Cours

Cours d’analyse 1ère année
Rhodes Rémi
9 janvier 2012

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Table des matières
1 Propriétés des nombres réels 5
1.1 Sous-ensembles remarquables de R....................... 5
1.2 Relationsd’ordre ................................. 5
1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Valeurabsolue. .................................. 9
1.6 Lafonctionpartieentière............................. 10
1.7 Lesintervalles................................... 10
1.8 Densité de Qet de R\Qdans R......................... 11
2 Suites réelles 13
2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Suitesconvergentes................................ 13
2.3 Suitesextraites .................................. 15
2.4 Suitesmonotones ................................. 16
2.5 Limitesetinégalités. ............................... 17
2.6 Suitesadjacentes.................................. 18
2.7 Suitesdecauchy. ................................. 19
2.8 Suitesparticulières ................................ 19
3 Fonctions réelles de la variable réelle 21
3.1 Premièresdéfinitions ............................... 21
3.2 Fonctionsremarquables.............................. 21
3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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4TABLE DES MATIÈRES
3.4 Limited’unefonction............................... 23
3.5 Opérationssurleslimites............................. 25
3.6 Limiteetinégalités ................................ 25
3.7 Limites et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Continuité 27
4.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Uniformecontinuité................................ 31
4.4 Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Dérivabilité 35
5.1 Définitions..................................... 35
5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Accroissementsfinis ............................... 37
5.4 Variationsdesfonctions.............................. 39
5.5 FormulesdeTaylor ................................ 40
6 Fonctions trigonométriques et hyperboliques 43
6.1 Fonctions circulaires directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Chapitre 1
Propriétés des nombres réels
1.1 Sous-ensembles remarquables de R
Dans la suite, on note
N={entiers positifs}={0,1,2, . . .}
Z={entiers relatifs}=N∪(−N)
Q={nombres rationnels}={p
q;p∈Z, q ∈N∗}
R={nombres réels}
1.2 Relations d’ordre
Définition 1. Soient E, F deux ensembles non vides. Une relation binaire Rde Evers Fest
définie par une partie G(appelée graphe de la relation) de E×F. Si (x, y)∈ G, on dit que x
est en relation avec yet on note xRy.
Définition 2. Soit Eun ensemble non vide. Une relation binaire Rde Evers Eest dite :
– réflexive si ∀x∈E,xRx,
– antisymétrique si pour tous xet ydans E: (xRyet yRx)⇒x=y,
– transitive si pour tous x, y, z dans E: (xRyet yRz)⇒xRz.
Définition 3. Une relation d’ordre sur un ensemble non vide Eest une relation binaire réflexive,
antisymétrique et transitive. Lorsque Eest munie d’une relation d’ordre R, on dit que (E, R)
est un ensemble ordonné.
Exemples :
– Si E=N,Z,Qou R, la relation ≤est une relation d’ordre.
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