour de très grands nombres de Hartmann, on montre que le rendement s’écrit
⌘h = 1
1
Ha(
(49)
1)
où = UEB00 est appelé facteur de forme. Pour un grand nombre de Hartmann, on obtient un rendement
quasi-parfait. Cependant, ce rendement hydraulique ne prend pas en compte les pertes électriques du dispositif.
16. Le puissance totale dissipée par effet Joule s’écrit
Z
Z a
|j|2
Q̇J =
dV = bL
E02 + u(y)2 B02
V
E02
= 2abL
+
1/2
B02 U 2
(50)
2E0 B0 u(y) dy
a
+ ch(Ha)2 34 sh(2Ha)/Ha
(ch(Ha) sh(Ha)/Ha)2
2E0 B0 U
!
(51)
L’application numérique donne
Q̇J = 210.5 W
(52)
En prenant en compte la dissipation par effet Joule dans la puissance électrique qui est fournie à la pompe,
on peut définir le rendement suivant
⌘t =
ẆL Ėv
= 0.8471
ẆL + Q̇J
(53)
Notons que, pour obtenir le rendement global réel, il faudrait aussi prendre en compte la puissance électrique
dissipée dans le circuit électrique qui permet de générer le champ électromagnétique voulu.
17. En supposant des parois adiabatiques, le bilan macroscopique d’énergie totale se simplifie en écartant
la variation d’énergie cinétique qui est nulle dans un profil de vitesse établi et en considérant des champs
de température et de pression uniforme en entrée et sortie du canal:
✓
ṁ c(T2
ṁc(T2
ṁ(h2 h1 ) = ẆL + Q̇J
◆
p2 p 1
T1 ) +
= ẆL + Q̇J
⇢
T1 ) + (ẆL
Ėv ) = ẆL + Q̇J
On obtient donc
T2
T1 =
5
Ėv + Q̇J
ṁc
(54)
(55)
(56)
(57)
Le fluide est chauffé par la combinaison d’effet Joule et d’échauffement visqueux. L’application numérique
donne
T2 T1 = 0.01 K
(58)
Cet échauffement est donc négligeable.
Formulaire
ch(x) =
sh(x) =
ex + e
2
x
ex
x
e
2
th(x) =
sh(x)
ch(x)
ch(2x) = 2ch(x)2
1
sh(2x) = 2sh(x)ch(x)
d
ch(x) = sh(x)
dx
d
sh(x) = ch(x)
dx
Z
Z
ch(x)dx = sh(x)
sh(x)dx = ch(x)
sh(x) ⇠ x +
x3 x5
+
+ ...
3!
5!
ch(x) ⇠ 1 +
x2 x4
+
+ ...
2!
4!
6