Correction - DM n˚4 - Électrostatique, cinétique chimique
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Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique Physique Correction - DM n˚4 - Électrostatique, cinétique chimique et mécanique 1 Potentiel de Yukawa MP2 - Année 2015/2016 1 Lycée Janson de Sailly Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique Physique Rq (pour les 5/2) 5. 6. La distribution de charge correspond à un modèle semi-classique de l'atome d'hydrogène, où le proton - charge q=+e - est localisé au centre, et où l'électron - de charge opposée - est délocalisé dans tout l'espace, en restant majoritairement localisé autour du proton. L'atome d'hydrogène a ici typiquement un "rayon" égal à la distance a. On notera que ce modèle s'apparente à l'"inverse" de celui de "plum pudding " de Thomson. MP2 - Année 2015/2016 2 Lycée Janson de Sailly Physique Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique (∗) On notera qu’on peut aussi calculer Qdif f directement à partir de la densité de charge (beaucoup plus long...) : ∫ ∫ r y q r ′ − r′ ′ r e a dr Qdif f (r) = ρ(r′ )dτ = 4π ρ(r′ )dr′ = − 2 a 0 0 On retrouve bien le même résultat que précédemment avec une intégration par parties. 2 Capacité d’un câble coaxial 3. MP2 - Année 2015/2016 3 Lycée Janson de Sailly Physique Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique 3 Substitution sur le bromoéthane MP2 - Année 2015/2016 4 Lycée Janson de Sailly Physique MP2 - Année 2015/2016 Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique 5 Lycée Janson de Sailly Physique MP2 - Année 2015/2016 Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique 6 Lycée Janson de Sailly Physique Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique 4 Temps de demi-réaction MP2 - Année 2015/2016 7 Lycée Janson de Sailly Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique Physique 5 Wagon sous la pluie Effectuons un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé constitué du wagon, de l’eau qu’il contient à l’instant t (masse meau (t) = Dme t) et de l’eau qu’il va recevoir entre t et t + dt de masse δmeau = Dme δt. Sa quantité de mouvement est : – A l’instant t : − → → → p (t) = [m0 + meau (t)] v(t)− u x + Dme dt− v pluie – A l’instant t + δt : − → − → p (t + δt) = [m0 + meau (t + δt)] v(t + δt)→ u x = [m0 + meau (t) + Dme δt] v(t + δt)− ux Le wagon est soumis à son poids, à la réaction des rails et à la force de traction F (la résultante des forces de pression est nulle car le champ de pression est uniforme autour du système considéré). Seule la force F est horizontale, et le théorème de la résultante cinétique appliqué au système fermé précédent dans → le référentiel terrestre supposé galiléen, projeté sur la direction − u x conduit à : Dpx px (t + δt) − px (t) dv = limδt→0 = [m0 + meau (t)] + Dme v = F Dt δt dt MP2 - Année 2015/2016 8 Lycée Janson de Sailly Physique Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique On obtient donc une équation différentielle à deux variables v et t : [m0 + meau (t)] dv + Dme v = F dt On peut la résoudre en séparant les variables : dt dv = F − Dme v m0 + Dme t En intégrant, on obtient : ln(m0 + Dme t) ln(F − Dme v) =− +C Dme Dme Sachant qu’à t = 0, v = 0, on en déduit : ln(m0 ) ln(F ) =− +C Dme Dme F m0 m0 + Dme t = Finalement, tant que le wagon n’est pas plein, c’est à dire tant que t < , m0 F − Dme v Dme on obtient : ( ) ( ) m0 F m0 Ft v t< = 1− = Dme Dme m0 + Dme t m0 + Dme t Donc On voit que la vitesse augmente au cours du temps pour tendre vers la valeur v∞ = F . Cependant, cette Dme valeur n’est jamais atteinte car le wagon(est plein ) avant de l’atteindre. m0 m0 F At= , la vitesse atteinte vaut v t = = . On se ramène ainsi au cas simple d’un solide Dme Dme 2Dme F m0 de masse 2m0 , soumis à la résultante F , avec une vitesse initiale égale à , donc pour t > , on 2Dme Dme obtient (on vérifie bien que cette expression est compatible avec les conditions initiales) : ( m0 v t> Dme ) = F t 2m0 6 Tapis roulant élévateur 1. Le régime étant permanent, la masse de sable présente sur le tapis ne dépend pas du temps, et nous la noterons donc m par la suite. h Le tapis a une longueur ℓ = , et la masse m de sable qu’il contient est entièrement transférée dans sinα h ℓ . la trémie au bout d’une durée : τ = = v vsinα Par définition du débit massique, on en déduit : m = Dm τ = MP2 - Année 2015/2016 9 Dm h vsinα Lycée Janson de Sailly Correction - DM no 4 : Electrostatique, cinétique chimique et mécanique Physique 2. Effectuons un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé (Σf ) suivant : • à l’instant t : sable sur le tapis à l’instant t, plus sable qui rentre sur le tapis entre t et t + δt. − → − → p (t) = m(t)→ v (t) + δm − v e f e • à l’instant t + δt : sable sur le tapis à l’instant t + δt, plus sable qui sort du tapis entre t et t + δt. − → − → p f (t + δt) = m(t + δt)→ v (t + δt) + δms − vs La variation de la quantité de mouvement du système fermé entre t et t + δt s’écrit , sachant que le régime est permanent et que m(t) = m(t + δt) et v(t) = v(t + δt), et que le débit massique se conserve de sorte que δme = δms = Dm δt : − → − D→ p = D δt (− v −→ v ) f m s e En projection sur l’axe (Ox), sachant qu’on considère que le sable arrive sur le tapis perpendiculairement à celui-ci, on obtient : Dpfx = Dm v Dt Le théorème de la résultante cinétique appliquée au système fermé (Σf ) dans le référentiel terrestre supposé galiléen conduit à : → D− pf − → − → − → = F pesanteur + F pression + F tapis→Σf Dt En projection sur la direction (Ox), on en déduit, sachant que la résultante des forces de pression est nulle suivant cette direction : Ftapis→Σf x = Dm v + mgsinα et en remplaçant l’expression de la masse m, on obtient : Ftapis→Σf x = Dm v + Dm gh v 3. Considérons maintenant le système déformable mais fermé, constitué par le tapis et le mécanisme d’entraînement (à l’exception du moteur). En régime permanent, l’énergie mécanique (énergie cinétique + énergie potentielle) de ce système est constante. On peut donc écrire, en appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système fermé précédent, en tenant compte de la puissance (négative) des forces de frottement internes au mécanisme : DEm DEc DEp = + = 0 = Pmoteur→tapis + Psable→tapis + Pf rottements Dt Dt Dt or ( ) − → → − → → Psable→tapis = F sable→tapis · − v = − F tapis→Σf · − v = −Dm v 2 + gh La relation précédent conduit, en l’absence de sable (Dm = 0), à : 0 = Pmoteur→tapis + Pf rottements donc Pmoteur→tapis = P0 = −Pf rottements Donc finalement : Pmoteur→tapis = P0 + Dm (v 2 + gh) 4. On en déduit : Pmoteur→tapis − P0 = 9.9kW pour h = 10m Pmoteur→tapis − P0 = 0.1kW pour h = 0m On vérifie bien que la puissance nécessaire pour acheminer le sable est beaucoup plus importante s’il faut élever ce dernier. La puissance n’est pas nulle dans le cas horizontal, car il faut accélérer le sable jusqu’à la vitesse v. MP2 - Année 2015/2016 10 Lycée Janson de Sailly
