Chapitre 5 : les circuits électriques en régime sinusoïdal

Chapitre 5 : les circuits électriques en régime sinusoïdal
1 Régime sinusoïdal
Les régimes sinusoïdaux ont une grande importance ou génie électrique.
- La majeur partie de l’énergie électrique consommée dans le monde est produite
et distribuée sous dormes de tensions sinusoïdales
- La base pour la décomposition de signaux périodique en somme de sinusoïdes
(décomposition en série de FOURIER transformation de Fourier)
- L’étude des circuits électriques en régime sinusoïdal correspond à l’étude de
réseaux électriques composés uniquement de dipôles passifs linéaires (résistance,
condensateurs et bobines), alimentés par des sources de tension ou de courant
sinusoïdales
En tout point de ce circuit, les signaux (tensions, courants) sont des grandeurs
sinusoïdales du temps, de même fréquence f ( de même période, de même pulsation)
que la source a2 tension (éventuellement source de courant) mais déphasées les
unes par rapport aux autres et de valeurs efficaces différentes.
2 Représentation des grandeurs sinusoïdale
2.1 Définitions
Un signal sinusoïdal est défini par s(t)= Scos( wt+ 0) valeur efficace
S : valeur efficace (cf chap 4) w : 2π.f= 
 f=   T : en 0 f : en Hz ‘
Exemple 0 =0 0 T° 0s
S(t)= Scos( wt )
S : valeur crête : valeur max
s(t)= Scos( wt+ 0) point à t = Os
or ici 0= 0
S(0)=Scos(0)
S(0)=S

2.2 Représentation complexe
On note j le nombre complexe tel que j² =1 ou j= 
Le nombre complexe j est utilisé en génie électrique à la place au nombre complexe noté :
en mathématique afin d’éviter la confusion avec l’intensité du courant électrique.
Pour faciliter le traitement mathématique des signaux, on utilise leur représentation
Définition
Un signal a(t)=Xcos ( wt+  est représentée sous la forme complexe
x(t) = Xcos ( wt+  = X 
Amplitude du signal complexe qui contient valeur efficace et terme de déphasage la
grandeur physique x(t) est la partie réelle de la grandeur complexe associée.
Application à la dérivation et à l’application et à l’intégration des signaux
Dérivation à partir de la représentation complexe. On établit une relation entre le signal à (t)
et sa dérivée par rapport au temps.
Si x(t) = X alors dx(t) = jw x (t)
Domaine temporel : x(t) = X cos(wt+
Domaine complexe x(t) = X
2.3 Impédances complexes
2.3.1 Définition loi d’ohm généralisée
Pour un dipôle D ( résistance, bobine ou condensateur) parcouru par un courant
I(t) = I , l’impédance notée Z est définie par le rapport d’amplitude
Complexe de u(t) par celle de i(t)
Z= 
Avec u : grandeur complexe de la tension
I : grandeur complexe du courant
U(t) = U ejwt

Rappel sur les nombres complexes
Soit un nombre complexe Z= a+Jb
Alors Z=    et = arg (Z))= arctan (
)
On peut écrire arg (Z) = tan-1 (b/a)
Remarque sur le calcul des arguments
Arg ( a+ jb) )=arctan 
 pour a0
Arg (a + jb)= arctan 
  π pour a 0
Soit Z1= et Z2 2 nombres complexes quelconque
Si Z = Z1+Z2 alors les modules sont égaux, arg(z)= arg ( Z1) + arg (Z2)
2.3 Impédances complexes
2.3.2 Expression d’une impédance
si i (t)= I ejwt = Ieff  
u(t) = = Ueff 
(envoie de kylian)
Ou R est la résistance de l’impédance ( R est toujours positif) et X est la réactance (R est
toujours positif) et X est la réactance ( on verra que si X plus grand que 0 alors l’impédance
est de tye inductif et si X est plus petit 0 alors l’impédancxe est de type capacitif)
Attention :   = est le module de l’impédance
Z, R et X ont pour unité ohm
 est la phase de l’impédance (ou l’argument de l’impédance Z)
 représente le déphasage entre I et U et on a tan = 

Z impédance complexe Z = 
 = 
= 
Argument Z =arg 
= arg (u) – arg (I)
Impédance complexe d’un dipôle forme algébrique
Z= R + jX
R : Re (Z) : résistance du dipôle
X : Im (Z) réactance du dipôle
Impédance d’un dipôle sous forme trigo
Z = cos 0 + j sin 0
Impédance complexe d’un dipôle sous forme exponentielle
Z= 
2.3.3 Expression d’une admittance
L’admittance d’un dipôle D est définit comme l’inverse de l’impédance et est notée Y
Y=
 ; Y = 
Y = 1/Z = 
 x   =  = 
Y = 1/Z = 
 =   -   où G =   est la conductance B =   est la susceptance
2.3.4 Impédance d’une résistance dans le domaine temporel
La fonction caractéristique de R : u(t) = Ri(t) valeurs instantanées du régime variable
Dans le domaine complexe : fonction caractéristique (loi d’ohms complexe)
U=RI en utilisant la définition de l’impédance complexe : Z= 
L’impédance complexe d’une résistance notée Zr=U/I=R
Expression sous forme algébrique Zr= R+fx0
Expression sous forme trigonométrique  = R et arg(Zr) =0= 

Expression sous forme d’exp complexe Z1=R
L’impédance complexe d’une résistance est un réel pur ; (= 0) , tension et le courant sont
en phase.
2.3.5 Impédance d’une bobine idéale
Domaine temporel : fonction caractéristique : w(t) = L 
 = jLw i(t)= 
Fonction caractéristique pour bobine : u= fLwI
Impédance complexe de la bobine (d’après la définition de l’impédance) et notée Z2= U / I =fLw
Expression sous la forme algébrique Z2= 0 + jLw
Sous forme trigonométrique : ZL= Lw et arg(ZL)=
Sous forme exponentiel : ZL= Lw
L’impédance complexe d’une bobine idéale est un imaginaire pur.
Tension et le courant sont déphases de 
2.3.6 Impédance complexe d’un condensateur
Dans le domaine temporel
I(t) = C 
 =fcw u (t) fonction caractéristique
I= jcwu U= 
 I=   I=   I
Impédance complexe du condensateur notée ZC= 
 = 
Expression sous forme algébrique notée ZC=0 – J 
Expression sous forme trigonométrique  = 
 et arg (Zc) =- 
Expression sous forme exponentielle ZC= 
Donc l’impédance complexe d’un condensateur est un imaginaire pure.
La tension et le courant sont déplacés de
.
3. compléments régime sinusoïdale
On est en présence de sources de tension ou de courant sinusoïdales.